[Up]
http://www.math.hut.fi/teaching/k3/luentomateriaali/ldsys1.html

Luento 16, 16.10.

Päivitetty 2.11.1998

Differentiaaliyhtälösysteemit

Kirjallisuutta 

GRE,KRE ja monia muita alaan erikoistuneita, kuten

BdP: Boyce-DiPrima: Elementary Diff. eq. and boundary val. pr., Wiley 6. painos
Nagle-Saffa: Diff. eq. and bdary val. probls., 2. painos
Hubbard-West: ODE- a dynamical systems approach osat I ja II, Springer
Coombes-Hunt et al. Diff. Eq. with Maple, Wiley 2. painos (liittyy läheisesti
kirjaan [BdP]).

Kirjat GRE ja KRE 

              GRE                               KRE

Luku 1  Johdanto  (tuttua)            Luku 1  1. kl (tuttua)
Luku 2  1. kertaluku (tuttua)              1.8 modelling electric ..
    2.3 Applications                  Luku 2 2. kl LIN (harjtyö)
        - Electric                    Luku 3 Kork. kl. LIN                   
        - Radioactive                 Luku 4 systems
        - Population dyn.                 4.3. HY
        - Mixing problems                 4.4 Phase plane
Luku 3  2. kl. ja korkeamman LIN          4.5 EHY
          (harjtyö)                   Luku 6 Laplace
     3.9 Systeemit                    Luku 20 Num. menet
       Esimerkkejä, yleistä teoriaa,      1-3 ODE
       Ratkaisutekniikkaa ei oteta
       tämän kohdan mukaan.

Luku 5  Laplace muunnos
Luku 6 Numeeriset menetelmät
Luku 7 Kvalitatiiviset menet,
       faasitaso, linearisointi

Luku 11 Matriisin diagonalisointi
       11.5: Appl. to 1st order systems

Asiaan

Merkintöjä:

Yleinen tapaus 

    x1' = f1(t,x1, ..., xn)
    x2' = f2(t,x1., ..., xn)
     .
     .
     .

    xn' = fn(t,x1, ..., xn)
Alkuehdot: x1(a)=b1, ... ,xn(a)=bn

Vektorimuodossa:

(DYS)     X'=F(t,X)

(AE)      X(a)=B

Lineaariset diffyhtälösysteemit 

KRE 4.1-> s. 158 ->
GRE 3.9-> s. 156 ->
BdB Ch 7 s. 335 ->

Tyypillisiä ilmiöitä mallinnukseen

Yleinen lineaarinen systeemi 


    x1'=a11(t)x1 + a12(t)x2 + ... + a1n(t)xn + f1(t)
    x2'=a21(t)x1 + a22(t)x2 + ... + a2n(t)xn + f2(t)
    .
    .
    .
    xn'=an1(t)x1 + an2(t)x2 + ... + ann(t)xn + fn(t)
Yllä oleva voidaan esittää matriisimuodossa: 
 (LSYS)   X'=A(t)X + F(t)
Jos F(t)=0 , systeemiä sanotaan homogeeniseksi.

Käytämme lyhenteitä HY (homogeeniyhtälö) ja EHY (epähomogeeniyhtälö).

Alkuarvotehtävä (AA-teht.)

Olkoon annettu alkuehdot x1(a)=b1,x2(a)=b2 ... ,xn(a)=bn

Yllä oleva diffyhtälösysteemi yhdessä alkuehtojen kanssa muodostaa (AA)-tehtävän. Matriisimuodossa: 

  (LAA)     X'=A(t)X + F(t), X(a)=B
missä B=(b1, ... ,bn)T

Peruslauseita

Yleinen olemassaolo-ja yksikäsitteisyyslause

Lause 1. Yleinen olemassaolo- ja yksikäsitteisyys (DYS)+(AE) (KRE Thm. 1 s. 16x, GRE Thm 3.9.x s. 15x)

Lineaarisen systeemin olemassaolo-ja yksikäsitteisyyslause

on yksinkertaisempi kuin yleisessä epälineaarisessa tapauksessa. (Ei liene yllättävää!)
Lause 2. Olemassaolo- ja yksikäsitteisyys (LAA) (KRE Thm. 2 s. 165, GRE Thm 3.9.1 s. 160)

Olkoot aij(t) ja fi(t) jatkuvia välillä I. Tällöin yllä esitetyllä AA-tehtävällä (1) on jokaista annettua alkuarvovektoria B kohti yksikäsitteinen ratkaisu X(t)=(x1(t), ... ,xn(t))T välillä I.

Huomaa lauseen globaali luonne verrattuna yleiseen (DYS+AE) lauseeseen.

Lineaaristen systeemien peruslauseet skannattuna

Esitimme jo lauseen, jota luentokalvolla sanomme "syvälliseksi". Alla olevien linkkien takana on ratkaisujen muodostamisen perusteet, joista osa on perushelppoja ja osa taas päätellään helposti "syvälliseen lauseeseen" vedoten:

Korkeamman kertaluvun yhtälö(systeemi)n muuntaminen 1. kertal. systeemiksi 

Kts. KRE s. ..., GRE s. ..., myös harj. teht
Tämä on tärkeä seikka ja siitä seuraa:

Älä kuitenkaan toimi liian kaavamaisesti !

Emme käsittele tässä "solution by elimination"-tekniikkaa (vrt. GRE a. 162->), vaan sovellamme yleispäteviä matriisimenetelmiä.

Miten ratkaistaan Maplella

Tässä on esimerkki (sama kuin GRE ss. 169)
(GRE-kirjan sanonta: "The colon ... indicates that it is a definition, not a command" on harhaanjohtava. Kyseessä on yksinkertaisesti tulostuksen estäminen. )