\documentclass[finnish,11pt,twocolumn]{article}
%\usepackage{/home/apiola/tex/KP3harj}
\usepackage{KP3harj}
\advance\tolerance by 100
%\usepackage{ae,aecompl} 
%\usepackage{KP3vara}
\usepackage[dvips]{epsfig}

%\usepackage[pdftex]{hyperref}
%\usepackage[dvipdfm]{hyperref}
%\usepackage[ps2pdf]{hyperref}

%\include{/home/apiola/tex/defs}
%\include{defs}
\setlength{\textwidth}{274mm}  
%\setlength{\oddsidemargin}{-15mm}
\setlength{\oddsidemargin}{-16mm}
%\setlength{\evensidemargin}{-10mm}   %alkup.
\setlength{\evensidemargin}{-20mm}  % ei hyötyä
%\setlength{\evensidemargin}{-15mm}
%\setlength{\textheight}{240mm}
\setlength{\textheight}{180mm}
\setlength{\topmargin}{-25mm}
\setlength{\parskip}{2ex}
\setlength{\parindent}{0pt}

\DeclareMathOperator{\col}{col}
\DeclareMathOperator{\row}{row}

\def\abs#1{\vert #1\vert}      
\def\norm#1{\Vert #1\Vert}      
\def\innerp#1{\langle #1 \rangle}
\def\vnormone#1{\sum_k \vert #1_k \vert}
\def\vnorminf#1{\max_k \vert #1_k \vert}
\def\mnormone#1{\max_j \sum_i \vert#1_{ij}\vert}
\def\mnorminf#1{\max_i \sum_j \vert#1_{ij}\vert}
\def\rv{\hfill\break}
\def\matl{{\sc Matlab}}
\def\maple{{\sc Maple}}
\def\Ln#1{\textit{Ln #1}}
\def\Log#1{\textit{Log #1}}
\def\Re {\textit{Re}}
\def\Im {\textit{Im}}
\def\Arg {\textit{Arg}}
\def\arg {\textit{arg}}

\begin{document}
%\vspace{0.2cm}
%\begin{verbatim}
%\end{verbatim}
\harjoitus{4 LV}{48}{25 -- 28.11.2008}

\textbf{Tietokoneharjoitus}


Kurssin tapahtumatiedosto:\\  
\texttt{http://math.tkk.fi/opetus/kp3-ii/08/L/Luento1-36.html}\\
Lempeä johdatus Matlabiin, Harri Hakula: \\
\verb_http://math.tkk.fi/opetus/s2/har05/MatlabJohdanto.pdf_ \\
 Lyhyt Matlab-opas: \\
\verb_http://math.tkk.fi/~apiola/matlab/opas/lyhyt/_\\[1ex] 
\textbf{Tähän harjoitukseen liittyvät tiedostot}:\\ [1ex] 
Harjoituksen muokattava pohja:  \\
\texttt{http://math.tkk.fi/opetus/kp3-ii/08/matlab/harj4tietok.m}\\[1ex]
\texttt{pplane}, Suuntakentän ja faasitason piirto-ohjelma. Alunperin Matlab, nyt Java: \\
\verb_http://math.rice.edu/~dfield/dfpp.html_ \\
Edellisen t-harjoituksen malliratkaisut: \\
\texttt{http://math.tkk.fi/opetus/kp3-ii/08/H/ratk2tietok.html}\\
Luennon johdantoesimerkin aika- ja faasikuvat:\\
\texttt{http://math.tkk.fi/opetus/kp3-ii/08/L/suolafaasi.html}\\[1ex]
Matlab:n ODE-ohjeita: Miten ihan oikeasti ODE-tehtäviä Matlabilla 
ratkaistaan. Ei liity ihan suoraan näihin harjoituksiin, mutta 
sitäkin enemmän jatko-ohjelmaan ja ennen kaikkea elämän varrelle 
evääksi: \\
\verb| http://math.tkk.fi/opetus/kp3-ii/08/matlab/ODE_ohje.html |\\[1ex]
Alla \emph{kp3hakemisto} tarkoittaa polkua: \\
\texttt{http://math.tkk.fi/opetus/kp3-ii/08/}


\subsubsection*{Ohjeita}

Avaa yllä oleva Rice-universityn pplane-viite ja paina 
\fbox{\texttt{pplane}} painiketta.
\texttt{PPLANE Equation window}:ssa valitse \texttt{Gallery} ja sieltä 
\texttt{linear}. Nyt pääset kätevästi määrittelemään $2 \times 2$-matriisin
alkiot. Paina \fbox{Graph Phase Plane}. Voit valita hiirellä 
alkuarvopisteen, ja ohjelma piirtää sen kautta kulkevan trajektorin. Kokeile (aluksi vaikka valmiilla oletusmatriisilla) Usein tulet piirtäneeksi tarpeettoman monta trajektoria. Painamalla uudestaan \fbox{Graph Phase Plane}-painiketta, 
saat taas puhtaan suuntakentän.
Piirtoikkunaa on syytä muuttaa tehtävän mukaan.

