Simo K. Kivelä / 29.9.1999

Tienmutka

Tehtävä:

Oletetaan, että maantiessä oleva mutka on peruskartalla käyrän

y=(x/(1 - (x^2))),        -1 < x < 1

muotoinen, yksikkönä senttimetri. Tien kaarevuussäde kohdassa x voidaan laskea lausekkeesta

R(x)=((((1 + (((y'))^2)))^(3/2))/((y')')) .

Peruskartan mittakaava on 1:20 000. Mikä on kaarevuussäteen pienin arvo, ts. arvo siinä kohdassa, missä tie kaartuu jyrkimmin?

Ratkaisu Mathematicalla:

Remove["Global`*"]

Syötetään funktion lauseke, talletetaan se nimelle f ja piirretään kuvaaja:

f =  x/(1 - x^2)

Plot[f, {x, -0.99, 0.99}, PlotRange -> {-3, 3}, 
      AspectRatio -> 3]

Muodostetaan kaarevuussäteen lauseke sievennetyssä muodossa ja talletetaan tämä nimelle r:

r =  (1  +  D[f, x]^2)^(3/2)/D[f, {x, 2}] // 
        Simplify

Minimin hakemiseksi muodostetaan derivaatta ja haetaan sen nollakohta numeerisesti. Alkuarvo numeerista ratkaisemista varten saadaan graafisesti.

deriv =  D[r, x] // Simplify

Plot[deriv, {x, -0.99, 0.99}, 
      PlotRange -> {-3, 3}]

nollakohta =  FindRoot[deriv == 0, {x, 0.4}]

Vastaava kaarevuussäteen minimiarvo saadaan sijoittamalla nollakohta kaarevuussäteen lausekkeeseen:

minimiarvo =  r /. nollakohta

Lopuksi otetaan huomioon kartan mittakaava ja annetaan tulos metreissä:

rmin =  20000 minimiarvo/100