\section{Lineaarialgebraa}

L�hteit�:

\begin{verbatim}
[Str] Strang: Linear Algebra
[Gree]Greenberg
[Kre] Kreyszig

\end{verbatim}

\subsection{Lineaariset yht�l�t, matriisit, vektoriavaruudet}

\begin{enumerate}

\item{[Gro...]}
a)
Ratkaise systeemi
$$\begin{cases}
        x+2y+3z=6 \\
        2x+5y+2z=4 \\
        6x-3y+z=2 
\end{cases}$$

$$
\begin{cases}
        2x+y+z=10 \\
        3x +y -z =6 \\
       x-2y-4z=-10 
\end{cases}
$$
Gaussin eliminaatiomenettelyll� \footnote{Gauss tarkoittaa:
Saata systeemi yl�k�lmiomuotoon ja suorita sitten takaisinsijoitus.
(Gauss--Jordan puolestaan tarkoittaa rivioperaatioden jatkamista my�s
``alhaalta yl�s''.)}
Opettele mieluusti k\"asittelem\"a\"an 
teht\"avi\"a pelk\"ast\"a\"an kerroinmatriisien avulla.

b)
Kirjoita systeemi vektoriyht�l�n�, jossa vasen puoli on sarakevektorien
lineaarikombinaatio. Piirr� kuva.

Ratk:
a)
\begin{verbatim}
Ab =

     2     1     1    10
     3     1    -1     6
     1    -2    -4   -10

>> ref(Ab)                           

ans =

    1.0000         0         0    3.5000
         0    1.0000         0   -0.7500
         0         0    1.0000    3.7500

>> rref(Ab)                          

ans =

    1.0000         0         0    3.5000
         0    1.0000         0   -0.7500
         0         0    1.0000    3.7500


\end{verbatim}

\item{[s95 1]}
Gree s. 15
M\"a\"arit\"a seuraavien lineaaristen systeemien ratkaisujoukot Gaussin
algoritmilla. (Opettele mieluusti k\"asittelem\"a\"an teht\"avi\"a
pelk\"ast\"a\"an kerroinmatriisien avulla.)

\quad
b)
$
\begin{cases}
        x_1-x_2+2x_3+x_4=-1  \\
        2x_1+ x_2+ x_3- x_4=4  \\
        x_1+2 x_2- x_3-2x_4=5  \\
        x_1 + x_3 =1   
\end{cases}
$
\quad
c)
$
\begin{cases}
        2x_1-x_2-x_3-3x_4=0  \\
        x_1-x_2+ 4x_3=2  \\
\end{cases}        
$

Vast: c)
$$\begin{cases}
        x_4=\alpha_1 \\
        x_3=\alpha_2 \\
        x_2=-4+3\alpha_1+9\alpha_2 \\
        x_1=-2+3\alpha_1+5\alpha_2   \\
\end{cases}
$$

d) Gro 2. 15 (e): 4x4 syst,. 2-param. ratk.joukko

(i) 3x3 1-k�s (tuskin nyt en��)

Otetaan kaikki perustapaukset, osia annetaan \matl-syntaksilla.

{\bf Ratk b)}

\begin{verbatim}
>> A=[1 -1 2 1;2 1 1 -1;1 2 -1 -2;1 0 1 0]

A =

     1    -1     2     1
     2     1     1    -1
     1     2    -1    -2
     1     0     1     0

>> b=[-1;4;5;1]

b =

    -1
     4
     5
     1

>> Ab=[A b]
Ab =

     1    -1     2     1    -1
     2     1     1    -1     4
     1     2    -1    -2     5
     1     0     1     0     1

>> rref(Ab)

ans =

     1     0     1     0     1
     0     1    -1    -1     2
     0     0     0     0     0
     0     0     0     0     0
=====================
Maple:

>A:=matrix([[1, -1, 2, 1],[2, 1, 1, -1],[1, 2, -1, -2],[1, 0, 1, 0]]);
>b:=matrix([[-1],[4],[5],[1]]);
>Ab:=augment(A,b);

                         [ 1  -1   2   1  -1 ]
                         [                   ]
                         [ 2   1   1  -1   4 ]
                   Ab := [                   ]
                         [ 1   2  -1  -2   5 ]
                         [                   ]
                         [ 1   0   1   0   1 ]
>rref(Ab);
                       [ 1  0   1   0  1 ]
                       [                 ]
                       [ 0  1  -1  -1  2 ]
                       [                 ]
                       [ 0  0   0   0  0 ]
                       [                 ]
                       [ 0  0   0   0  0 ]
>linsolve(A,b);

                      [     1 - _t[1]     ]
                      [                   ]
                      [ 2 + _t[1] + _t[2] ]
                      [                   ]
                      [       _t[1]       ]
                      [                   ]
                      [       _t[2]       ]
\end{verbatim}

$\left [\begin {array}{c} 1-{\it \_t}_{{1}}
\\\noalign{\medskip}2+{\it \_t}_{{1}}+{\it \_t}_{{2}}
\\\noalign{\medskip}{\it \_t}_{{1}}\\\noalign{\medskip}
{\it \_t}_{{2}}\end {array}\right ]$

ratk. c)
\begin{verbatim}
A:=matrix([[2,-1,-1,-3],[1,-1,4,0]]);
b:=matrix([[0],[2]]);
Ab:=augment(A,b);
rref(Ab);

                      [ 1  0  -5  -3  -2 ]
                      [                  ]
                      [ 0  1  -9  -3  -4 ]
linsolve(A,b);
\end{verbatim}
$\left [\begin {array}{c} -2+5\,{\it \_t}_{{1}}+3\,{\it 
\_t}_{{2}}\\\noalign{\medskip}-4+9\,{\it \_t}_{{1}}+3\,
{\it \_t}_{{2}}\\\noalign{\medskip}{\it \_t}_{{1}}
\\\noalign{\medskip}{\it \_t}_{{2}}\end {array}\right ]$

\item{[Str s. 45]}
M��rit� $q$ siten, ett� yht�l�systeemi
$$\begin{cases}
        x+4y - 2z=1 \\
        x+7y-6z=6  \\
          3y+qz= t 
\end{cases}
$$
on singulaarinen. Miten tulee t�ll�in valita $t$, jotta systeemill� olisi
��rett�m�n monta ratkaisua. M��rit� t�ss� tapauksessa se ratkaisu, jolle 
$z=1$.