%No niin, Ota nyt tehtävän AV 4 matriisi $A$. Piirrä pplane:lla suuntakenttä 
%ja annettua alkuarvoa vastaava trajektori. (Tuskin maltat olla piirtämättä 
%muutamaa ylimääräistäkin trajektoria.)

Oletetaan, että osaat komennot, joita käyteltiin 1. tietokoneharjoituksessa.
Kertaa siksi tarpeen mukaan nuo malliratkaisut.


\subsubsection*{Loppuviikko}

Harjoitusta varten olen laatinut tiedoston 
\texttt{kp3hakemisto/harj4tietok.m} Siinä on samalla pohja, jolle dokumentin
voi rakentaa. Huomaa, että voit editoida tiedostoa millä tahansa tekstieditorilla, vaikka Matlab:n oma editori onkin ohjeissamme oletuksena.

\begin{enumerate}
\item
Ota \texttt{harj4tietok.m} editoriin. Tee ensimmäiseksi harj. 4 AV tehtävän
4 matriisilla pyydetyt toimet.
Piirrä sekä aikakuva että faasikuva valitsemallesi alkuehdolle.
Käytä faasikuvassa samaa skaalaa kuin pplanessa, jotta voit vertailla.
Piirrä faasikuvaan myös ominaissuorat.
Kerro lyhyesti kuvien tarinaa.

Jos haluat kokeilla \matl:n hiirisyöttöä ja sillä saatavaa faasikuvaa 
suuntakenttineen, niin ole hyvä, mutta tämä ei ole ``pakollista''.

\item
Ratkaise AV tehtävä 2 samaa skriptiä käyttäen, editoimalla edelliset kommenttien taakse
ja lisäämällä nykyiset paikalleen.
Katso sekä aika- että faasikuvasta kohta, jossa suolamäärät ovat samat.
Edellisestä saat arvion ajalle (jälkimmäisestä et).

\item
Suorita tehtävän AV 6 laskut ja piirrokset samaan tapaan.
Huomaa, että \matl\/ osaa kompleksiaritmetiikan, sinun ei tarvitse sitä 
sille opettaa. Eli voit huoleti käyttää kompleksimuotoa. Kun matriisi on reaalinen ja alkuarvot samoin, on tuloskin väkisinkin reaalinen, vaikka laskenta 
käy välillä kompleksilukujen puolella.
Piirrä Matlab-faasikuvaan myös (toisen) ominaisvektorin reaali- ja imaginaariosa. Ne saat funktioilla \texttt{real} ja \texttt{imag}.
Tietysti piirrät faasikuvan myös \texttt{pplanella}.\\
Kerro taas kuvien ja tulosten tarina.


%Tee samat asiat AV harjoitustehtävässä 2:lle, mitä tehtiin luentoesimerkissä.
%Tarkemmin sanoen:\\

%Tee sitten \matl:lla sekä aikakuva että faasikuva luentotiedoston
%\texttt{L/suolafaasi.html} mallin mukaisesti.










\end{enumerate}
\end{document}



%\item
%a) Määrittele $5\times 5$-nollamatriisi $A$. \\
%b) Muuta A:n 1. rivin alkot ykkösiksi. \\
%c) Muuta A:n 5. rivin alkiot viitosiksi. \\
%d) Muuta A:n 5. sarake muotoon $\lbrack 1,2,3,4,5 \rbrack^T$.


\item
Suorita tehtäväpaperin \emph{harj1} lopussa olevat \matl-esimerkit ja 
niiden innoittamia muita kokeiluja.


\end{enumerate}


\subsection*{Suoritustehtävät}

Tee tehtävistä lyhyt ``selkkari'' diary-komentoa ja editointia käyttäen,
kuten edellä harjoiteltiin, tai m-tiedosto, jossa ovat käyttämäsi 
komennot ja sopivat Matlab-tulkin antamat tulokset ``copypastettuna'' 
\matl-komentoikkunasta. \\
Kuvien tulostus ei taida tehtävän 2 \texttt{eigshow}-ikkunasta onnistua yhtä 
helposti kuin yleensä. Riittää, kun selostat lyhyesti. Aina voit myös 
täydentää käsinpiirretyllä. \\
Selkeys ja luettavuus ovat tärkeitä, ``painokelpoisuuteen'' ei pyritä.

