\documentclass[10pt,a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\include{/u/lai/mat/apiola/tex/defs}
\include{/u/lai/mat/apiola/tex/ematmakrot}
\include{/u/lai/mat/apiola/tex/eyleismakrot}
\def\ko{{\tt Ko}}
\def\eiko{{$\lnot${\tt Ko}}}
\usepackage{isolatin1}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[finnish]{babel}
%\newcommand{\matl}{\textsc{Matlab}}
%\newcommand{\nappain}[1]{{\fboxsep=1pt\fbox{\texttt{#1}}}}
%\newcommand{\nuolinappain}{\nappain{$\uparrow$}}
\newcommand{\pot}{$\char'136$}
\advance\oddsidemargin by -2cm
\advance\textwidth by 4cm
\advance\tolerance by 200
%\advance\tolerance by 1000

\begin{document}

\subsection*{Mat-1.131  Kemiallisen tekniikan matemaattiset menetelmät}

\hfill Apiola/Hakula
%\vspace{0.2cm}
\subsection*{Tentti 23.05. 1996  }
%\vspace{0.2cm}

\vspace{0.5cm}
Kirjoita selv\"asti jokaiseen koepaperiin eri riveille: \newline
1) opintojakson nimi, p\"aiv\"ays; \newline
2) opiskelijanumero+kirjain, TEKSTATEN sukunimi alleviivattuna, kaikki 
etunimet;
 \newline
3) koulutusohjelma (Ke,Ko,M,Mk,P,R,S,Tf,Ti,Tu); \newline
4) mahdolliset entiset nimet ja koulutusohjelmat; \newline
5) nimikirjoitus.
\vspace{0.5cm}


\begin{enumerate}


\item %1
Olkoon $A$ diagonalisoituva neliömatriisi, ts. $A$ voidaan esittää
muodossa $A=Q D Q^{-1}$, missä $D$ on diagonaalimatriisi.

a) Osoita, että $A^n=Q D^n Q^{-1}$.

b) Olkoon
$A=\left [\begin {array}{ccc} 0&3&-2\\\noalign{\medskip}2&
1&-2\\\noalign{\medskip}-3&3&1\end {array}\right ]$

Osoita, että $A$ on diagonalisoituva ja laske $A^6$ .

\item %2
Kaksi s\"aili\"ot\"a, $A$ ja $B$ sis\"alt\"a\"a $50$ {\it l} nestett\"a 
kumpikin. 
Niit\"a yhdist\"a\"a
kaksi putkea siten, ett\"a $A \to B$ virtaa nestett\"a 
nopeudella $4$ {\it l/min} ja
$B \to A$ $1$ {\it l/min} ja oletetetaan, ett\"a neste sekoittuu heti. 
Puhdasta vett\"a virtaa s\"aili\"o\"on $A$ nopeudella $3$ {\it l/min}
ja s\"aili\"ost\"a $B$ poistuu nestett\"a niinik\"a\"an nopeudella $3$ 
{\it l/min}.

\begin{verbatim}

   3 l/min 
   __________          __________
   -->       |         |         |
   __        |_________|         |
    |         4 l/min ->         |
    |        -----------         |
    |        |         |         |
    |    A   |         |    B    |
    |        |---------|         |
    |         <--1 l/min         |
    |        |---------|         ----
    |________|         | ____________-> 3 l/min

\end{verbatim}
Oletetetaan, ett\"a alkuhetkell\"a s\"aili\"o $A$ 
sis\"alt\"a\"a $25$ kg suolaa ja
s\"aili\"o $B$ pelkk\"a\"a vett\"a. 

a) M\"a\"arit\"a suolam\"a\"ar\"at kummassakin s\"aili\"oss\"a
ajan funktiona. 

b) Millä ajanhetkellä säiliöiden suolamäärät ovat samat? 

