Simo K. Kivelä / 08.05.2003

Suoran ja tason leikkauspiste

•Tehtävä:

Suora kulkee pisteiden (2, 3, 7) ja (-1, 2, 4) kautta. Taso kulkee pisteiden (2, -1, 1), (2, -2, 3) ja (-1, 2, -2) kautta. Määritä suoran ja tason leikkauspiste.

•Ratkaisu Mathematicalla:

In[1]:=

Remove["Global`*"]

Esitetään annetut pisteet listoina:

In[2]:=

p1 = {2, 3, 7}

Out[2]=

{2, 3, 7}

In[3]:=

p2 = {-1, 2, 4}

Out[3]=

{-1, 2, 4}

In[4]:=

q1 = {2, -1, 1}

Out[4]=

{2, -1, 1}

In[5]:=

q2 = {2, -2, 3}

Out[5]=

{2, -2, 3}

In[6]:=

q3 = {-1, 2, -2}

Out[6]=

{-1, 2, -2}

Suoran suuntavektori on

In[7]:=

s = p2 - p1

Out[7]=

{-3, -1, -3}

ja suoralla olevat pisteet voidaan esittää muodossa

In[8]:=

suora = p1 + t s

Out[8]=

{2 - 3 t, 3 - t, 7 - 3 t}

missä t on parametri, joka saa kaikki reaaliarvot.

Vastaavasti vektorit

In[9]:=

s1 = q2 - q1

Out[9]=

{0, -1, 2}

In[10]:=

s2 = q3 - q1

Out[10]=

{-3, 3, -3}

ovat tason suuntaisia vektoreita ja mikä tahansa tason piste voidaan esittää muodossa

In[11]:=

taso = q1 + u * s1 + v * s2

Out[11]=

{2 - 3 v, -1 - u + 3 v, 1 + 2 u - 3 v}

Tässä u ja v ovat parametreja, jotka saavat kaikki reaaliarvot.

Tason ja suoran yhteiselle pisteelle pätee

In[12]:=

ehto = suora == taso

Out[12]=

{2 - 3 t, 3 - t, 7 - 3 t} == {2 - 3 v, -1 - u + 3 v, 1 + 2 u - 3 v}

Tämä on itse asiassa kolmen lineaarisen yhtälön ryhmä, josta voidaan ratkaista leikkauspistettä vastaavat parametriarvot:

In[13]:=

parametrit = Solve[ehto, {t, u, v}]

Out[13]=

{{t -> 7/4, u -> 3, v -> 7/4}}

Leikkauspisteen koordinaatit saadaan tällöin joko suoran tai tason avulla:

In[14]:=

suora /. parametrit[[1]]

Out[14]=

{-13/4, 5/4, 7/4}

In[15]:=

taso /. parametrit[[1]]

Out[15]=

{-13/4, 5/4, 7/4}

Converted by Mathematica  (May 8, 2003)