Tehtävien pisteytys- ja palautussäännöt ovat 
muuten samat kuin tavallisissakin, paitsi määräaika, 
\textbf{perjantaina kello 16}.


\begin{enumerate}
\item
Muodosta $5\times 5$-yksikkömatriisi I.  (\texttt{help eye}) \\
Muodosta matriisi $E_1$, jossa on vaihdettu $I$:n rivit 2 ja 5.\\
Muodosta matriisi $E_2$, joka saadaan kertomalla $I$:n $4.$ rivi \\
luvulla $4$.
Muodosta matriisi $E_3$, joka saadaan $I$:stä  \emph{Gaussin rivioperaatiolla} 
$r_4 \leftarrow r_4 + 4\,r_1$, missä $r_i$ tarkoittaa matriisin riviä numero
 $i$. \\
Muodosta matriisit $E_1^{-1},\ \ E_2^{-1}, \ \  E_3^{-1}$ käyttäen komentoa 
\texttt{inv} ja selitä, mitä rivioperaatiota ne vastaavat.


\item
Suorita \matl-komento \texttt{eigshow}. Opiskele helppiteksti 
ja suorita joitakin kokeiluja kuljettamalla $\x$-vektoria läpi koko 
yksikköympyrän. (Tämä vain lämmittelyksi.)

Valitse erityisesti matriisit 
\texttt{ A=[1 3;4 2]/4}, \texttt{B=[3 1;-2 4]/4} ja \\ \texttt{C=[2 4;2 4]/4}.
Määritä kuvan perusteella kunkin ominaisarvot 
ja -vektorit. Saat vektorit tarkemmin komentamalla \texttt{grid on}.\\
Mitä, jos kuvan perusteella ominaisarvoja/vektoreita ei näyttäisi olevan?\\
Määritä kuvan perusteella myös ominaisavaruuden dimensio matriisin $C$ tapauksessa. 

Laske kunkin matriisin ominaisarvot ja -vektorit \texttt{eig}-komennolla.
(\texttt{help eig})

\textbf{Huom:} Jos näitä matriiseja ei sattuisi olemaan valmiina valikossa,
voit ne sinne lisätä helppiruudun ``View code for eigshow''-linkistä.
Hae koodista kohta \texttt{mats = ...}. Siitä näet, miten matriiseja 
voi lisätä. Jos editoit koodia, tallenna se omaan hakemistoosi vaikkapa 
nimelle \texttt{ominashow}, ja sitten vaan \texttt{ominashow}.



\item
\emph{Vandermonden matriisi} on sellainen, jonka sarakkeet ovat annetun 
vektorin potensseja. Se tulee vastaan mm. polynomi-interpolaatiossa ja 
se on tyyppiesimerkki ns. häiriöalttiista matriisista (millä ei ole vaikutusta 
tähän tehtävään).

(a) Anna komento \texttt{help vander} 
ja muodosta  vektorin 
$\v= \lbrack 1,2,3,4,5,6 \rbrack$ määräämä Vandermonden matriisi $A$.\\
(b) Laske sen ominaisarvot ja -vektorit komennolla \texttt{eig}. 
(\texttt{help eig}). \\
(c) Muodosta ominaisarvojen vektori komennolla \texttt{diag}.\\
Tarkista ominaisarvo/vektori-määritelmän toteutuminen vaikkapa vain suurimman 
ominaisarvon kohdalla. 
(Muistele, miten matriisin sarake poimitaan.) \\
(d) Päättele ominaisarvoja katsomalla matriisin diagonalisoituvuus. \\
(e) Suorita diagonalisointi, itse asiassa \texttt{eig} tekee sen, tarvitsee 
vain suoritttaa vielä ominaisvektorimatriisin kääntäminen. 

\textbf{Huomaa}, että vaikka kohtia on monta, ne ovat enimmäkseen
yhden tai kahden hassun komennon takana.



\end{enumerate}

\begin{center}\fbox{{\sc Käännä}}\end{center}
\newpage

\textbf{Matlab-pikaohje}

Edellä olevien ohjeiden lisäksi tässä vielä muutama pikainen:

\begin{itemize}

\item
Komennon suorittama tulos tulee ruudulle ENTER-painalluksen jälkeen (kuvat 
erilliseen ikkunaan). Jos haluat estää tulostuksen, päätä komento 
puolipisteeseen. Jos myöhemmin haluat katsoa muuttujan sisällön, kirjoita
sen nimi (ilman puolipistettä). Jos muuttuja on suuri matriisi, kannattaa
ensin katsoa sen koko \texttt{size(A)} tai sen jotain osaa, esim.
\texttt{A(1:10,1:10)}

\item
Edellisen komennon tulos on muuttujassa \texttt{ans}. Yleensä on suositeltavaa
antaa tulokselle oma nimi tyyliin \texttt{nimi= ...}

\item
\texttt{format long} :  Tulostetaan enemmän numeroita (n. 16). 
Laskutarkkuuteen tämä ei vaikuta.\\
\texttt{format rational} laskee rationaaliluvuilla. \\
\texttt{format short}: Paluu oletustulostukseen.