\item{[Str s. 45]}
Miksi lineaarisella yht�l�ryhm�ll� ei voi olla tasan kahta ratkaisua.
(Selvit� my�s geometrisesti $2\times 2$ ja $3\times 3$- tapaukset.)

\item{[Gree s. 15]}
M\"a\"arit\"a seuraavien lineaaristen systeemien ratkaisujoukot Gauss-
Jordanin menettelyll\"a. (Opettele mieluusti k\"asittelem\"a\"an teht\"avi\"a
pelk\"ast\"a\"an kerroinmatriisien avulla.)


a)
$\begin{cases}
        2x+y+z=10 \\
        3x +y -z =6 \\
       x-2y-4z=-10 
\end{cases}$
\qquad
b)
$\begin{cases}
x_1-x_2+2x_3+x_4=-1  \\
        2x_1+ x_2+ x_3- x_4=4  \\
        x_1+2 x_2- x_3-2x_4=5  \\
        x_1 + x_3 =1   
\end{cases}
$

\item
M��rit� matriisin 
$\left [\begin {array}{ccc} 2&3&1\\\noalign{\medskip}1&1
&-2\\\noalign{\medskip}0&1&4\end {array}\right ]$
k��nteismatriisi Gauss--Jordanin menetelm�ll�.

Vast:

\begin{verbatim}

>> A=[2 3 1;1 1 -2;0 1 4];
>> AA=[A,eye(3,3)]

AA =

     2     3     1     1     0     0
     1     1    -2     0     1     0
     0     1     4     0     0     1

>> rref(AA)

ans =

     1     0     0     6   -11    -7
     0     1     0    -4     8     5
     0     0     1     1    -2    -1

>> inv(A)

ans =

     6   -11    -7
    -4     8     5
     1    -2    -1

\end{verbatim}


\item %2
Osoita, ett\"a $m\times n$ lineaarisella homogeenisysteemill\"a on aina
\"a\"arett\"om\"an monta ratkaisua, 
jos $n>m$ (tuntemattomia enemm\"an kuin yht\"al\"oit\"a).

{\bf Vihje:} Mieti, miten kirjan ja luentojen $''q''$ suhtautuu lukuun
$n$.

%\item
%N\"ayt\"a, ett\"a vektorit \V{u}$=(0,2,5)$ , \V{v}$=(3,1,-2)$, \V{w}$=(-12,2,23)$
%ovat saman tason suuntaiset. M\"a\"arit\"a \V{u}:n koordinaatit kannassa
%$\{$ \V{v,w} $\}$

\item{[Gree s. 44 1b]}
a) Viritt\"av\"atk\"o vektorit $(0,0,0,1),(0,0,1,1),(0,1,1,1),(1,1,1,1)$
avaruuden $R^4$?

b) Osoita, ett� vektorit
${\bf v}_1=(1,1,0),{\bf v}_2=(0,1,1) $ja ${\bf v}_3=(1,0,1)   $
muodostavat avaruuden $R^3$ kannan. Mitk\"a ovat vektorin
${\bf x} = (1,2,3)$ 
koordinaatit t\"ass\"a kannassa?

\item{[Gree s. 60]} Olkoot
$\V{u_1}=(1,0,0),..., \V{u_7}=(3,2,2) $.

M��rit� a) dim(sp$\{\V{u_1}\}$), b)dim(sp$\{\V{u_1,u_2}\}$) ,
c) dim(sp$\{\V{u_1,u_2,u_3}\}$), d) ...


\item
a) M\"a\"arit\"a kaksi $R^3$:n vektoria, jotka viritt\"av\"at 
tason $x_1-2x_2+4x_3=0$.
(Valinnanvaraa on.)

b)  Olkoon $P_2$ korkeintaan astetta $2$ olevien polynomien muodostama 
vek\-to\-ri\-ava\-ruus. Selvit\"a, ovatko t\"ah\"an avaruuteen kuuluvat 
polynomit 
$x-2x^2,\ \ x^2-4x$ ja $-7x+8x^2$
lineaarisesti riippuvat vai riippumattomat.

\item{[Gree 96]}
M��rit� seuraavien hypertasojen dimensiot:

a) $x_1-x_2+5x_3+x_4=0 \ \ R^4$:ss�

b) $x_1-2x_4+x_6=0  \ \ R^6$:ssa.



\item
Osoita, ett\"a vektorit 
$e_1=(2,1,3),e_2=(1,-2,0), e_3=(6,3,-5)$ muodostavat ortogonaalisen
kannan $R^3$:ssa.

M\"a\"arit\"a vektorin $u=(9,-2,4)$ esitys t\"ass\"a kannassa.

