Mat-1.131 Kemiallisen tekniikan matemaattiset menetelmät

Apiola/Hakula

Tentti 23.05. 1996

Kirjoita selvästi jokaiseen koepaperiin eri riveille:

1) opintojakson nimi, päiväys;

2) opiskelijanumero+kirjain, TEKSTATEN sukunimi alleviivattuna, kaikki etunimet;

3) koulutusohjelma (Ke,Ko,M,Mk,P,R,S,Tf,Ti,Tu);

4) mahdolliset entiset nimet ja koulutusohjelmat;

5) nimikirjoitus.

1. Olkoon A diagonalisoituva neliömatriisi, ts. A voidaan esittää muodossa A = QDQ^{−1}, missä D on diagonaalimatriisi.

a) Osoita, että A^{n} = QD^{n}Q^{−1}.

b) Olkoon A = [ \begin{matrix}0 & 3 & −2 \\ 2 & 1 & −2 \\ −3 & 3 & 1 \end{matrix} ]

Osoita, että A on diagonalisoituva ja laske A^{6} .

2. Kaksi säiliötä, A ja B sisältää 50 l nestettä kumpikin. Niitä yhdistää kaksi putkea siten, että A → B virtaa nestettä nopeudella 4 l/min ja B → A 1 l/min ja oletetetaan, että neste sekoittuu heti. Puhdasta vettä virtaa säiliöön A nopeudella 3 l/min ja säiliöstä B poistuu nestettä niinikään nopeudella 3 l/min.

   3 l/min
   ____________________
   -->       |         |         |
   __|_________|         |
    |         4 l/min ->         |
    |        -----------         |
    |        |         |         |
    |    A   |         |    B    |
    |        |---------|         |
    |         <--1 l/min         |
    |        |---------|         ----
    |________|         | ____________-> 3 l/min

Oletetetaan, että alkuhetkellä säiliö A sisältää 25 kg suolaa ja säiliö B pelkkää vettä.

a) Määritä suolamäärät kummassakin säiliössä ajan funktiona.

b) Millä ajanhetkellä säiliöiden suolamäärät ovat samat?

3. Laske funktion f_{1} Laplace muunnos ja funktion F_{2} käänteismuunnos, kun

f_{1}(t) = \{ \begin{matrix}0 , & 0 ≤ t < 2 \\ 2 , & 2 < t < 3 \\ −2 , & 3 < t < 4 \\ 0 , & t > 4 \end{matrix} F_{2}(s) = \frac{1}{s^{2}(s^{2} + ω^{2})}

4. Ratkaise numeerisesti alkuarvotehtävä x′ = \frac{1}{t+x^{2}} , x(0) = 1 välillä [0, 1] jakamalla väli a) kahteen, b) kolmeen yhtä suureen osaan. Käytä Eulerin menetelmää. Ilmoita ratkaisusi taulukkoina muodossa t-sarake, x-sarake (kolmella numerolla) ja piirrä kuvaajat (samaan kuvaan).

5. Ratkaise vaimennettu värähtelytehtävä:

x′′ + 2x′ + x = δ(t) − H(t − 2π), x(0) = 0, x′(0) = 0.

Tässä herätteenä (ulkoisena voimana) on impulssi (vasaranisku) hetkellä t = 0 ja vakiovoima −1 ajanhetkestä t = 2π alkaen. Hahmottele ratkaisufunktion kuvaaja välillä [0, 10].

Mukana saa olla ei-ohjelmoitava laskin. Käytettävissä on myös alla oleva minirautaisannos matematiikan kaavoja.

Laplace-muunnoksia

Määritelmä: Annettu f(t), Lf = F, F (s) = ∫_{0}^{∞} f(t)e^{−st}dt Merk. u(t) = H(t)=yksikköaskelfunktio .

f(t) F (s) f(t) F (s) f(t)  F (s) f(t) F (s) f(t) F (s) f(t) F (s)
t^{k}  \frac{k!}{s^{k+1}} e^{at}  \frac{1}{s−a} cosh at \frac{s}{s^{2}−a^{2}} sinh at \frac{a}{s^{2}−a^{2}} cos ωt \frac{s}{s^{2}+ω^{2}} sin ωt \frac{ω}{s^{2}+ω^{2}}

(Lf′)(s) = sF (s) − f(0), (Lf′′)(s) = s^{2}F (s) − sf(0) − f′(0),
(Lf^{(n)})(s) = s^{n}F (s) − s^{(n−1)}f(0) − … − sf^{(n−2)}(0) − f^{(n−1)}(0)

L\{∫_{0}^{t} f(τ)dτ\} = \frac{1}{s}F (s), L(f ∗ g) = (Lf)(Lg), (f ∗ g)(t) = ∫_{0}^{t} f(t − τ)g(τ)dτ = (g ∗ f)(t)

L{e^{at}f(t)} = F (s − a), L{u(t − a)f(t − a)} = e^{−as}F (s), L{δ(t − a)} = e^{−as}

δ(t − a) tarkoittaa Dirac’n δ:aa.