\item 
Matriisin \texttt{A} transpoosi: \texttt{A'}

\item
Kokonaislukuvektori: Esim \texttt{1:10} tai \texttt{1:2:20}.
Myös \texttt{linspace}. Pystyvektoriksi transponoimalla.


\item
A(i,j)  A:n alkio (i,j). \\
A(2,:)  A:n 2. rivi \\
A(:,3)  A:n 3. sarake \\
A(1:4,1:4) osamatriisi \\
Matriisin osaa voi päivittää, vaikkapa: \\ 
\texttt{A(1:4,1:4)=ones(4,4)}
tai \\
\texttt{A(2,:)=A(2,:)-2*A(:,1)} (Gaussin rivioperaatio).

\item
Matriisien liittäminen: Jos $A$:lla ja $B$:llä on yhtä monta riviä,
ne voidaan liittää peräkkäin: \texttt{[A b]} (tai \texttt{[A, b]})\\
Jos yhtä monta saraketta, niin allekkain: \texttt{[A;B]}

\item
Laskutoimitukset tarkoittavat matriisilaskua. Siis esim. \\
\verb_ A*B, A^p_

\item
Vektorien ja matriisien (samankokoisten) pisteittäinen eli alkioittainen 
laskenta tapahtuu lisäämällä eteen piste. Esim: 
\texttt{u=[1 2 3], v=[-2 -2 -2], u.*v}. \\ Toinen operandi voi olla skalaari.
Siten esim. vektorin $\u$ kaikki komponentit voidaan korottaa toiseen komennolla \verb_ u.^2 _

\end{itemize}






\end{document}



\begin{verbatim}
mats = {
       '[1 1;1 1]'
      '[5/4 0; 0 3/4]'
      '[5/4 0; 0 -3/4]'
      '[1 0; 0 1]'
      '[0 1; 1 0]'
      '[0 1; -1 0]'
      '[1 3; 4 2]/4'
      '[1 3; 2 4]/4'
      '[3 1; 4 2]/4'
      '[3 1; -2 4]/4'
      '[2 4; 2 4]/4'
      '[2 4; -1 -2]/4'
      '[6 4; -1 2]/4'
      'randn(2,2)'};
\end{verbatim}


Muodosta matriisin
$A=
\left[ \begin {array}{ccc} 3&5&6\\\noalign{\medskip}-2&2&7
\\\noalign{\medskip}1&1&1\end {array} \right] 
$
\quad LU-hajotelma.
Rutiinilaskentatyön vähentämiseksi annetaan: $U=
\left[ \begin {array}{ccc} 3&5&6\\\noalign{\medskip}0&16/3&11
\\\noalign{\medskip}0&0&3/8\end {array} \right] 
$

Tarkistus \matl:lla: tietysti \texttt{ L*U} .
LU-hajotelman laskeminen: \texttt{[L,U,P]=lu(A)}.

\item
Tarkastellaan yhtälöryhmää
$$
\begin{cases}
0.0001 x_1 + 2 x_2 = 4\\
x_1 + x_2 = 3
\end{cases}
$$

Tarkka ratkaisu on $\lbrack \frac{2}{1.9999} , \frac{3.9997}{1.9999} \rbrack^T$, joka $5$:llä numerolla esitettynä on $\lbrack 1.0001, 1.9999 \rbrack^T$.

(a)
Ratkaise yhtälösysteemi niin, että suoritat laskut (järjestystä vaihtamatta) 
$3$:lla merkitsevällä numerolla. (Laske laskimella, Matlabilla tms. ja pyöristä kunkin operaation jälkeen tulos 3:een numeroon.)

(b) 
Tee samoin kuin (a)-kohdassa, mutta vaihda yhtälöiden järjestys.

Selitä, miksi (a)-tapauksessa tulee suuri suhteellinen virhe 
( $100$\%:n suhteellinen virhe toisessa komponentissa), kun taas (b)-tapauksessa virhe on olematon.
%(``Kvalitatiivinen'' selitys riittää.)

\item
Olkoon 
$A=\left[ \begin {array}{ccc} 1&8&6\\\noalign{\medskip}-1&-4&5
\\\noalign{\medskip}2&4&-6\end {array} \right] $
 \quad ja \quad
$\b=
\left[ \begin {array}{ccc} 8&1&4\end {array} \right]^T.
$
Ratkaise yhtälö $A \x = \b$ \emph{osittaistuentaa} (``partial pivoting'') käyttäen. \\
Olkoon $P$ permutaatiomatriisi (rivinvaihtomatriisi), joka määräytyy rivien 
vaihdoista. Muodosta hajotelma  $P A = L U.$

\matl:lla:  \texttt{help lu}, \texttt{[L,U,P]=lu(A)} (Tämä siis vertailun vuoksi, tarkoitus on laskea käsin.)