Ratk. omassa mapissa

\item
Sovella Gram-Scmidt-menettely\"a vektorijoukon 
$(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)$ 
ortonormalisointiin:


\item 
Olkoot $p$, $q$, $v\in R^4$; $p=(1,-5,2,3)$, $q=(2,2,-3,1)$ ja
$v=(4,1,1,2)$. M\"a\"aritell\"a\"an seuraava suoran yht\"al\"o
%\[
%     s=\lset x\in\ir^4\se x=q+t v\rset
%\]
$$ s=\{ \V{x} \in R^4 | {\bf x}={\bf q}+t{\bf v} \}$$
miss\"a $t$ on reaalinen parametri.
Mik\"a on $p$:n lyhin (euklidinen) et\"aisyys suorasta $s$ ?

{\bf Vihje}: Muodosta pisteen $p$ ja  yleisen suoran pisteen v\"alinen
et\"aisyyden lauseke (tai sen neli\"o) ja minimoi.


\item
a) Osoita, ett� $A A^T$ on symmetrinen mille tahansa $m \times n$-matriisille
$A$. (Symmetrisyysh�n tarkoittaa, ett� matriisi ja sen transpoosi yhtyv�t.)

b) Oletetaan, ett� $A$ ja $B$ ovat ei-singulaarisia neli�matriiseja.
Osoita, ett� $A B$ on ei-singulaarinen ja $(A B)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$.

%$
%\left |\begin {array}{ccc} a&2&3\\\noalign{\medskip}4&5
%&6\\\noalign{\medskip}7&8&9\end {array}\right |
%$

\item

Osoita, ett� yl�kolmiomatriisin (yht� hyvin alakolmiomatriisin) determinantti
= diagonaalialkioiden tulo.


\item
Selvit� vektorien $(1,2,3,4),(5,6,7,8),(9,10,11,12),(13,14,15,16)$
lineaarinen riippuvuus/mattomuus laskemalla sopivan matriisin determinantti.
Determinantin laskemisessa on suositeltavaa k�ytt�� Gaussin eliminaatiomenettelyst�
tuttuja rivioperaatioita. (Voit kolmiomuodon sijasta yritt�� my�s rohkeasti saada
0-rivi� aikaan, jos aavistelet siihen suuntaan.)
%(Voit my�s k�ytt�� tavanomaista determinantin kehitt�mist�kin.)

\item
Osoita, ett� $\det A=\lambda_1 \lambda_2 ... \lambda_n$ 

Ratk:
$\left |\begin {array}{cccc} a_{11}-\lambda&a_{12}&...&a_{1n}\\
            \noalign{\medskip}a_{21}&a_{22}-\lambda&...&a_{2n}\\
            \noalign{\medskip}... \end {array}\right | = 
(\lambda_1-\lambda)(\lambda_2-\lambda)...(\lambda_n-\lambda)$

Sij: $\lambda=0$.

\item
Olkoon annettu kanta $B=\{{\bf e}_1,{\bf e}_2\}$ ja olkoon
uusi kanta $B'=\{{\bf e}_1',{\bf e}_2'\}$ sellainen, ett� vanhat kantavektorit
saadaan siit� kaavoilla:
${\bf e}_1={\bf e}_1'+2 {\bf e}_2', {\bf e}_2={\bf e}_1'- {\bf e}_2'$.
M��rit� koordinaattimuunnosmatriisi $Q$.
Onko $Q$ ortogonaalinen?
Olkoon $[{\bf x}]_B=(5,-1)^T$. M��rit� $[{\bf x}]_{B'}$.
Olkoon $[{\bf x}]_{B'}=(2,3)^T$. M��rit� $[{\bf x}]_B$.

\item{[Tiet.,Strang, 96]}

\end{enumerate}

\subsection*{Sovellutuksia: Virtapiirit, katuverkot}

\begin{enumerate}

\item
\begin{verbatim}
               4 V
             ----->
        I1    |
    ----<---- | |---------
    |         |          | 
    |                    |
    <                    <
    > 1 Ohmi             > 1 Ohmi
    <                    <
    >                    >
    |                    |
    |      0.5 Ohmia     |
    ------\/\/\/--->-----
    |              I3    |
    <                    |
    >                    |
    < 2 Ohmia            \/ I2
    >                    |
    |                    |
    |         |          |
    ----<---- | |---------
              |          
               8 V
             ------>

\end{verbatim}

Laske virrat!

\item
\begin{verbatim}

    -----------------------------------------
    |                    |                   |
    |                    |                   |
    <                    <                   <
    > R1                 > R2                >  R3
    <                    <                   <
    >                    >                   >
  -----                -----               -----
   ---                  ---                 ---
    |                    |                   |
    |                    \/ I3               |
    |                    |                   |
    ----------<-------------------<-----------
              I1                  I3

\end{verbatim}

Laske virrat!
\begin{verbatim}


                     C
                /       i1(t)   i2(t)
             --/ ----||-->-------->---------
             |  K           |             | 
             |              |             |
             |              S             <
             o              S             >
         e(t)               S  L          <  R
             o              S             >
             |              S             <
             |              |             |
             |              |             |
             ------------------------------



\end{verbatim}

\item
Kaupungin liikennesuunnitteluvirasto ({\it Heikki Salmivaaran} johdolla)
on ker\"annyt liikennevirtadataa nelj\"an risteyksen muodostamalta
alueelta ruuhka-aikana.
Kadut ovat yhdensuuntaisia kuvassa n\"akyvien
nuolien osoittamalla tavalla. Kuvaan on merkitty risteyksiin tulevat
ja niist\"a l\"ahtev\"at liikennem\"a\"ar\"at tunnissa. 
Koska risteykseen saapuvien
ajoneuvojen t\"aytyy my\"os poistua siit\"a, 
saadaan yht\"al\"oryhm\"a tuntemattomien
liikennem\"a\"arien $x_1,x_2,x_3,x_4$ m\"a\"ar\"a\"amiseksi, jotka kuvaavat
liikennem\"a\"ari\"a katuverkon sis\"aosassa. Laske n\"am\"a.


