\documentclass[finnish,11pt,twocolumn]{article}
%\usepackage{/home/apiola/tex/KP3harj}
\usepackage{KP3harj}
\advance\tolerance by 100
%\usepackage{ae,aecompl} 
%\usepackage{KP3vara}
\usepackage[dvips]{epsfig}

%\usepackage[pdftex]{hyperref}
%\usepackage[dvipdfm]{hyperref}
%\usepackage[ps2pdf]{hyperref}

%\include{/home/apiola/tex/defs}
%\include{defs}
\setlength{\textwidth}{274mm}  
%\setlength{\oddsidemargin}{-15mm}
\setlength{\oddsidemargin}{-16mm}
%\setlength{\evensidemargin}{-10mm}   %alkup.
\setlength{\evensidemargin}{-20mm}  % ei hy�ty�
%\setlength{\evensidemargin}{-15mm}
%\setlength{\textheight}{240mm}
\setlength{\textheight}{180mm}
\setlength{\topmargin}{-25mm}
\setlength{\parskip}{2ex}
\setlength{\parindent}{0pt}

\DeclareMathOperator{\col}{col}
\DeclareMathOperator{\row}{row}

\def\abs#1{\vert #1\vert}      
\def\norm#1{\Vert #1\Vert}      
\def\innerp#1{\langle #1 \rangle}
\def\vnormone#1{\sum_k \vert #1_k \vert}
\def\vnorminf#1{\max_k \vert #1_k \vert}
\def\mnormone#1{\max_j \sum_i \vert#1_{ij}\vert}
\def\mnorminf#1{\max_i \sum_j \vert#1_{ij}\vert}
\def\rv{\hfill\break}
\def\matl{{\sc Matlab}}
\def\maple{{\sc Maple}}
\def\Ln#1{\textit{Ln #1}}
\def\Log#1{\textit{Log #1}}
\def\Re {\textit{Re}}
\def\Im {\textit{Im}}
\def\Arg {\textit{Arg}}
\def\arg {\textit{arg}}




\begin{document}
%\input{/home/apiola/tex/AmsLTXfiMacro.tex}
%\input{AmsLTXfiMacro.tex}

\subsection*{Mat-1.1332 Matematiikan peruskurssi KP3-II } 

 
\hfill Apiola/Tikanm�ki

\textbf{Tentti 7.2.2009} 


{\bf Laskin sallittu} (Siis sellainen, joka kelpuutetaan 
ylioppilaskirjoituksiin)\\
\textbf{Huom!} Laskujen v�livaiheiden tulee olla n�kyviss�. Jos laskimella 
saisi yht�l�systeemin ratkaisun, LU-hajotelman, ominaisarvot yms., niin 
sill� ei pistetili aukeaisi. 


\begin{enumerate}



\item
M��rit� \texttt{LU}-hajotelma (ilman rivinvaihtoja) matriisille 
$$A=\left[ \begin {array}{ccc} 1&-1&-1\\\noalign{\medskip}-1&\frac{3}{2}&1
\\\noalign{\medskip}1&-\frac{3}{2}&-\frac{3}{2}\end {array} \right] ,
$$ 
ja ratkaise sen avulla yht�l�ryhm� $A\x = \b$, miss� 
$\b=\left[1, -1, \frac{1}{2}\right]^T.$


\item
(a) Kirjoita (ylim��r�ytyv�) yht�l�ryhm�
$$\begin{cases}
x=0 \\
y=0\\ 
x +y = 1
\end{cases}
$$
matriisimuotoon ja ratkaise pienimm�n neli�summan mieless�. 
Piirr� suorat ja ratkaisupiste tasoon.

(b)
Olkoon $$
A=\left[ \begin {array}{ccc} 0&1&0\\\noalign{\medskip}0&0&1
\\\noalign{\medskip}0&0&0\end {array} \right].
$$

Osoita laskemalla, ett� $A^3 = \O$ (nollamatriisi), ja muodosta 
t�t� tietoa k�ytt�en $e^{A\,t}$.