\textbf{Huom:} Osittaistuenta tarkoittaa itseisarvoltaan suurimman tukialkion 
valitsemista pienen tukialkion aiheuttamien numeeristen ongelmien välttämiseksi. \matl\/ saattaa käyttää esim. ns. skaalattua osittaistuentaa, 
jolloin rivinvaihtostrategia voi olla erilainen.

\item
Määritä matriisin 

$$A=\left[ \begin {array}{ccc} 1&0&0\\\noalign{\medskip}2&4&0
\\\noalign{\medskip}6&4&2\end {array} \right] $$

ominaisarvot ja suurinta ominaisarvoa vastaava ominaisvektori.

\item
Olkoon $A=\left[ \begin {array}{cc} a&1\\\noalign{\medskip}0&a\end {array}
 \right].$ \\

(a) Voidaanko $A$ diagonalisoida?\\
(b) Laske potensseja $A^2,\ \ A^3, \ldots$ ja päättele, millaista muotoa
$A^n$ on yleisesti.


\item
Neliömatriisit $A$ ja $B$ ovat \emph{similaariset}, jos on olemassa 
kääntyvä matriisi $S$ siten, että $B= S A S^{-1}$

(a) Osoita, että similaarisilla matriiseilla on sama karakteristinen
polynomi ja siten samat ominaisarvot.
\\
(b) Osoita, että jos $\x$ on $A$:n ominaisvektori, niin $S\x$ on 
$B$:n ominaisvektori. 

Vihje (a): $S A S^{-1} - \lambda I = S(A-\lambda I) S^{-1}.  $ 


\end{enumerate}
\end{document}



\item
Ratkaise yhtälöryhmät:

\qquad
$
\begin{cases}
x_1+2x_2 +2x_3 = 1 \\
2x_1 + 5x_2 + x_3 = 9 \\
x_1 + 3x_2 + 4x_3 = 9
\end{cases}
$  \qquad \qquad
$
\begin{cases}
x_1+2x_2 +2x_3 = 9 \\
2x_1 + 5x_2 + x_3 = 9 \\
x_1 + 3x_2 + 4x_3 = -2
\end{cases}
$ 

suorittamalla Gaussin eliminaatio $3\times 5$-matriisille, jossa 
kerroinmatriisin perään on liitetty molemmat oikean puolen 
``$\b$-vektorit''. Takaisinsijoitusvaihe lienee selkeintä 
suorittaa kahtena erillisenä tehtävänä.


\item
Olkoon
$A= \left[ \begin {array}{ccc} a_{{1,1}}&a_{{1,2}}&a_{{1,3}}
\\\noalign{\medskip}a_{{2,1}}&a_{{2,2}}&a_{{2,3}}\\\noalign{\medskip}a
_{{3,1}}&a_{{3,2}}&a_{{3,3}}\end {array} \right] $ ja  olkoot

$E_0= \left[ \begin {array}{ccc} 0&1&0\\\noalign{\medskip}1&0&0
\\\noalign{\medskip}0&0&1\end {array} \right] 
$ \qquad
$E_1= \left[ \begin {array}{ccc} 1&0&0\\\noalign{\medskip}0&1&0
\\\noalign{\medskip}0&0&3\end {array} \right] 
$,\qquad
$E_2=\left[ \begin {array}{ccc} 1&0&0\\\noalign{\medskip}2&1&0
\\\noalign{\medskip}0&0&1\end {array} \right].
$

Muodosta matriisitulot $E_0 A$, $E_1 A$, $A E_1$ ja $E_2 A$ ja selvitä,
mitä nämä operaatiot tekevät matriisin $A$ riveille/sarakkeille.



\item
Määritä matriisin 
$A=
\left[ \begin {array}{ccc} 8&0&4\\\noalign{\medskip}0&2&0
\\\noalign{\medskip}4&0&2\\\noalign{\medskip}0&4&0\end {array}
 \right] 
$
rangi $r(A)$ sekä riviavaruuden $\row A$ ja sarakeavaruuden $\col A$ kannat.




%\item
%Määritä matriisien $A$ ja $B$ rangi $r(A)$ ja $r(B) $.
%Muodostavatko alla olevien matriisien sarakevektorit lineaarisesti riippumattoman
%(\texttt{LRT}) vai riippuvan ( \texttt{LRV}) vektorijoukon.\\

%\qquad 
%$A=\left[ \begin {array}{ccc} -4&-3&0\\\noalign{\medskip}0&-1&4\\\noalign{\medskip}1&0&3\\\noalign{\medskip}5&4&6\end {array}
% \right]$ 
%\qquad
% $B=\left[ \begin {array}{cccc} 1&-3&3&-2\\\noalign{\medskip}-3&7&-1&2\\\noalign{\medskip}0&1&-4&3\end {array} \right]$

%Ovatko matriisien sarakevektorit lineaarisesti riippumattomat
%(\texttt{LRT}) vai riippuvat ( \texttt{LRV})?
%Entä rivivektorit?