\begin{verbatim}

       Unionink.                      Fabianink.
         ^                              \ /
         |800                            |600
     600 |            Etel�espl.         |
   <--------------------<-----------------------< 500
         |              x1               |
         | KAPPELI                       |
      x4 ^                               | x2
         |              x3               |
   >------------------->------------------------> 300
      700|           Pohjoisespl.        |
         |                               |
         ^                              \ /
        300                             400

\end{verbatim}

\item{[Kre6, s380]}
Liikenneverkko: Kadut ovat yhdensuuntaisia kuvassa n\"akyvien
nuolien osoittamalla tavalla. Kuvaan on merkitty risteyksiin tulevat
ja niist\"a l\"ahtev\"at liikennem\"a\"ar\"at tunnissa. 
Koska risteykseen saapuvien
ajoneuvojen t\"aytyy my\"os poistua siit\"a, 
saadaan yht\"al\"oryhm\"a tuntemattomien
liikennem\"a\"arien $x_1,x_2,x_3,x_4$ m\"a\"ar\"a\"amiseksi, jotka kuvaavat
liikennem\"a\"ari\"a katuverkon sis\"aosassa. Laske n\"am\"a.


\begin{verbatim}

        
        \/                               ^
         |400                            |800
  600    |                               |
   >-------------------->-----------------------> 800
         |              x1               |
         |                               |
     x4 \/                               ^ x2
         |              x3               |
   <-------------------<------------------------< 1200
  1000   |                               |
         |                               |
        \/                               ^
        600                             1000

\end{verbatim}

Osoita, ett� teht�v�ll� on ��ret�n m��r� ratkaisuja. 
Mik� rajoitus tulee asettaa vapaasti valittavalle parametrille, jotta
ajosuuntaa osoittavia liikennemerkkej� ei tarvitsisi muutella.

Ratk:

Solmut:
\begin{verbatim}

    1.           4.

    2.           3.
   
\end{verbatim}

$$\begin{cases}
         x_1+x_4=400+600 \\
         x_3 + x_4 =1000+600 \\
         x_2+x_3=1200+1000 \\
         x_1+x_2=800+800 
\end{cases}
$$

\begin{verbatim}
>> A=[1 1 0 0;1 0 0 1;0 1 1 0;0 0 1 1]

A =

     1     1     0     0
     1     0     0     1
     0     1     1     0
     0     0     1     1

>> det(A)

ans =

     0

>> b=[1600;1000;2200;1600]

b =

        1600
        1000
        2200
        1600

>> AA=[A b];
>> rref(AA)

ans =

           1           0           0           1        1000
           0           1           0          -1         600
           0           0           1           1        1600
           0           0           0           0           0


\end{verbatim}

T�st� n�kyy:
$\begin{cases}
         x_4=\alpha \\
         x_3  =1600-\alpha \\
         x_2=600+\alpha \\
         x_1=1000-\alpha
\end{cases}
$

Oltava $ 0< \alpha < 1000$


\hrule

Greenberg: 3.5 -- 4.3:, Kreyszig $6^{th}$ ed.: 7.6 -- 7.14, 
Kivel�:Matriisilasku
ja LA: (en nyt ehdi kaivaa tarkemmin)

\item
Katuverkko: Hill s.127

\item
Etsi matriisin rivivektoreista rank(A) kpl LRT vekt.
\item %1
Lineaarikuvauksella $F:{\bf R}^2 \rightarrow {\bf R}^2$ on ominaisuudet 
$F((1,1)) = (9,-3)$ ja $F((2,-1)) = (3,6)$. 
Laske kuvauksen matriisi (luonnollisten
kantojen suhteen) ja m\"a\"arit\"a t\"am\"an avulla vektorin $(1,-1)$ kuva.

%Vastaus:
%\begin{verbatim}
%[4 5;1 -4]  ja [-1 5]
%\end{verbatim}
%$\frac{{1}{3}} \pmatrix\fr 4 & 5 \\ 1 & -4 \endpmatrix$; \quad 
%$\frac{{1}{3}} (-1,5)$.

\item %2
Olkoon
$A=\left [\begin {array}{cc} \cos \theta &-\sin \theta\\\noalign
          {\medskip}\sin \theta& \cos \theta\end {array}
\right ] $
Osoita, ett� $A$:n m��r��m� lineaarikuvaus $F_A$ suorittaa tason pisteiden
kierron kulman $\theta$ verran vastap�iv��n. Osoita edelleen, ett� $A$
on ortogonaalinen matriisi. Mit� tekee $F_A$:n k��nteiskuvaus ja mik� on
sen matriisi?

\item
Olkoon $F:R^n \rightarrow  R^m$  alla olevaan matriisiin $A$ (vuorollaan) 
liittyv�
lineaarikuvaus. M��rit� kummassakin tapauksessa dim(ker($F$)) (nulliteetti),
dim(Im(F)) (rangi) ja totea dimensiolauseen voimassaolo. Selvit� $F$:n
surjektiivisyys (onto), injektiivisyys (1-1), bijektiivisyys (k��ntyvyys).
M��rit� viel� kannat Im(F):lle ja Ker(F):lle (jos olemassa --- 
nolla-avaruudella ei ole kantaa).

a) $A=\left [\begin {array}{ccc} 2&1&1\\\noalign{\medskip}1&1&1
\\\noalign{\medskip}0 &1 &1 \end {array}
\right ] $
b) $A=\left [\begin {array}{ccc} 2&-1&1 
\\\noalign{\medskip}0&0&3
\\\noalign{\medskip}1&1&1
\\\noalign{\medskip}1&2&3
\end {array}
\right ] $

{\bf Huom:}
Mik��n ei est� k�ytt�m�sta \matl:ia laskimena, sen avulla voit s��sty�
toistamasta samoja Gauss-askelia, joita on kenties jo harjoiteltu
k�sin laskien 
tarpeeksi.

