Teht. 5

Mitä tarkoittaa kompleksifunktion analyyttisyys

Jotta funktio olisi analyyttinen jossain pisteessä, sillä on oltava derivaatta siinä. Mutta, tämä ei vielä riitä. Analyyttisyys pisteessä z₀ edellyttää, että pisteellä z₀ on jokin ympäristö (siis jokin z₀-keskinen kiekko), jonka kaikissa pisteissä funktiolla on derivaatta.

Jos funktion lausekkeessa esiintyy vain kompleksimuuttuja z, voidaan derivoituvuus (ja siten analyyttisyys) useimmiten ratkaista peruslauseisiin vedoten. Tällaisia ovat summan, tulon (potenssin) ja osamäärän derivointisäännöt sekä eräiden tunnettujen perusfunktioiden derivoituvuus. Tässä yhteydessä riittää mainittujen sääntöjen lisäksi funktion f(z)=z derivoituvuus, joka lasketaan aivan samoin kuin reaalitapauksessa.

Jos funktion lausekkeessa esiintyy x:ää tai y:tä (tai |z|, conj(z)) siten, että niitä ei voi koota z:ksi, on turvauduttava Cauchy-Riemannin yhtälöihin. Tässä tehtävässä näin on asian laita c)-kohdassa. (Tietysti CR-yhtälöitä saa käyttää aina, mutta a) ja b)-kohdissa se johtaisi mittaviin laskuihin).

Derivatta niissä pisteissä, joissa se on olemassa, saadaan kaavalla f'=u_x+iv_x .
Siis:

   f'(x,2n*pi)=u_x+iv_x = 1+0i = 1