%\textbf{Ohje:} Kirjoita LRT/LRV-vektoriyhtälö ja muokkaa se matriisiyhtälöksi.
%Tarkoitus on ymmärtää, eikä "Gaussata"\/ mekaanisesti.\\
%\textbf{Huom:} Jälkimmäisessäkin saat mielellään laskea ref-muodon, mutta saat
%myös päätellä tukialkioiden lukumäärätiedon perusteella. Pyydän, että et tässä
%vetoa tyyppiä "$\R^3$:n $4$ vektoria ovat aina $\ldots$"\/ olevaan lauseeseen,
%vaikka se onkin hyvä ohjenuora elämän varrelle.

\end{enumerate}


\subsubsection*{Loppuviikko}

\textit{Nämä ovat kotitehtäviä, joista jonkun voit hyvällä onnella päästä 
esittämään taululla.}

\begin{enumerate}
\item
Osoita, että vektorit $\lbrack 0,0,0,1 \rbrack^T$, 
$\lbrack 0,0,1,1 \rbrack^T$, $\lbrack 0,1,1,1 \rbrack^T$ ja
$\lbrack 1,1,1,1 \rbrack^T$ muodostavat avaruuden $\R^4$ kannan ja
määritä vektorin $\v=\lbrack-1,0,1,2\rbrack^T$ esitys tässä kannassa.



\item
Olkoon 
$A=
 \left[ \begin {array}{ccc} 1&0&-2\\\noalign{\medskip}-3&1&4
\\\noalign{\medskip}2&-3&4\end {array} \right].
$

Määritä Gauss-Jordanin menetelmällä $A^{-1},$ jos sattuu olemaan olemassa.


\item
Määritä AV-tehtävän 2 matriisien $E_0,\ \ E_1,\ \, E_2$ käänteismatriisit.

Vihje: Kannattaa käyttää suoraan käänteismatriisin määritelmää, eikä lähteä 
jauhamaan Gauss-Jordania (toki sallitaan sekin).\\
Siis etsitään matriisia $E$, jolle $E\, E_k  = I$. Mieti, millä rivioperaatiolla
matriisista $E_k$ saataisiin $I$, ja esitä tuo rivioperaatio samantyyppisellä 
matriisilla kertomisena. 

\item
(a)
Osoita, että ala/yläkolmiomatriisin determinantti on lävistäjäalkioiden tulo.\\
(b) 
Osoita, että 
$$\det A = \begin{cases}
             (-1)^q \times \textit{tukialkioiden tulo, jos} 
              \ \ \exists A^{-1}  \\
               0\ \ \textit{muuten} 
             \end{cases}.$$

Tässä $q$ tarkoittaa rivinvaihtojen lukumäärää ja ``Gaussaaminen'' oletetaan 
suoritetun ilman rivien skaalaamista.

\item
%LU-hajotelma annettu, laske takaisinsijoituksilla.

Ratkaise yhtälö $A\x = \b$, missä 
$ A=
 \left[ \begin {array}{ccc} 3&1&1\\\noalign{\medskip}-1&-3&-1
\\\noalign{\medskip}-6&-1&-2\end {array} \right] 
$ ja $\b = \lbrack 1,1,1 \rbrack^T$

Käytä hyväksesi ns. LU-hajotelmaa, joka tässä annetaan:
$A=L U,$ missä 

 $$L=\left[ \begin {array}{ccc} 1&0&0\\\noalign{\medskip}-1/3&1&0
\\\noalign{\medskip}-2&-3/8&1\end {array} \right]  , \ \ U =
 \left[ \begin {array}{ccc} 3&1&1\\\noalign{\medskip}0&-8/3&-2/3
\\\noalign{\medskip}0&0&-1/4\end {array} \right] $$

Vihje: $A \x = \b \iff L U \x = \b.$ Ratkaise ensin $L \y = \b .$
Tehtävä ratkeaa siten kahdella takaisinsijoitusvaiheella.






\end{enumerate}

\end{document}



\item
Annettuna on $3\times 3-$systeemin liitännäismatriisi
$ \left[ \begin {array}{cccc} 1&2&3&4\\\noalign{\medskip}4&5&6&7
\\\noalign{\medskip}6&7&8&9\end {array} \right].$
Muodosta rivioperaatioilla porrasmuoto "ref"\/ --- "row echelon form".
Merkitse tukisarakkeet ja tukialkioiden paikat. Jatka sitten rivioperaatioita alhaalta ylöspäin päästäksesi redusoituun porrasmuotoon "rref".