\item
M\"a\"arit\"a seuraavien matriisien ominaisarvot ja muodosta kutakin 
ominaisarvoa vastaavalle ominaisavaruudelle jokin kanta.

%$A=matrix[[25,10],[10,93]]$

a) $A=\left [\begin {array}{ccc} 2&0&0\\\noalign{\medskip}0&1&1
\\\noalign{\medskip}0 &1 &1 \end {array}
\right ] $
b) $A=\left [\begin {array}{ccc} 1&2&3\\\noalign{\medskip}0&4&5
\\\noalign{\medskip}0&0&6 \end {array}
\right ] $


\item
Matriisilla 
$A$ on ominaisarvot $\lambda_1=2$, $\lambda_2=4$, $\lambda_3=6$.
Vastaavat ominaisvektorit ovat
$$x_1=(1,0,1)^T, x_2=(1,1,0)^T, x_3=(0,1,1)^T .$$
M\"a\"arit\"a $A$.

\item
Olkoon $A$ $n \times n$-matriisi.
%\begin{itemize}
%\item{a.)}
a) Osoita, ett\"a $A$:lla ja $A^T$:ll\"a on samat ominaisarvot.
%(Saat k\"aytt\"a\"a hyv\"aksesi determinanttien perusominaisuuksia, jos haluat.)


b) Oletetaan, ett\"a $A$ on k\"a\"antyv\"a. Olkoon $x$ ominaisarvoon $\lambda$
liittyv\"a ominaisvektori. Osoita, ett\"a $1/ \lambda$ on $A^{-1}$:n
ominaisarvo ja $y=A x$ siihen liittyv\"a ominaisvektori (tai miksei my�s $x$).
Mist\"a tied\"at, ett\"a $\lambda \ne 0$?
%\end{itemize}

c) Jos $\lambda_1,\ldots \lambda_n$ ovat $A$:n ominaisarvot, niin osoita,
ett\"a $\lambda_1^m,\ldots \lambda_n^m$ ovat $A^m$:n ominaisarvot.

\end{enumerate}

\subsection*{Loppuviikko, tietokoneharj.}

\begin{enumerate}

\item
Tarkastellaan lineaarista $4 \times 6$ systeemi� $A x = c$,\rv miss�
$A=\left [\begin {array}{cccccc} 1&-1&1&0&0&2
\\\noalign{\medskip}1&1&2&4&1&2\\\noalign{\medskip}0&2&
1&4&3&1\\\noalign{\medskip}1&-3&0&-4&-2&1\end {array}
\right ]$
ja {\it c}=$\left [\begin {array}{c} 0\\\noalign{\medskip}
3\\\noalign{\medskip}2\\\noalign{\medskip}0\end {array}
\right ]$

Tee liit�nn�ismatriisi $\tilde A$ (matl:ssa {\tt AA} vaikkapa) ja suorita 
komento {\tt [R,jb]=rref(AA)}. Poimi sen avulla $4 \times 4$ osamatriisi,
joka on yksikk�matriisi. P��ttele rangi ja tarkista {\tt rank}-komennolla
$A$:n ja $AA$:n rangit.
Revi t�st� esimerkist� mahdollisimman paljon ``q-lausetta'' ja 
``rank-lausetta'' valaisevia asioita.

%Lopuksi voit huvitella {\tt rrefmovie};n parissa.  %% ei suositella

%A=[1 -1 1 0 0 2
%1 1 2 4 1 2
%0 2 1 4 3 1
%1 -3 0 -4 -2 1]
\item 
%Ketema 94 teht. 4 ja 5   (talo.m-tiedosto ehk� valmiina tai kirjoittakaa
%itse)
%Kun matriisilla $A$ kerrotaan vektori $x$, se kuvautuu vektoriksi $y$, 
%$y=A x$.
Tiedostossa {\tt talo.m} on seuraava sis�lt�:
\begin{verbatim}
T=[0 0 -1 6 13 12 12 3 3 6 6 0;0 9 8 15 8 9 0 0 5 5 0 0]
'Paina enter, niin komento plot(T(1,:),T(2,:)) suorittuu',pause
plot(T(1,:),T(2,:)
\end{verbatim}
Suorita siis ensin komento {\tt talo}.

Olkoon $A$ $2\times 2$-matriisi ja $F_A$ sen  m\"a\"ar\"a\"am� 
lineaarikuvaus, Siten (pysty)vektorin $x$ kuva $y$ saadaan kertolaskulla
$y=Ax$. 
Piste{\bf joukko} voidaan kuvata kokoamalla $R^2$:n 
pisteet sarakkeiksi
matriisiin (kuten {\tt T} yll�) ja kertomalla se kuvausmatriisilla $A$. 
Niinp\"a  talon
nurkkapisteiden kuvat saadaan suoraan kertomalla "talomatriisi" $T$ $A$:lla, 
ts. $S=A T$.

