Simo K. Kivelä / 29.9.1999

Tienmutka

•Tehtävä:

Oletetaan, että maantiessä oleva mutka on peruskartalla käyrän

y = x/(1 - x^2) ,          -1 < x < 1

muotoinen, yksikkönä senttimetri. Tien kaarevuussäde kohdassa x voidaan laskea lausekkeesta

R(x) = ( 1 + (y^')^2)^(3/2)/y^'^' .

Peruskartan mittakaava on 1:20 000. Mikä on kaarevuussäteen pienin arvo, ts. arvo siinä kohdassa, missä tie kaartuu jyrkimmin?

•Ratkaisu Mathematicalla:

In[1]:=

Remove["Global`*"]

Syötetään funktion lauseke, talletetaan se nimelle f ja piirretään kuvaaja:

In[2]:=

f = x/(1 - x^2)

Out[2]=

x/(1 - x^2)

In[3]:=

Plot[f, {x, -0.99, 0.99}, PlotRange -> {-3, 3}, AspectRatio -> 3]

[Graphics:HTMLFiles/tie_7.gif]

Out[3]=

-Graphics -

Muodostetaan kaarevuussäteen lauseke sievennetyssä muodossa ja talletetaan tämä nimelle r:

In[4]:=

r = (1 + D[f, x]^2)^(3/2)/D[f, {x, 2}] // Simplify

Out[4]=

-((-1 + x^2)^4 ((2 - 2 x^2 + 7 x^4 - 4 x^6 + x^8)/(-1 + x^2)^4)^(3/2))/(2 x (-3 + 2 x^2 + x^4))

Minimin hakemiseksi muodostetaan derivaatta ja haetaan sen nollakohta numeerisesti. Alkuarvo numeerista ratkaisemista varten saadaan graafisesti.

In[5]:=

deriv = D[r, x] // Simplify

Out[5]=

-(3 (2 - 2 x^2 + 7 x^4 - 4 x^6 + x^8)/(-1 + x^2)^4^(1/2) (2 - 8 x^2 - 33 x^4 + 22 x^6 - 18 x^8 + 2 x^10 + x^12))/(2 x^2 (-1 + x^2)^2 (3 + x^2)^2)

In[6]:=

Plot[deriv, {x, -0.99, 0.99}, PlotRange -> {-3, 3}]

[Graphics:HTMLFiles/tie_14.gif]

Out[6]=

-Graphics -

In[7]:=

nollakohta = FindRoot[deriv == 0, {x, 0.4}]

Out[7]=

{x -> 0.3966021726920847`}

Vastaava kaarevuussäteen minimiarvo saadaan sijoittamalla nollakohta kaarevuussäteen lausekkeeseen:

In[8]:=

minimiarvo = r /. nollakohta

Out[8]=

1.670272731535021`

Lopuksi otetaan huomioon kartan mittakaava ja annetaan tulos metreissä:

In[9]:=

rmin = 20000 minimiarvo/100

Out[9]=

334.05454630700416`

Converted by Mathematica  (May 8, 2003)