\item
% Lay s. 12 t. 13, vast (5,3,-1)
Ratkaise yhtälösysteemi
$\begin{cases}
x_1-3\,x_3 = 8\\
2x_1+2x_2+9x_3=7\\
x_2+5x_3=-2
\end{cases}$

Muokkaa Gaussin rivioperaatioilla systeemi yläkolmiomuotoon, rengasta tukialkiot ja ratkaise. Voit operoida suoraan yhtälömuodolla tai liitännäismatriisilla
("augmented matrix"). Voit suorittaa takaisinsijoituksen suoraan ref-muodosta
tai edetä rref-muotoon. Opettavaisinta on tehdä molemmat. \\
Tarkistus: 1) Sijoita ratkaisusi yhtälöön tai 2) Käytä sopivaa 
matriisiohjelmaa, kuten Matlab/Octave. \\
\verb_A=[1 0 -3;2 2 9;...]; b=[8;7;-2]; x=A\b _


\item 
Annettuna on porrasmuotoon saatettujen lineaaristen systeemien liitännäismatriiseja muodossa, jossa $\blacksquare$ tarkoittaa nollasta poikkeavaa lukua,
$\ast$ mielivaltaista lukua (nolla tai ei) ja $0$ tarkoittaa puhdasta nollaa.
Kerro kussakin tapauksessa, montako yhtälöä ja tuntematonta on, onko systeemi
konsistentti vai ei ja konsistentissa tapauksessa ratkaisujen lukumäärä.
Jos lukumäärä on ääretön, selvitä, kuinka monta vapaata parametria ratkaisussa on.

\begin{center}
(a) $\ \left[ 
\begin{array}{rrrr}
\blacksquare & \ast & \ast & \ast  \\ 
0 & \blacksquare & \ast & \ast  \\ 
0 & 0 & \blacksquare & 0  \\ 
\end{array}\right]$\quad
(b) $\ \ \left[
\begin{array}{rrrrr}
0& \blacksquare & \ast & \ast & \ast  \\ 
0 & 0 & \blacksquare &  \ast & \ast \\ 
0 & 0 & 0 & 0 & \blacksquare \\ 
\end{array}%
\right] \qquad  $

(c) $\ \ \left[ 
\begin{array}{rrr}
\blacksquare & \ast & \ast \\ 
0 & \blacksquare & \ast \\ 
0 & 0 & 0
\end{array}
\right] \qquad $
(d) $\ \ \left[
\begin{array}{rrrrr}
\blacksquare & \ast & \ast & \ast & \ast   \\ 
0 & 0 & \blacksquare &  \ast & \ast \\ 
0 & 0 & 0 &  \blacksquare & \ast \\ 
\end{array}%
\right] \qquad  $
\end{center}

\item % Strang s. 45
Olkoon annettu yhtälösysteemi 
$\begin{cases}
x_1 +4 x_2 -2 x_3 = 1\\
x_1+7 x_2 -6 x_3 = 6\\
3 x_2 + q\,x_3   = t
 \end{cases}$
\textbf{Sanonta:} Systeemi on \emph{singulaarinen}, jos sillä ei ole yksikäsitteistä ratkaisua (vaan joko 1) $\ldots$ tai 2) $\ldots$) .\\
(a) Määritä luku $q$ siten, että systeemi on singulaarinen.\\
(b) Millä $t$:n arvoilla systeemillä on tällöin ratkaisuja?\\
(c) Määritä tällöin se ratkaisu, jolla $x_3 = 1.$




\item 
%\includegraphics[height=3.6cm, width=3.6cm]{img/harj1.eps}
%\vfill\eject
\emph{Tasapainolämpötilajakauma metallilevyssä} Kuva esittää metallilevyä,
joka on ylä- ja alapinnoiltaan lämpöeristetty ja jonka reunojen lämpötilat
on kiinnitetty. (Lämpöä virtaa vain reunojen kautta.) Tasapainolämpötilajakauma
saadaan \emph{Laplacen yhtälön $\Delta u=0$} ratkaisuna. Numeerinen approksimaatio voidaan laskea ns. differenssimenetelmällä: Jaetaan levy sopivilla hilaviivoilla osiin ja numeroidaan näin muodostuvat solmupisteet. Menetelmä: Kunkin 
hilasolmun lämpötila on naapurisolmujen lämpötilojen keskiarvo. (Johdetaan
kurssin lopulla.)


