Luento 8

7.10 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

Tässä A on neliömatriisi (n x n)

(1) A x = s x , s in C.

(yleensä merkitään s:n sijasta lambda, mutta kun HTML ..., samasta syystä käytämme tyhmän näköistä joukkoonkuulumismerkkiä "in")
Yhtälöllä on aina triviaaliratkaisiu x=0, olipa s mikä tahansa kompleksiluku.
Kysymys kuuluu:

• Määritä luku s siten, että yhtälöllä (1) on ei-triviaaleja ratkaisuvektoreita x.
• Määritä sitten kutakin ratkaisua s kohti ao. ratkaisuvektorit.

Tehtävän muokkaus ratkaistavaan muotoon

    A x = s x   <==>  (A-s I)x = 0

Ominaisarvojen ja -vektorien etsintä (pienissä tehtävissä)

• Muodostetaan karakteristinen polynomi D(s)=det(A-s I) ja ratkaistaan sen nollakohdat ==> ominaisarvot.
• Ratkaistaan (HY)
  (A - s I)x = 0
  kullakin ominaisarvolla s.
• Ratkaisussa on ainakin yksi vapaa parametri, sanokaamme t, joka voidaan valita mielivaltaisesti (esim. t=1). Jos vapaita parametrejä on useita, täytyy pitää huoli siitä, että saadaan lineaarisesti riippumattomat ratkaisuvektorit. Varma valinta esim. tapauksessa "3 vapaata param" on:

  1. om. vekt. : parametrit: 1,0,0
  2. om. vekt. : parametrit: 0,1,0
  3. om. vekt. : parametrit: 0,0,1
  

  Huom!
  • Ominaisarvot ovat 1-käs, ominaisvektorit eivät.
  • Kuhunkin ominaisarvoon liittyy ominaisavaruus, päämääränä on löytää jokin kanta ominaisavaruudelle.

  Havainnollisesti

  Ominaisvektori osoittaa suuntaan, jonka matriisin edustama lineaarikuvaus pitää paikallaan. Ominaisarvo kuvaa sitä, miten paljon tapahtuu venymää/kutistumaa ko. suunnassa (negatiivisuus merkitsee vastakkaisuuntaisuutta).

  Kysymys. Voiko kiertokuvauksella olla ominaisarvoja/vektoreita?
  Ehdotus: Jos kiertokulma on 0 tai Pi, niin kyllä, mutta muuten ei?

  Mutta: Algebran peruslauseen mukaan jokaisella polynomiyhtälöllä on ratkaisu kompleksitasossa. Siten kiertokuvauksellakin on ominaisarvoja, mutta ne ovat kompleksisia. Itse asiassa kompleksiluvulla kertominen merkitsee kiertämistä tasossa.

  Käsitteitä

  • Ominaisavaruus
  • Spektri= ominaisarvojen joukko (kompleksitason osajoukko)
  • Spektraalisäde: itseisarvoltaan suurimman ominaisarvon itseisarvo. Se antaa ympyrän säteen, jonka sisällä kaikki ominaisarvot (eli spektrin pisteet) ovat.
  • Karakteristinen polynomi : D(s)=det(A-s I)
  • Ominaisarvon s_k algebrallinen kertaluku = p_k, kun karakteristinen polynomi esitetään tekijöihin jaetussa muodossa:
    D(s)=(s-s₁)^p₁ ... (s-s_k)^p_k
    

    Ominaisarvon s alg. kertal. merk M_s

  • Geometrinen kertaluku m_s tarkoittaa vastaavan ominaisavaruuden dimensiota
  • Pätee: m_s <= M_s
  • Matriisi A on defektiivinen , jos jollain ominaisarvolla s on aidosti m_s < M_s
  • Maplen eigenvects - komennon tulostus antaa havainnollisen näytön algebrallisesta ja geometrisesta kertaluvusta.

  ---

  This page created by HA
  Last update Thu Sep 24 14:48:17 EET DST 1998