\item
Ratkaise alkuarvoteht�v� $\y'=A \y, \ \ \y(0)= \y_0$, kun
$$A=\left[ \begin {array}{cc} 4&-5\\\noalign{\medskip}-2&1\end {array}
 \right] \ \ \textrm{ja} \ \  \y_0=\left[ \begin {array}{c} 1\\\noalign{\medskip}{2.4}
\end {array} \right] 
 $$

\item
%Linearisointi, KRE8 11, s. 183
Muunna yht�l� $y'' + \cos\,y = 0$ ensimm�isen kertaluvun systeemiksi, 
m��rit� kaikki kriittiset pisteet ja selvit� niiden tyyppi ja stabiilisuus 
suorittamalla ensin linearisointi niiss�. 


\item
%Hyvin samantapainen kuin viimekerralla, j�tet��n Fourier-osa pois.
Sivuiltaan l�mp�eristetyn sauvan ($c=1$) pituus olkoon $L=1$ 
Alkuhetkell� $t=0$ sauvan l�mp�tila noudattaa sinimuotoista funktiota: 
  $$u(x,0) = f(x)= 100 \sin \pi\, x ,      %\circ$C, 
 \ \ 0 < x < 1.$$ 

Sauvan p��t sijoitetaan 
j��veteen, $0^\circ$C, ts. sauvan l�mp�tilafunktio $u(x,t)$  toteuttaa 
reunaehdot $u(0,t) = u(1,t)=0 $ kaikkina aikoina $t$. \\

Eksplisiittinen iteraatiokaava saa yksinkertaisimman muotonsa
$$u_{i,j+1} = \frac{1}{2} (u_{i-1,j} + u_{i+1,j}),$$

kun valitaan 

$$r=\frac{1}{2},\ \  \textrm{miss�}\ \ r=\frac{k}{h^2} \ \ (h=\Delta x,\ \ k=\Delta t).$$

%Olkoon $h=0.2$. Laske yll� olevalla iteraatiokaavalla approksimaatiot 
%sauvan l�mp�tilalle pisteiss� $x=0.2,0.4,0.6,0.8$ ajanhetkill� 
%$t=k$ ja $t=2\,k$.

%Piirr� alkuarvopisteet $u_{0,0}, u_{1,0}, \ldots, u_{6,0}$ $xu$-koordinaatistoon ja yhdist� murtoviivalla. Piirr� edelleen samaan kuvaan samalla tavoin 
%laskemasi approksimaatiot $u_{0,1}, u_{1,1}, \ldots, u_{6,1}$  ja 
%$u_{0,2}, u_{1,2}, \ldots, u_{6,2}$ murtoviivoineen.

Olkoon $h=0.2$. 
Mink� arvon l�mp�tila saa t�ll� laskentamenetelm�ll� ja \\ 
-hilalla pisteess� 
$x=0.2$ ajanhetkell� $t=0.04$ ? \\
Laskentatarkkuudeksi riitt�� $4$ numeroa.


\end{enumerate}

\end{document}

\item
Olkoon $$
A=\left[ \begin {array}{ccc} 3&1&1\\\noalign{\medskip}1&3&1
\\\noalign{\medskip}1&1&3\end {array} \right].
$$

%(a) Selit�, mit� tarkoittaa ortogonaalinen diagonalisointi, ja p��ttele 
%matriisista $A$ p��lt�p�in, ett� se voidaan t�ss� tapauksessa tehd�.

(a)
Tiedet��n, ett� $A$:lla on ominaisarvot $\lambda_1=5$ ja $\lambda_2=2$.
M��rit� vastaavat ominaisvektorit ja p��ttele t�ll� perusteella 
kolmas ominaisarvo. (Jos p��ttely ei suju, saat toki laskeakin ajankuluksesi.)

(b)
Mist� voit p��tell�, ett� matriisi $A$ on ortogonaalisesti 
diagonalisoitavissa ?   
Muodosta $A$:n ortogonaalinen diagonalisointi.