Muodosta $4\times 4-$ yhtälösysteemi solmujen $1,2,3,4$ lämpötilojen likiarvoille $u_1,u_2,u_3,u_4.$ 
Ohje: Aloitetaan solmusta 1: $u_1 = \frac{1}{4}(30 + u_2 + u_3 + 10)$. Vastaavasti muut kolme solmua.
 (Tehtävä jatkuu loppuviikolla.)
%\includegraphics[height=3.6cm, width=3.6cm]{img/lampohila.eps}
%\includegraphics{img/lampo.eps}
%\includegraphics[height=3.6cm, width=3.6cm]{img/lampo.eps}
%\vfill\eject

\begin{verbatim}
               20      20
        |----- o  ----  o ------|
        |                       |
        |                       |
     10 o      o 3      o 4     o  40
        |                       |
        |                       |
     10 o      o 1      o 2     o  40
        |                       |
        |                       |
        |----- o ------ o ------|
               30       30
\end{verbatim}

\end{enumerate}

\subsubsection*{Loppuviikko}

\begin{enumerate}

\item
(a)
Ratkaise AV tehtävän 5 (lämpö)yhtälösysteemi ja sijoita ratkaisulämpötilat ao. 
hilapisteisiin.\\
(b) ("vapaaehtoinen") Muodosta $4\times 4-$ matriisi, jossa on reunalämpötilat 
ja ratkaisemasi sisäpistelämpötilat sekä nurkissa lähinnä olevien kahden
reunasolmun keskiarvot tähän tapaan:
\verb_ U=[5 20 20 30;10 u3 u4 40; 10 u1 u2 40; 20 30 30 35];_
Piirrä ratkaisupinnan approksimaatio:\verb_ mesh(U)_ tai \verb_surf(U)_.

\item
(a)
Määritä lukuja $g,h,k$ koskeva ehto sille, että liitännäismatriisin
$ \left[ \begin {array}{cccc} 1&-4&7&g\\\noalign{\medskip}0&3&-5&h
\\\noalign{\medskip}-2&5&-9&k\end {array} \right]$
määräämällä systeemillä olisi ratkaisuja.\\
(b)
Määritä tällä ehdolla yleinen ratkaisu, kun $k=1$ ja $h=-1$.

Vast: (a) $h+2g+k=0$ .


\item
(a) Olkoon $3\times 5$ \emph{kerroinmatriisilla} $A$ kolme tukisaraketta.
Onko systeemi $A\,\x = \b$ konsistentti.\\
(b) Olkoon $3\times 6$-systeemin \emph{liitännäismatriisin} %$\tilde{A}$
$\textrm{Ab}$ viimeinen
(seitsemäs) sarake tukisarake. Onko systeemi konsistentti vai ei?\\
(c) Olkoon systeemin kerroinmatriisin $A$ jokaisella rivillä tukialkio.
Selvitä, miksi systeemi on konsistentti. 

\item
(a)
Kirjoita vektoriyhtälö\\
$x_{{1}} \left[ \begin {array}{c} -2\\\noalign{\medskip}3\end {array}
 \right] +x_{{2}} \left[ \begin {array}{c} 8\\\noalign{\medskip}5
\end {array} \right] +x_{{3}} \left[ \begin {array}{c} -1
\\\noalign{\medskip}6\end {array} \right]=\left[ \begin {array}{c} 0\\\noalign{\medskip}0\end {array} \right]  $ matriisiyhtälöksi $A\,x=b$.

(b) Kirjoita yhtälösysteemi
$\begin{cases}
4 x_1+x_2+3x_3= 9\\
x_1 - 7 x_2 -2 x_3 = 2\\
8x_1 + 6 x_2 - 5 x_3 = 15
\end{cases}
$
vektoriyhtälöksi.

Mieti eri muotojen geometrisia tulkintoja

\textbf{Kyllä vaan}, tehtävä on todella näin vaatimaton, siis sarakemuodosta 
rivimuotoon ja toisinpäin.





\item
Oheinen kuva esittää liikenneverkkoa. Kuhunkin solmuun A,B,C,D tulevien
ja siitä lähtevien ajoneuvojen lukumäärien summa pysyy samana (solmuun ei
häviä eikä siinä synny ajoneuvoja).
Kadut ovat yksisuuntaisia nuolien osoittamalla tavalla.

\begin{center}
%\includegraphics{img/liikenne.eps}
%\includegraphics{img/liik.eps}
\end{center}

(a) Muodosta yhtälösysteemi tuntemattomien ajoneuvomäärien $x_1,\ldots x_5$
suhteen.\\
(b) Määritä systeemin yleinen ratkaisu.\\
(c) Jos $x_4$:llä merkitty katuosuus suljetaan, niin mikä on yleinen ratkaisu?\\
(d) Määritä kohdan (c) tilanteessa pienin $x_1:$n ja suurin $x_3:$n arvo 
(jotta yhdensuuntaisuutta osoittavia liikennemerkkejä ei tarvitse kääntää).

Huom! Porrasmuotoon saattamisessa saat halutessasi käyttää Matlab/Octave-funktiota {\tt rref} (kts. \texttt{help rref}). 


%\includegraphics[height=3.6cm, width=3.6cm]{img/liikenne.png}
%\includegraphics{img/liikenne.png}
%\includegraphics{img/liikenne1.eps}
%\includegraphics[height=4cm, width=6cm]{img/liikenne.eps}
\end{enumerate}

\end{document}