\item %3

 Laske funktion $f_1$ Laplace muunnos ja funktion 
$F_2$ k\"a\"anteismuunnos, kun
\[
    f_1(t)=\left\{ \begin{array}{rl}
             0\ ,&0\le t<2\\
             2\ ,&2<t<3\\
             -2\ ,&3<t<4\\
             0\ ,&t>4
           \end{array}\right.  \hspace{1.5cm}
           F_2(s)={\frac{1}{s^2(s^2+\omega^2)}} %f_2(t)=t\sin(at)\cos(at)
\]



\item %4
Ratkaise numeerisesti alkuarvotehtävä $x'={\frac{1}{t+x^2}}$, $x(0)=1$
välillä $[0,1]$ jakamalla väli a) kahteen, b) kolmeen yhtä suureen osaan.
Käytä Eulerin menetelmää. Ilmoita ratkaisusi taulukkoina muodossa 
{\tt t-sarake, x-sarake} (kolmella numerolla) ja piirrä kuvaajat 
(samaan kuvaan).

\item %5
Ratkaise vaimennettu v\"ar\"ahtelyteht\"av\"a:
$$x''+2x'+x=\delta(t)-H(t-2\pi), x(0)=0,x'(0)=0 .$$
T\"ass\"a her\"atteen\"a (ulkoisena voimana) on impulssi (vasaranisku)
hetkell\"a $t=0$ ja vakiovoima $-1$ ajanhetkest\"a $t=2\pi$ alkaen.
Hahmottele ratkaisufunktion kuvaaja v\"alill\"a $\lbrack 0,10 \rbrack$.


\end{enumerate}


\vskip 0.5cm

\paragraph*{Mukana} saa olla {\bf ei}-ohjelmoitava laskin. K\"aytett\"aviss\"a
on my\"os alla oleva minirautaisannos matematiikan kaavoja. 

%\vfill\eject


\subsection*{Laplace-muunnoksia}

\paragraph*{Määritelmä: }
Annettu $f(t)$, $Lf=F$, $F(s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt$ 
\quad {\bf Merk.} $u(t)=H(t)$=yksikköaskelfunktio .
\vskip 0.5 cm

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$f(t)$ & $F(s)$ & $f(t)$ & $F(s)$& $f(t)$ & $F(s)$ & $f(t)$ & $F(s)$ 
& $f(t)$ & $F(s)$ & $f(t)$ & $F(s)$ 
\\ \hline \hline
%\multicolumn{4}{|c|} \\ \hline  
  $t^k$ & ${\frac{k!}{s^{k+1}}}$ & $e^{at}$ & ${\frac{1}{s-a}}$ &
  $\cosh at$ & ${\frac{s}{s^2-a^2}}$& $\sinh at$ & ${\frac{a}{s^2-a^2}}$ 
  &$\cos \omega t$ & ${\frac{s}{s^2+\omega^2}}$ 
&$\sin \omega t$   & ${\frac{\omega}{s^2+\omega^2}}$
\\ \hline 
\end{tabular}

\vskip 0.5 cm

$$(L f')(s)=s F(s)-f(0),\quad (L f'')(s)=s^2 F(s)-s f(0)-f'(0),$$

$$(L f^{(n)})(s)=s^n F(s)-s^{(n-1)}f(0)- \ldots - 
s f^{(n-2)}(0)-f^{(n-1)}(0) $$

$$L\lbrace \int_0^t f(\tau)d\tau \rbrace ={\frac{1}{s}}F(s), \ \ 
L(f*g)=(Lf)(Lg), (f*g)(t)=\int_0^t f(t-\tau)g(\tau)d\tau = (g*f)(t)$$

$$L\lbrace e^{at} f(t) \rbrace = F(s-a), \ \ 
 L\lbrace u(t-a)f(t-a) \rbrace = e^{-as}F(s), \ \
L\lbrace \delta(t-a)\rbrace = e^{-as}$$

$\delta(t-a)$ tarkoittaa {\em Dirac'n} $\delta$:aa.

\end{document}
{\frac{}{}}

\end{tabular}
\end{document}

*********** Ratkaisuja *********************** Ratkaisuja ************










