Tehtäviä differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen MATLABissa.

Käytön idea: kun löydät mieleisesi tehtävän, sen alapuolella on linkki tex-tiedostoon. Lataa tiedosto, ja liitä se harjoituspohjaan tai omaan Latex-pohjaasi.

1. mlD001.tex (iv3 harj.1 av 2001)
   Tätä tehtävää harjoitellaan Matlab-teknisesti loppuviikon harjoituksissa. Osattava esittää liitutaululla käsin piirtäen periaatteessa. Tarkastellaan diffyhtälöä $y'=y-x$ alueessa $-1 \leq x,y \leq 1$, Piirrä $xy$-koordinaatistoon suuntakenttä ja isokliinejä käsin ja kokeile myös Matlabia laskimen roolissa. Ota hilaväliksi aluksi vaikka $h=0.5$. Matlab-laskussa kannattaa muodostaa matriisi, sanokaamme K, jonka alkioina ovat arvot $y_i - x_j$, $i=1\ldots 5, j=1\ldots 5$ tähän tapaan:
   

     h=0.5; 
     t=-1:h:1;
     x=0:h:2;
   
     for i=1:5 
       for j=1:5  
         K(i,j)=y(i)-x(j) 
       end  
     end                           
   

   Koska matriisissa rivi-indeksi i juoksee alaspäin, on helpompaa sijoittaa arvot koordinaatistoon kääntämällä matriisin sarakkeet ylösalaisin; tämä tapahtuu komennolla flipud. Katso siis matriisista flipud(K) arvot ja merkitse ne kynällä piirrokseen. Tarkista käsin (tai ``skalaarilaskimella'' (Matlabkin käy)) muutama alkio ainakin. (Hilan tihentäminen käy nyt helposti muuttamalla vain yllä $h$:ta.)
   Myöhemmin opimme, että K-matriisin muodostaminen käy kätevämmin, tehokkaammin ja rutiininomaisemmin näin:

                                                                             
   x=...;y=...  % Kuten edellä                                                     
   [X,Y]=meshgrid(x,y);  
   K=Y-X;    
         %{ 
           Jos esiintyy kertolaskua, potenssia ym.,
           on varustettava pisteellä, siis 
           .*, .^  ./  (taulukko-operaatiot)
          %}     
    

   Nyt meillä on kaikki data kerättynä suuntakentän piirtämistä varten. Voit katsoa skriptiä suuntak1.m ja miettiä, mitä siinä tapahtuu.

   Lopuksi voit kokeilla Rice-Universityn sivulla olevaa mainiota funktiota dfield , jonka käyttö ei vaadi Matlabin tuntemista lainkaan.

   Vaikeus 2.

   Tehtävän Latex-koodi:
   Ratkaisu (m)
   
   

   Viitteitä:
   
   • Golubitzky-Dellnitz: Linear Algebra and Differential Equations using Matlab, Brooks/Cole 1999.
   • Suuntakenttien piirto: dfield (Rice University)
   • suuntak1.m (Oma perusMatlab-koodi)

   ---

2. mlD002.tex
   

   Millä xy-tason käyrillä on ominaisuus: Käyrän tangentin kulmakerroin jokaisessa pisteessä $(x,y)$ on $-\frac{4 x}{y}$ ? Ratkaise yhtälö muuttujien erottelulla (``separation of variables''). Piirrä suuntakenttä isokliineja apuna käyttäen käsin vaikkapa alueessa $[-2,2] \times [-2,2]$. Kokeile myös LAODE-funktiota dfield8 (kts. vihje). Tässä on käytettävä ahkerasti stop-näppäintä, ratkaisu ajautuu aina ongelma-alueelle, mikäli x-akseli on mukana. Voit myös täydentää kuvaa alussa laskemillasi ratkaisukäyrillä tyyliin:

   x=linspace(-2,2,30);y=x; 
   [X,Y]=meshgrid(x,y);     
   Z=... % muista pisteittäiset laskutoimitukset. 
   contour(x,y,Z,1:10); 
   shg  % "show graphics" 
   

   Kokeile ja selitä!

   Vihje
   Hae m-tiedosto dfield8 (Rice University) ja sijoita se Matlab-polkusi varrelle.
   Kirjoita Matlab-istuntoon : dfield8

   Vaikeus 2

   Tehtävän Latex-koodi
   Ratkaisu: (ei viel.)
   pdf-muodossa  |  m-tiedosto
   Aputiedostoja,viitteitä

   • (Ei ole) Oppilaille: ohje-ja pohjatyöarkki (mw) (Linkki mukaan mlD002.tex-tiedostoon)
   • (Ei ole) Opettajalle: Latex-lisäohjeita liitettäväksi tähtäväpaperiin

   Viitteet: Golubitzky-Dellnitz: Linear Algebra and Differential Equations using Matlab, Brooks/Cole 1999.

   Avainsanat:
   MatlabDy, diffyhtälöt, suuntakenttä, isokliinit, mlDifferentiaali(yhtälöt)

   ---

   ---

   ---

   ---

   ---