Luennoin keväällä 2006 TKK:n matematiikan laitoksella kurssin, joka johdattelee differentiaaligeometrian kauniisiin ideoihin ja tuloksiin. Erityisesti kevään 2006 kurssilla keskitytään Lien ryhmiin ja niiden geometriaan. Tavoitteena on motivoida abstraktin monistojen teorian ja Lien ryhmien tarvetta matriisiryhmien kautta.

Lien ryhmien, Lien algebrojen ja niiden sovellusten teoria on olennainen osa matematiikkaa. Sophus Lien (1842-1899) ajoilta teoria on kehittynyt alan pioneerien Élie Cartan (1869-1951), Hermann Weyl (1885-1955) ja Claude Chevalley (1909-1984) kautta koskettamaan suunnattoman laajaa matematiikan kenttää alkaen klassisesta geometriasta differentiaaligeometriaan, algebralliseen geometriaan, topologiaan, differentiaaliyhtälöihin (tavallisiin ja osittais-), kompleksianalyysiin (yhden ja usemman muuttujan), ryhmäteoriaan, renkaiden teoriaan, lukuteoriaan, kvanttifysiikkaan, suhteellisuusteoriaan, Heisenbergin epätarkkuusperiaatteeseen, kvarkkiteoriaan, Fourier-sarjoihin, kombinatoriikkaan jne. Lien ryhmien rikas vuorovaikutus johtuu niiden perusluonteesta - ne ovat samanaikaisesti sekä geometrisia että algebrallisia objekteja. Monet kääntyvien matriisien aliryhmät, differentiaaliyhtälöiden ja geometristen struktuurien symmetriaryhmät ovat Lien ryhmiä.

Kurssilla tutustutaan elementaariseen Lien teoriaan konkreettisten lineaaristen ryhmien kautta. Nämä ovat kääntyviä reaali- tai kompleksilukukertoimisia neliömatriiseja. Rajoittumalla suljettuihin lineaarisiin ryhmiin saadaan suuri joukko (kaikki kompaktit!) Lien ryhmiä joiden Lien algebra saadaan välittömästi määrätyksi matriisikokoelmana. Tätä kautta avautuvien esimerkkien kautta tutustutaan Lien ryhmien ja Lien algebrojen vastaavuuteen. Matriisiryhmien kautta tutustutaan Lien ryhmien Riemannin geometriaan. Valitsemalla luonnollinen Lien ryhmään liittyvä metriikka lasketaan joitakin geometrisia objekteja kuten geodeesit ja erilaisia kaarevuuksia.

Kevään 2006 kurssi on luonteeltaan yleissivistävä ja sopii kaikille matematiikasta ja sen soveltamisesta kiinnostuneille. Esitiedoiksi riittää peruskurssien L1-L3, Moda lisäksi avoin ja utelias mieli. Kurssi on mahdollista suorittaa kahdella välikokeella tai tentillä ja täydentää aktiivisella osallistumisella laskuharjoituksiin tai kurssin aihepiiriin liittyvällä harjoitustyöllä.

Tervetuloa!