Olkoon $A$ ``kiertomatriisi'' (vrt. alkuviikko teht. 2)
$A= \left [\begin {array}{cc} \cos \theta &-\sin \theta \\
            \sin \theta &\cos \theta \\   \end {array}\right ]$

Suorita {\tt S=T;} ja $\nn$-iteroi sitten rivi�:
\begin{verbatim}
>> S=A*S;plot(S(1,:),S(2,:))
\end{verbatim}
Kuva k�ytt�ytynee odotuksiesi mukaisesti. Kokeile my�s k��nteiskuvauksen
vaikutusta.

Mieti kuvausta havainnollisesti ajatellen, voiko $F_A$:lla olla reaalisia
ominaisarvoja. Kokeile \matl-komentoja {\tt eig(A)} ja {\tt [V,D]=eig(A)}.
Jos tulos ei vastaa intuitiotasi, yrit� selitt�� miksi (selit� nyt jotain, 
vaikka vastaisikin).

%>> x=cos(t);y=sin(t);plot(x,y),axis equal;axis square
%>> Y=[x;y]; 
%>> hold on;S=A*B*Y;plot(S(1,:),S(2,:),'w')

\item

M\"a\"ar\"a\"a alkuviikon teht�v�n 4 (a ja b) matriisien ominaisarvot
ja -vektorit simuloimalla \matl:lla k�sinlaskutekniikkaa.

Katso {\tt help poly, help roots} + ohje alla.

Suorita lopuksi sama {\tt eig}-funktion avulla.

Keksi naseva \matl-ilmaus tarkistaaksesi ominaisarvo/vektoriominaisuuden
suoraan m��ritelm��n nojautuen. ({\tt eig}-funktio palauttaa tulokset
muodossa,josta ratkaisu paistaa l�pi.)

\item
{\bf Spektri} tarkoittaa ominaisarvojen joukkoa kompleksitasossa
($n$ pistett\"a, joista osa saattaa yhty\"a, spektraalis\"ade on 
$r=max (\abs{\lambda_j})$ ja spektraaliympyr\"a siis $r$-s\"ateinen ympyr\"a.)

Polun varrella on funktio (listaus viimeisell� sivulla):\rv
{\tt function z=spektri(A)} \rv
{\tt \% Piirretaan mat\-rii\-sin A spektraaliympyra ja ominaisarvot tasoon}

Piirr\"a {\it symmetristen}, {\it vinosymmetristen} ja {\it ortogonaalisten}
matriisien spektrej\"a.
{\bf Vihje:} Jos $A$ on mielivaltainen matriisi, niin sen avulla voit
muodostaa symmetrisen matriisin esim: $A^T A$ tai $A+A^T$, vinosymmetrisen
$A^T-A$ ja ortogonaalisen ainakin permutoimalla yksikk\"omatriisin
rivej\"a/sarakkeita. Yleisempi\"a ortogonaalimatriiseja voi suorittaa
funktiolla {\tt orth}, jolla voi tehd\"a {\it Gram-Schmidt}-ortogonalisoinnin
annetuille (LRT) sarakevektoreille. (Siis {\tt orth(rand(n))} soveltuu
"satunnaiskokeisiimme", {\tt rand(n)} muodostaa "todenn\"ak\"oisyydell\"a 0"
lineaarisesti riippuvan joukon.
%Voit kokeilla my\"os esim {\tt hilb, vander, toepliz, magic} ym. \matl:n
%tuntemia matriiseja.
Kokeile luokkaa $50 \times 50$ olevia (ja miksei suurempiakin) matriiseja.
Mit� havaitset? Kokeile my�s pelk�n satunnaislukumatriisin spektri�,

\item
M\"a\"ar\"a\"a seuraavien matriisien ominaisarvot ja -vektorit.
M\"a\"arit\"a kunkin ominaisarvon algebrallinen ja geometrinen kertaluku.

(Algebrallinen kertaluku=juuren kertaluku, geom kl=ominaisavaruuden dim)

Mitk\"a matriisit ovat defektiivisi\"a (g-kl < a-kl)? Muodosta 
Ei-defektiivisiss\"a 
tapauksissa ominaisvektoreista koko avaruuden kanta. Miss\"a tapauksessa
saat ortonormaalin kannan? 

Laske ominaisarvot sek� {\tt charpoly} ett� {\tt eig}-tyylill�. 
Ominaisvektorien suhteen riitt�� tehd� {\tt eig}:lla.


a) $A=\left [\begin {array}{ccc} 8&6&6\\\noalign{\medskip}-
3&-1&-3\\\noalign{\medskip}-6&-6&-4\end {array}\right ]$
b) $B=\left [\begin {array}{ccc} 1&0&0\\\noalign{\medskip}2
&1&0\\\noalign{\medskip}0&0&3\end {array}\right ]$
c) $C=\left [\begin {array}{ccc} 109&87&81
\\\noalign{\medskip}87&73&63\\\noalign{\medskip}81&63&
61\end {array}\right ]$

\item
M��r�� seuraavien matriisien ominaisarvot ja -vektorit. Voit k�ytt��
{\tt eig}-komentoa. Mit� tyyppi� ovat matriisit ja mit� sill� perusteella
voidaan jo p��lt�p�in sanoa?

a) $A=\left [\begin {array}{cc} 0&1\\\noalign{\medskip}-1&0
\end {array}\right ]$
b) $B=\left [\begin {array}{cc} {\frac {i}{2}}&{\frac {\sqrt 
{3}}{2}}\\\noalign{\medskip}{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{
\frac {i}{2}}\end {array}\right ]$
c) $C=\left [\begin {array}{cc} {\frac {\sqrt {3}}{3}}&{
\frac {i\sqrt {6}}{3}}\\\noalign{\medskip}-{\frac {i
\sqrt {6}}{3}}&-{\frac {\sqrt {3}}{3}}\end {array}
\right ]$

