http://www.math.hut.fi/teaching/p3/luentomateriaali/L6.html

Luento 6

ke 23.9.
KRE *** tarkista 7.10 ,...

Sisätuloavaruus

Ominaisuudet:

I    (cu+dv,w)=c(u,w)+d(v,w)    lineaarisuus 1. argum. suht
II   (u,v)=conj(v,u)            conj tarkoittaa kompleksikonjug.
III  (u,u) >= 0, yhtäsuuruus <==> u=0

Rⁿ:ssä (Cⁿ):ssä

                                  n
                                -----
                                 \         ---
                     (u,v)  =     )   u[i] v[i]
                                 /
                                -----
                                i = 1

                                       ( --- viittaa konjugointiin )

Ortonormaali on LRT
Esitys ON-kannassa (Fourier)
LRT voidaan ortonormeerata (Gram-Schmidt)

Normiavaruudet

Sisätulosta saatava normi:

           || u || = sqrt(u,u)

Normi voi syntyä myös ilman sisätuloa, esim:

                              n
                             -----
                              \
        ||u||₁ =               )  |u_i|    l₁ eli taksikuski
                              /
                              -----
                              i = 1

tai
max-normi
       ||u||_8' = max(|u₁|,|u₂|,...|u_n|      l_ääretön

(Tässä 8' tarkoittaa "makaavaa (transponoitua) 8:aa, eli ääretöntä.)

Lineaarikuvaukset

KRE 7.15

Jokainen matriisi A:Rⁿ -> R^m määrittelee lineaarikuvauksen. Kääntäen:

Lause Olkoon F:Rⁿ -> R^m. Tällöin F voidaan esittää matriisin A avulla. Matriisi saadaan latomalla kantavektoreiden kuvat sarakkaiksi matriisiin.

Tod Olkoon x in Rⁿ. Esitetään x luonnollisen kannan avulla:

                                    n
                                  -----
                                   \
                              x =   )   x[i] e[i]
                                   /
                                  -----
                                  i = 1

F:n lineaarisuuden nojalla:

                                    n
                                  -----
                                   \
                           F(x) =   )   x[i] F(e[i])
                                   /
                                  -----
                                  i = 1

Mutta tämähän on sama kuin A x , kun A-matriisina on F(e[i]) - sarakevektoreista koostuva matriisi.

QED.

Huom! Olkoon yleisesti F:V->W , missä dim(V)=n, dim(W)=m. Jos {e[1],...,e[n]} on mielivaltainen kanta lähtöavaruudessa ja {f[1],...,f[m]} on mielivaltainen kanta maaliavaruudessa, niin sama lasku antaa kuvauksen näin:

x -> (x[1],...,x[n]) -> A (x[1],...,x[n])' , missä A saadaan
latomalla F(e[i])-vektorien koordinaattivektorit kannan {f[1],...,f[m]}
suhteen matriisin sarakkeiksi. Tuloksena saadaan koordinaattivektori,
joka ilmaisee koordinaatit f-kannassa.









HA 

Thu Sep 24 14:15:23 EET DST 1998