Matematiikan laitos
Teknillinen Korkeakoulu

Mat-1.146 Algebran perusteet (4 ov) L

Kurssi on luennoitu viimeisen kerran vanhassa muodossa 2005. Tutkintosäännön uudistuksen myötä algebran opetus muuttuu.

Oletko kuullut hieman vanhempien matemaatikoiden puhetta: Korviin kantautuu aivan tuttuja sanoja, suomenkieltä kaiketi, mutta miksi ihmeessä laskuopissa tarvitaan ryhmiä, renkaita, tai kuntia, ideaaleista puhumattakaan? Entäpä tekijöitä kokonaisalueessa? Tai liittoluokkia tai jäännösluokkia?

Tarkemmin kuunnellen, eivät taida käyttää näitä sanoja aivan arkipäiväisissä merkityksissä, vaan puhe kyllä vaikuttaa matematiikalta.

Algebran perusteiden kurssilla pääset mukaan tähän taitajien joukkoon, ja huomaat, että kaikki nuokin käsitteet, ja monet muut, ovat hyödyllisiä ja tarpeen laskutaidon hallinnassa.

Opintojakso Mat-1.146 Algebran perusteet on tarkoitettu kaikille, jotka tuntevat aitoa kiinnostusta matematiikkaan, ja kaikille niille, jotka tämän ohella, tai tästä riippumatta, käyttävät matematiikkaa mitä erilaisimmissa sovellutuksissa, kuten fysiikassa, tai tietotekniikassa, tai itse asiassa millä tahansa teknisellä alalla. Heille tämä opintojakso on välttämätön peruspaketti, jolla esitellään matematiikan keskeisimpiin kuuluvia asioita: Miten laskutoimitukset oikeastaan toimivat, mitä ominaisuuksia niillä on, ja millä tavoin eri yhteyksistä tutut laskutavat ovat samankaltaisia, tai eroavat toisistaan.

Opintojakso on ollut opetusohjelmassa joka toisena lukuvuotena, viimeisen kerran syksyllä 2005. Uuden kurssin osalta asiasta tiedotetaan myöhemmin.

Opintojakson sisältö

• Johdantoa: Joukko-opin peruskäsitteitä.
• Kokonaislukujen ominaisuuksia: Induktiotodistukset, jaollisuus, jäännösluokat.
• Permutaatioista: Permutaatiot ja permutaatioryhmät.
• Ryhmäteoriaa: Aliryhmät, sykliset ryhmät, isomorfismit ja homomorfismit, tekijäryhmät.
• Renkaista: Kokonaisalueet ja kunnat, ideaalit ja tekijärenkaat, homomorfismit.
• Polynomeista: Polynomien jaollisuusoppia, symmetrisistä polynomeista.
• Jaollisuusoppia: Jaollisuusoppia kokonaisalueissa.
• Kuntien teoriaa: Algebralliset kuntalaajennukset, jakautumiskunnat, Galois-kunnat, harpilla ja viivottimella tehtävät geometriset konstruktiot, ns. Algebran peruslause.
• Kommutatiivisten ryhmien teoriaa: Äärelliset ja äärellisviritteiset kommutatiiviset ryhmät.

Kirjallisuus

• Opintojakso on perustunut teokseen W. Keith Nicholson: Introduction to Abstract Algebra, 2nd ed. John Wiley, 1999.
• Opintojaksolla on ollut käytössä vaatimukset kattava opetusmoniste.

Opintojakson suorittaminen

Yhdellä tentillä.

Opintojakson opettaja

Lehtori Seppo Ilkka