\end{enumerate}

\subsection*{Ohjeita}

 Jos $A$ on $n\times n$-neli\"omatriisi, niin {\tt poly(A)} muodostaa
karakteristisen
polynomin $det(\lambda I-A)=p(\lambda)=
c_1\lambda^n+c_2\lambda^{n-1} + ...+ c_{n+1}$
kerroinvektorin: {\tt [c(1),c(2),...,c(n+1)]}. ({\tt Matlab}:ssa kar. poly
on luentojen kar. polyn "vastalukupolynomi", mutta sep\"a ei vaikuta
nollakohtiin.)
{\tt roots(kerroinvekt)} puolestaan ratkaisee (numeerisesti) ko. polynomin
nollakohdat. (Kokeile vaikkapa roots([1 2 1] .)


Jos $\lambda$ on ominaisarvo, niin vastaava(t) ominaisvektori(t)
saadaan ratkaisemalla ho\-mo\-gee\-ni\-yh\-t\"a\-l\"o $(A-\lambda I)x=0$,
jolla $\lambda$:n ominaisarvo-ominaisuuden takia on ep\"atriviaaleja
ratkaisuja. Ratkaisut voidaan m\"a\"ar\"at\"a vanhan tutun {\tt rref}:n avulla:
Jos ominaisarvot $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ ovat vaikkapa vektorissa 
 {\tt l}, niin $\lambda_1$:t\"a vastaava ominaisvektori saataisiin  
ratkaistuksi  
muodostamalla {\tt rref} matriisista {\tt A-l(1)*eye(3)}.

{\bf Huom:}

1) Oikeasti ominaisarvot ja -vektorit lasketaan \matl:ssa   
{\tt  eig}-komennolla. Siin� on k�yt�ss� laadukkaat numeeriset algoritmit.

2) {\tt rref} toimii joissakin tilanteissa v��rin, etenkin kompleksilukujen
yhteydess� (ehk� vain siin�). Virhetilanne on yleens� sellainen, ett� kukaan
ajatteleva ihminen ei voi tulosta uskoa. (Olikohan liian vahva ilmaus?)

3) Funktio {\tt spektri} on polun varrella ja listaus kohdassa {\it Matlab-
koodeja}.

\subsection*{Harj. 4}


\subsection{Matriisin diagonalisointi}

\begin{enumerate}
\item %1 
Diagonalisoi alla olevat matriisit, jos mahdollista. Kielteisess�
tapauksessa perustele diagonalisoitumattomuus.

a)  $A=\left [\begin {array}{ccc} 0&0&1\\\noalign{\medskip}0
&0&1\\\noalign{\medskip}1&1&1\end {array}\right ]$
b) $A=\left [\begin {array}{ccc} 1&0&0\\\noalign{\medskip}
                                 2&1&0\\\noalign{\medskip}
                                 0&0&3 \end {array}\right ]$


\item %2
Laske $A^{100}$ sille (niille) teht�v�n 1 matriis(e)ille, jo(t)ka 
diagonalisoitu(u/vat). (Raakaan voimaan perustuva \matl-ratkaisu
kelpaa vain tarkistukseen.)

\item{[Str. s. 259, -96]}
Mik� on yleisint� muotoa oleva matriisi, jonka ominaisvektorit ovat
$(1,1)$ ja $(1,-1)$.

\item{[Str. s. 259, -96]}
Probl. 15 -- 18

\item{[Str. s. 259, -96]}
19,20
Raja-arvoja, p��st��n katsomaan pisteitt�isi� limeksi�, hyv�
ennen exp(A):ta

\item{[1. vk]}
Tarkastellaan lineaarista $4 \times 6$ systeemi� $A x = c$,\rv miss�
$A=\left [\begin {array}{cccccc} 1&-1&1&0&0&2
\\\noalign{\medskip}1&1&2&4&1&2\\\noalign{\medskip}0&2&
1&4&3&1\\\noalign{\medskip}1&-3&0&-4&-2&1\end {array}
\right ]$.

a) Suorita {\em Gaussin eliminaatiomenettely}, eli saata matriisi 
rivioperaatioilla yl�kolmiomuotoon. (Ei siis tarvitse tehd� 
``alhaalta yl�s''- rivioperaatioita.)

b) Mik� on matriisin rangi? 

c) Osoita, ett� yht�l�ryhm�ll� $A x = c$ on ratkaisuja, olipa $c\in {\bf R^4}$
mik� tahansa vektori.

d) Mik� on yht�l�ryhm�n ratkaisujen muodostaman
aliavaruuden dimensio (eli kuinka monta vapaata parametria voidaan valita).

\item{[1. vk]}
M��rit� matriisin 
$A=\left [\begin {array}{cccc} 2&-1&2&0
\\\noalign{\medskip}0&3&-1&0\\\noalign{\medskip}0&1&1&0
\\\noalign{\medskip}0&1&-3&5\end {array}\right ]$

ominaisarvot ja ominaisvektorit sek� kunkin ominaisarvon algebrallinen ja
geometrinen kertaluku. Onko matriisi diagonalisoituva?

