Teknillinen Korkeakoulu Matematiikan laitos

v.Pfaler

Mat-1.115, Matriisilasku, ma 6.4.1998

Kirjoita selvästi jokaiseen koepaperiin eri riveille:

1) opintojakson nimi, päiväys, mahdollinen välikokeen numero;

2) opiskelijanumero+kirjain, TEKSTATEN sukunimi alleviivattuna, kaikki etunimet;

3) koulutusohjelma (Aut, Tfy, Tik, Tuo, Säh, Kon, Kem, Mak, Puu, Maa, Ryk);

4) mahdolliset entiset nimet ja koulutusohjelmat;

5) nimikirjoitus.

Merkitse paperiisi sähköpostiosoitteesi (selvästi), jos haluat saada tuloksesi sähköpostitse ja hyväksyt, että tuloksesi näkyvät muillekin tenttijöille.

Laske neljä seuraavista tehtävistä

1. Olkoon A = [ \begin{matrix}2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} ] . Laske det(3A^{T} A^{2}).

V A ∈ ℝ^{3×3}, det(A) = −2, det(3A^{T} A^{2}) = 3^{3} det(A)^{2} det(A^{T}) = 3^{3} det(A)^{3} = −216

2. Määrää α ∈ ℂ, siten, että vektorit

(\begin{matrix}1 + i \\ 2 − i \\ 3i \end{matrix}) ja (\begin{matrix}α \\ 1 \\ 1 − 2i \end{matrix})

ovat ortogonaaliset.

V

(\begin{matrix}1 + i \\ 2 − i \\ 3i \end{matrix})·(\begin{matrix}α \\ 1 \\ 1 − 2i \end{matrix}) = (1 − i 2 + i −3i) (\begin{matrix}α \\ 1 \\ 1 − 2i \end{matrix}) = α(1−i)−4+2i = 0

⇔ α = \frac{4 − 2i}{1 − i} = 3 + i

Huomaa, että kyseessä on kompleksinen matriisi.

3. Olkoon T lineaarikuvaus ℝ^{2×2} → ℝ^{2×2} siten, että T (M) = M − M^{T}. (ℝ^{2×2} on reaalisten 2 × 2 matriisien joukko.)

(a) Määrää T:n ydin N(T).

(b) Etsi ℝ^{2×2}:lle jokin kanta ja sen suhteen lineaarikuvauksen T matriisi.

V Kyseessä on kuvaus matriisien joukolta itselleen. dim(ℝ^{2×2}) = 4, eräs kanta

\{(\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})\} =: \{M_{1}, M_{2}, M_{3}, M_{4}\}.

Tässä kuvauksessa matriisi saadaan tukimalla kanta-alkioiden kuvautumista

T (M_{1}) = M_{1} − M_{1}^{T} = 0
T (M_{2}) = M_{2} − M − 2^{T} = M_{2} − M_{3}
T (M_{3}) = M_{3} − M_{3}^{T} = M_{3} − M_{2}
T (M_{4}) = M_{4} − M_{4}^{T} = 0

josta kustakin saadaan matriisin sarakeet:

(\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & −1 & 0 \\ 0 & −1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) .

Määritelmän mukaan

N(T) = {M|T (M) = M − M^{T} = 0} = {M symmetrinen}.

4. Laske matriisin

A = (\begin{matrix}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 4 \end{matrix})

PLU-hajotelma (P A = LU, missä P on permutaatiomatriisi).

V

U = (\begin{matrix}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 4 \end{matrix}) , L = (\begin{matrix}1 \\ & 1 \\ & & 1 \end{matrix}) , P = (\begin{matrix}1 \\ & 1 \\ & & 1 \end{matrix})

U = (\begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 \end{matrix}) , L = (\begin{matrix}1 \\ & 1 \\ & & 1 \end{matrix}) , P = (\begin{matrix}& 1 \\ 1 \\ & & 1 \end{matrix})

U = (\begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 2 \end{matrix}) , L = (\begin{matrix}1 \\ 0 & 1 \\ 2 & & 1 \end{matrix}) , P = (\begin{matrix}& 1 \\ 1 \\ & & 1 \end{matrix})

U = (\begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & −1 \end{matrix}) , L = (\begin{matrix}1 \\ 0 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \end{matrix}) , P = (\begin{matrix}& 1 \\ 1 \\ & & 1 \end{matrix})

5. A, B ∈ ℝ^{n×n}. Jos A + iB on unitaarinen niin osoita, että Q = (\begin{matrix}A & −B \\ B & A \end{matrix}) on ortogonaalinen. (Unitaarisen ja ortogonaalisen matriisin määritelmät = 2p)

V (A+iB)^{H}(A+iB) = (A^{T} −iB^{T})(A+iB) = (A^{T} A+B^{T} B)+i(A^{T} B−B^{A}) = I ⇔ A^{T} A+B^{T} B = I ja A^{T} B−B^{A} = 0 Toisaalta Q on ortogonaalinen joss Q^{T} Q = I:

Q^{T} Q = (\begin{matrix}A^{T} & B^{T} \\ −B^{T} & A^{T} \end{matrix} ) (\begin{matrix}A & −B \\ B & A \end{matrix}) = (\begin{matrix}A^{T} A + B^{T} B & A^{T} B − B^{A} \\ A^{T} B − B^{A} & A^{T} A + B^{T} B \end{matrix}) = \binom{0}{0 I}

6. Etsi matriisin

A = (\begin{matrix}3 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ −1 & −1 & 1 \end{matrix})

Jordanin muoto. Onko A defektiivinen? V Haetaan ominaisarvot:

0 = det(A − λI) = (3 − λ)(2 − λ)(1 − λ) − 1 + (3 − λ) = (2 − λ)^{3} Ratkaistaan ominaisvektorit ominaisarvolle λ = 2:

(A − λI)v = 0 ⇔ x = (β −β α)^{T}

Geometrinen kertaluku kaksi, siis defektiivinen, Jordanmuoto on

J = (\begin{matrix}2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix}) .

Ratkaistaan vielä muunnos. Valitaan ominaisvektorit

v_{1} = (1 −1 0)^{T} ja v_{2} = (0 0 1)^{T}

Ratkaistaan vielä muunnosmatriisi S etsimällä ketju: (A − λI)w_{1} = v_{1} josta w_{1} = αv_{1} + (1 0 −1) ja siis saamme

A = SJS^{−1}, jossa S = (v_{1}, w_{1}, v_{2}) , J = (\begin{matrix}2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix})