Simo K. Kivelä / 08.05.2003

Suoran ja tason leikkauspiste

Tehtävä:

Suora kulkee pisteiden (2, 3, 7) ja (-1, 2, 4) kautta. Taso kulkee pisteiden (2, -1, 1), (2, -2, 3) ja (-1, 2, -2) kautta. Määritä suoran ja tason leikkauspiste.

Ratkaisu Mathematicalla:

Remove["Global`*"]

Esitetään annetut pisteet listoina:

p1 = {2, 3, 7}

p2 = {-1, 2, 4}

q1 = {2, -1, 1}

q2 = {2, -2, 3}

q3 = {-1, 2, -2}

Suoran suuntavektori on

s = p2 - p1

ja suoralla olevat pisteet voidaan esittää muodossa

suora = p1 + t s

missä t on parametri, joka saa kaikki reaaliarvot.

Vastaavasti vektorit

s1 = q2 - q1

s2 = q3 - q1

ovat tason suuntaisia vektoreita ja mikä tahansa tason piste voidaan esittää muodossa

taso = q1 + u*s1 + v*s2

Tässä u ja v ovat parametreja, jotka saavat kaikki reaaliarvot.

Tason ja suoran yhteiselle pisteelle pätee

ehto = suora == taso

Tämä on itse asiassa kolmen lineaarisen yhtälön ryhmä, josta voidaan ratkaista leikkauspistettä vastaavat parametriarvot:

parametrit = Solve[ehto, {t, u, v}]

Leikkauspisteen koordinaatit saadaan tällöin joko suoran tai tason avulla:

suora /. parametrit[[1]]

taso /. parametrit[[1]]