\item{[Joulu95-tentti]}
Laske $A^{95}$, kun
$A=\left [\begin {array}{ccc} 2&0&0\\\noalign{\medskip}
                                 0&1&1\\\noalign{\medskip}
                                 0&1&1 \end {array}\right ]$

\item{[Tammi96-tentti]}
Olkoot matriisin $A$ ominaisarvot $\lambda_1=2,\lambda_2=-1, \lambda_3=-2$
ja vastaavat ominaisvektorit $v_1=[2,1,1],\ \ v_2=[-1,1,1],\ \ v_3=[0,-1,1]$.
M��rit� $A^{-1}$. 
%A=\left [\begin {array}{ccc} 1&1&1\\\noalign{\medskip}1
%&-1&1\\\noalign{\medskip}1&1&-1\end {array}\right 

\item{[Touko96-tentti]}
Olkoon $A$ diagonalisoituva neli�matriisi, ts. $A$ voidaan esitt��
muodossa $A=Q D Q^{-1}$, miss� $D$ on diagonaalimatriisi.

a) Osoita, ett� $A^n=Q D^n Q^{-1}$.

b) Olkoon
$A=\left [\begin {array}{ccc} 0&3&-2\\\noalign{\medskip}2&
1&-2\\\noalign{\medskip}-3&3&1\end {array}\right ]$

Osoita, ett� $A$ on diagonalisoituva ja laske $A^6$ .

\end{enumerate}

\subsection{Numeerista matriisilaskentaa}

\begin{enumerate}

\item{[St-Aftern. -96,tie]}
Sivu 103.

Ratk:
\begin{verbatim}
>> A=[.001 2 3;-1 3.712 4.643;-2 1.072 5.643]

A =

    0.0010    2.0000    3.0000
   -1.0000    3.7120    4.6430
   -2.0000    1.0720    5.6430

>> AA=A;
>> pivot=AA(1,1);
>> for i=2:3,AA(i,:)=AA(i,:)-(AA(i,1)/pivot)*AA(1,:),end

AA =

   1.0e+03 *

    0.0000    0.0020    0.0030
         0    2.0037    3.0046
   -0.0020    0.0011    0.0056


AA =

   1.0e+03 *

    0.0000    0.0020    0.0030
         0    2.0037    3.0046
         0    4.0011    6.0056

>> pivot=AA(2,2)

pivot =

   2.0037e+03

>> for i=3:3,AA(i,:)=AA(i,:)-(AA(i,2)/pivot)*AA(2,:),end

AA =

   1.0e+03 *

    0.0000    0.0020    0.0030
         0    2.0037    3.0046
         0         0    0.0059

>> format long
>> AA

AA =

   1.0e+03 *

   0.00000100000000   0.00200000000000   0.00300000000000
                  0   2.00371200000000   3.00464300000000
                  0                  0   0.00588206764245

                                        === Oikea: 0.00592 ===
>> Am=AA;
>> AA=A;      
>> AA([3 1],:)=AA([1 3],:)

AA =

  -2.00000000000000   1.07200000000000   5.64300000000000
  -1.00000000000000   3.71200000000000   4.64300000000000
   0.00100000000000   2.00000000000000   3.00000000000000

>> pivot=AA(1,1)

pivot =

    -2

>> for i=2:3,AA(i,:)=AA(i,:)-(AA(i,1)/pivot)*AA(1,:),end

AA =

  -2.00000000000000   1.07200000000000   5.64300000000000
                  0   3.17600000000000   1.82150000000000
   0.00100000000000   2.00000000000000   3.00000000000000


AA =

  -2.00000000000000   1.07200000000000   5.64300000000000
                  0   3.17600000000000   1.82150000000000
                  0   2.00053600000000   3.00282150000000

>> pivot=AA(2,2)

pivot =

   3.17600000000000

>> for i=3:3,AA(i,:)=AA(i,:)-(AA(i,2)/pivot)*AA(2,:),end

AA =

  -2.00000000000000   1.07200000000000   5.64300000000000
                  0   3.17600000000000   1.82150000000000
                  0                  0   1.85547379093199

\end{verbatim}

T�ss� on ongelmana se, ett� \matl:n laskentatarkkuus on niin suuri,
ett� dramaattisen tuntuista ei tapahdu, mutta kuitenkin tarkkuus selv�sti
k�rsii.

Kannattaa jatkaa ja katsoa, mit� vaikutusta ratkaisuihin on.

Ehk�p� kannattaisi katsoa \math:lla, mik� on tarkka tulos

\item 
Laske matriisien

$A=\left [\begin {array}{cc} 2&2\\\noalign{\medskip}4&9\end {array}\right ],
B=\left [\begin {array}{cc} 1& 0.1\\\noalign{\medskip}
 0.2&-1\end {array}\right ], 
C=\left [\begin {array}{ccc} 100&0&0
\\\noalign{\medskip}0& 0.1&0\\\noalign{\medskip}0&0&9
\end {array}\right ]$
$l_\infty$-normi sek� h�iri�luku (``condition number'').

\item %6
Ratkaise yht�l�ryhm�t
%\begin{eqnarray*} 2\,x_{{1}}+ 1.4x_{{2}}&=&1.4 \\ 
%                         1.4x_{{1}}+x_{{2}}&=&1
%\end{eqnarray*}
%\begin{eqnarray*} 2\,x_{{1}}+ 1.4x_{{2}}&=&1 \\ 
%                         1.4x_{{1}}+x_{{2}}&=&1 \\ 
%\end{eqnarray*}


%$$\begin{cases}2\,x_{{1}}+ 1.4x_{{2}}=1.4 \\
%         1.4x_{{1}}+x_{{2}}=1 $$
%\end{cases}

$$
\begin{cases}
2\,x_{{1}}+ 1.4x_{{2}}=1.44 \\
     1.4x_{{1}}+x_{{2}}=1 
\end{cases}
$$

Laske $l_1$-h�iri�luku ja kommentoi.

\end{enumerate}

{\bf Kts. myos tummansinisesta laihasta mapista}









