\documentclass[finnish,11pt,twocolumn]{article}
%\usepackage{/home/apiola/tex/KP3harj}
\usepackage{KP3harj}
\advance\tolerance by 100
%\usepackage{ae,aecompl} 
%\usepackage{KP3vara}
\usepackage[dvips]{epsfig}

%\usepackage[pdftex]{hyperref}
%\usepackage[dvipdfm]{hyperref}
%\usepackage[ps2pdf]{hyperref}

%\include{/home/apiola/tex/defs}
%\include{defs}
\setlength{\textwidth}{274mm}  
%\setlength{\oddsidemargin}{-15mm}
\setlength{\oddsidemargin}{-16mm}
%\setlength{\evensidemargin}{-10mm}   %alkup.
\setlength{\evensidemargin}{-20mm}  % ei hy�ty�
%\setlength{\evensidemargin}{-15mm}
%\setlength{\textheight}{240mm}
\setlength{\textheight}{180mm}
\setlength{\topmargin}{-25mm}
\setlength{\parskip}{2ex}
\setlength{\parindent}{0pt}

\DeclareMathOperator{\col}{col}
\DeclareMathOperator{\row}{row}

\def\abs#1{\vert #1\vert}      
\def\norm#1{\Vert #1\Vert}      
\def\innerp#1{\langle #1 \rangle}
\def\vnormone#1{\sum_k \vert #1_k \vert}
\def\vnorminf#1{\max_k \vert #1_k \vert}
\def\mnormone#1{\max_j \sum_i \vert#1_{ij}\vert}
\def\mnorminf#1{\max_i \sum_j \vert#1_{ij}\vert}
\def\rv{\hfill\break}
\def\matl{{\sc Matlab}}
\def\maple{{\sc Maple}}
\def\Ln#1{\textit{Ln #1}}
\def\Log#1{\textit{Log #1}}
\def\Re {\textit{Re}}
\def\Im {\textit{Im}}
\def\Arg {\textit{Arg}}
\def\arg {\textit{arg}}




\begin{document}
%\input{/home/apiola/tex/AmsLTXfiMacro.tex}
%\input{AmsLTXfiMacro.tex}

\subsection*{Mat-1.1332 Matematiikan peruskurssi KP3-II } 

 
\hfill Apiola/Tikanm�ki

\textbf{Tentti 11.5.2009} 


{\bf Laskin sallittu} (Siis sellainen, joka kelpuutetaan 
ylioppilaskirjoituksiin)\\
\textbf{Huom!} Laskujen v�livaiheiden tulee olla n�kyviss�. Pelkk� 
vetoaminen laskimen antamiin tuloksiin ei avaa pistetili�.


\begin{enumerate}

\item
(a)
M��rit� matriisin
$$A=
\left[ \begin {array}{ccc} 16&48&84\\\noalign{\medskip}0&-8&-24
\\\noalign{\medskip}0&0&4\end {array} \right] 
$$
ominaisarvot ja itseisarvoltaan pienint� ominaisarvoa vastaava(t) 
ominaisvektori(t).

(b) Mill� perusteella matriisi on diagonalisoituva (tai mill� perusteella 
se ei ole)?

\item
Osoita, ett� joukko $\lbrace\v_1,\v_2,\v_3 \rbrace$ on $\R^3$:n ortogonaalinen 
kanta, kun \\ 
$\v_1=\lbrack 3,1,1 \rbrack^T,\ \ \v_2=\lbrack -1,2,1 \rbrack^T,
\ \ \v_3=\lbrack -1,-4,7 \rbrack^T$ , ja esit� vektori \\
$\x=\lbrack 6,1,-8 \rbrack^T$ n�iden kantavektorien lineaarikombinaationa.


\item
M��rit� differentiaaliyht�l�ryhm�n $\y'=A \y$ yleinen ratkaisu, 
kun

$$A=
\left[ \begin {array}{cc} 1&2\\\noalign{\medskip}1&0\end {array}
 \right].
$$

Piirr� faasikuvaan ominaisvektorien m��r��m�t suorat trajektorin 
aikaetenemist� kuvaavine 
suuntanuolineen, ja hahmottele ylimalkaisesti my�s kuhunkin ominaissuorien 
rajoittamaan tason nelj�nnekseen muutama trajektori suuntanuolineen. 
(Riitt��, ett� kuva on kvalitatiivisesti oikean n�k�inen, selvi�t kyll�
ilman laskemista.)
Ilmoita faasikuvan tyyppi ja stabiilisuus.


\item
Tarkastellaan ep�lineaarista systeemi�
$$\begin{cases}
x'= 200\, x -4\, x\, y \\
y'=-150\,y  + 2\, x\, y,
\end{cases}$$
jolla mallinnetaan 
j�nisten ja kettujen muodostamaa yksinkertaista ekosysteemi�.

