Simo K. Kivelä / 09.05.2003

Ympyrä ja pyörähdyspinta

•Tehtävä 1:

Ympyrän keskipiste on origo ja säde on 2. Muodosta ympyrälle parametriesitys ja piirrä ympyrä tämän avulla.

•Ratkaisu 1:

In[1]:=

Trigonometristen funktioiden määritelmistä seuraa, että origoon asetettua suuntakulmaa vastaava piste on etäisyydellä 2 origosta, ts. se
sijaitsee halutulla ympyrällä. Jos toisaalta saa kaikki arvot väliltä , saadaan kaikki ympyrän pisteet.

Mallikuvio voidaan piirtää Mathematicalla:

In[2]:=

[Graphics:HTMLFiles/pyorpinta_7.gif]

Out[3]=

Ympyrän parametriesitykseksi siis kelpaa ja käyrä voidaan tähän perustuen piirtää:

In[4]:=

[Graphics:HTMLFiles/pyorpinta_12.gif]

Out[4]=

Kuvio sinänsä on oikea, mutta akseleiden yksiköt ovat eri pitkät, minkä takia tulos näyttää ellipsiltä. Asia voidaan korjata:

In[5]:=

[Graphics:HTMLFiles/pyorpinta_15.gif]

Out[5]=

•Tehtävä 2:

Käyrä , , pyörähtää x-akselin ympäri, jolloin syntyy pyörähdyspinta. Laske pinnan ala, sen rajaaman alueen tilavuus ja piirrä pinta.

•Ratkaisu 2:

In[6]:=

Olkoon

In[7]:=

Out[7]=

Tilavuus saadaan integroimalla:

In[8]:=

$v = Integrate[Pi y^2, {x, 0, Pi}]$

Out[8]=

Huomaa: Sen enempää tilavuuden laskeminen kuin seuraava pinnan alan laskeminenkaan ei edellytä kaavojen ulkoa osaamista, vaan niiden ymmärtämistä. Tämän jälkeen kaavan mieleen palauttaminen ei ole minkäänlainen ongelma!

Pinta-alan integrointi:

In[9]:=

Out[9]=

In[10]:=

Out[10]=

Tulosta ei voida esittää alkeisfunktioiden avulla, mutta kylläkin Mathematican tunteman erikoisfunktion avulla. Tälle voidaan laskea numeerinen arvo tavalliseen tapaan:

In[11]:=

Out[11]=

Vaihtoehtona on integroida suoraan numeerisesti:

In[12]:=

Out[12]=

Pinta voidaan parametrisoida sen perusteella, että sen leikkaus x-akselia vastaan kohtisuoran tason kanssa on ympyrä. Tälle puolestaan voidaan käyttää edellä muodostettua parametriesitystä:

In[13]:=

Out[13]=

${x, Cos[t] Sin[x]^2, Sin[t] Sin[x]^2}$

In[14]:=

[Graphics:HTMLFiles/pyorpinta_36.gif]

Out[14]=

Converted by Mathematica (May 9, 2003)