(a)
M��rit� systeemin kriittinen piste (KRP), jossa kumpikaan populaatio ei 
joudu sukupuuton kouriin.

(b)
Laske kolme \emph{Eulerin menetelm�n} askelta, kun 
$x(0)=100, y(0)=20$ ja askelpituus $h=0.001$.

(c) 
Piirr� Eulerin polku $xy-$tasoon (faasitasoon) ja merkitse tasoon my�s 
(a)-kohdan KRP. 


\item
Sivuiltaan l�mp�eristetyn sauvan ($c=1$) pituus olkoon $L=1$ 
Alkuhetkell� $t=0$ sauvan l�mp�tila noudattaa sinimuotoista funktiota: 
  $$u(x,0) = f(x)= 100 \sin \pi\, x ,      %\circ$C, 
 \ \ 0 < x < 1.$$ 

Sauvan p��t sijoitetaan 
j��veteen, $0^\circ$C, ts. sauvan l�mp�tilafunktio $u(x,t)$  toteuttaa 
reunaehdot $u(0,t) = u(1,t)=0 $ kaikkina aikoina $t$. \\

Eksplisiittinen iteraatiokaava saa yksinkertaisimman muotonsa
$$u_{i,j+1} = \frac{1}{2} (u_{i-1,j} + u_{i+1,j}),$$

kun valitaan 

$$r=\frac{1}{2},\ \  \textrm{miss�}\ \ r=\frac{k}{h^2} \ \ (h=\Delta x,\ \ k=\Delta t).$$

%Olkoon $h=0.2$. Laske yll� olevalla iteraatiokaavalla approksimaatiot 
%sauvan l�mp�tilalle pisteiss� $x=0.2,0.4,0.6,0.8$ ajanhetkill� 
%$t=k$ ja $t=2\,k$.

%Piirr� alkuarvopisteet $u_{0,0}, u_{1,0}, \ldots, u_{6,0}$ $xu$-koordinaatistoon ja yhdist� murtoviivalla. Piirr� edelleen samaan kuvaan samalla tavoin 
%laskemasi approksimaatiot $u_{0,1}, u_{1,1}, \ldots, u_{6,1}$  ja 
%$u_{0,2}, u_{1,2}, \ldots, u_{6,2}$ murtoviivoineen.

Olkoon $h=0.2$. 
Mink� arvon l�mp�tila saa t�ll� laskentamenetelm�ll� ja \\ 
-hilalla pisteess� 
$x=0.2$ ajanhetkell� $t=0.04$ ? \\
Laskentatarkkuudeksi riitt�� $4$ numeroa.

\end{enumerate}

\subsubsection*{Ohje}

\textbf{Eulerin menetelm�:} Teht�v�n 4 tarpeisiin annetaan viel� 
``kev�tbonuksena'' kaava:
Autonomisen $2\times 2-$systeemin tapauksessa Euler menee n�in:

$$
\left[ \begin {array}{c} x_{n+1}\\\noalign{\medskip}y_{n+1}\end {array} \right] 
=
\left[ \begin {array}{c} x_n\\\noalign{\medskip}y_n\end {array} \right] 
+
h \F \left[ \begin {array}{c} x_n\\\noalign{\medskip}y_n\end {array} \right],
$$ 
kun systeemin� on
$
\left[ \begin {array}{c} x'\\\noalign{\medskip}y'\end {array} \right] 
=
\F \left[ \begin {array}{c} x\\\noalign{\medskip}y\end {array} \right].
$

%\left[ \begin {array}{c} x\\\noalign{\medskip}y\end {array} \right] 


\end{document}

\item
Olkoon $$
A=\left[ \begin {array}{ccc} 3&1&1\\\noalign{\medskip}1&3&1
\\\noalign{\medskip}1&1&3\end {array} \right].
$$

%(a) Selit�, mit� tarkoittaa ortogonaalinen diagonalisointi, ja p��ttele 
%matriisista $A$ p��lt�p�in, ett� se voidaan t�ss� tapauksessa tehd�.

(a)
Tiedet��n, ett� $A$:lla on ominaisarvot $\lambda_1=5$ ja $\lambda_2=2$.
M��rit� vastaavat ominaisvektorit ja p��ttele t�ll� perusteella 
kolmas ominaisarvo. (Jos p��ttely ei suju, saat toki laskeakin ajankuluksesi.)

(b)
Mist� voit p��tell�, ett� matriisi $A$ on ortogonaalisesti 
diagonalisoitavissa ?   
Muodosta $A$:n ortogonaalinen diagonalisointi.

