%\documentclass[a4]{seminar}
\documentclass[finnish,11pt]{article}
\usepackage[finnish]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,vmargin}
\usepackage{theorem}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{epsfig}
\usepackage{verbatim}
\usepackage{float}
%\usepackage{/home/apiola/tex/apropos}
\usepackage{apropos}

\def\Ln#1{\textit{Ln #1}}
\def\Log#1{\textit{Log #1}}
\def\Re {\textit{Re}}
\def\Im {\textit{Im}}
\def\Arg {\textit{Arg}}
\def\arg {\textit{arg}}

\def\b{\vec{b}} 
\def\c{\vec{c}} 
\def\bc{\vec{c}} 
\def\e{\vec{e}} 
\def\f{\vec{f}}
\def\g{\vec{g}} 
\def\h{\vec{h}} 
\def\l{\vec{l}}
\def\n{\vec{n}}
\def\p{\vec{p}} 
\def\q{\vec{q}} 
\def\r{\vec{r}}
\def\s{\vec{s}}
\def\t{\vec{t}}
\def\u{\vec{u}} 
\def\v{\vec{v}}
\def\w{\vec{w}} 
\def\x{\vec{x}}
\def\y{\vec{y}} 
\def\z{\vec{z}}
\def\bP{\vec {P}} 
\def\bQ{\vec {Q}}
\def\A{\mat{A}} 
\def\B{\mat{B}} 
\def\BB{\mat{B}} 
\def\BC{\mat{C}} 
\def\BD{\mat{D}} 
\def\BE{\mat {E}} 
\def\BF{\mat {F}} 
\def\G{\mat{G}} 
\def\H{\mat{H}} 
\def\BI{\mat{I}} 
\def\BJ{\mat {J}}
\def\J{\mat {J}}
\def\BP{\mat {P}} 
\def\BQ{\mat {Q}} 
\def\BR{\mat {R}}
\def\BS{\mat {S}} 
\def\BU{\mat {U}} 
\def\V{\mat {V}} 
\def\BY{\mat{Y}}
\def\O{\mat{O}}
\def\bbK{\mathbb{K}}
\def\whocares{\#}
\def\bphi{\vec{\phi}}
\def\bpsi{\vec{\psi}}
\def\BPhi{\vec{\Phi}}






%\slidesmag{4}

\date{\today}


\begin{document}

%\begin{slide}

%\includegraphics[height=3.6cm, width=3.6cm]{img/tasokoe.eps}
\begin{center}
%\maketitle
\end{center}

%\end{slide}
%\begin{slide}

\begin{center}

\end{center}




%\vspace{1pt}



%\textbf{Lineaarinen yhtälösysteemi:}

%Lay: Luku 1.2

\subsubsection*{1.2: Riviporrasmuotojen \textit{ref} ja \textit{rref} yleinen rakenne}


{\it
Sopimus: Nollarivi/sarake on sellainen (ja vain sellainen), jonka kaikki alkiot
$=0$. Kysymys on siis nollavektorista. Siten nollasta poikkeva on sellainen,
jonka yksikin alkio $\neq 0$.
}

\textbf{(Rivi)porrasmuoto,  \textit{"Row Echelon Form"}}

\begin{description}
\item 1. 
Jokainen nollasta poikkeava rivi on kunkin nollarivin yläpuolella.
(Ts. nollarivit ovat pohjalla.)

%All nonzero rows are above any rows of all zeros.

\item 2. 
Jokaisen ei-nollarivin johtava alkio (ts. ensimmäinen nollasta poikkeava
alkio) on aidosti oikealla edellisen rivin johtavaa alkiota.
(Ts. aina muodostuu ainakin 1:n pituinen porras.)

%Each \textit{leading entry} (i.e. left most nonzero entry) of a row
%is in a column to the right of the leading entry of the row above it.

\item 3. 
Kunkin johtavan alkion alapuolinen sarakkeen osa koostuu nollista.
%All entries in a column below a leading entry are zero.
\end{description}

\begin{center}
\vspace{1pt}
\end{center}

%\newpage

\textbf{ESIMERKKI: \ }Porrasmuotoisia matriiseja

\begin{center}
(a) $\ \left[ 
\begin{array}{rrrrr}
\blacksquare & \ast & \ast & \ast & \ast \\ 
0 & \blacksquare & \ast & \ast & \ast \\ 
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 
0 & 0 & 0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right] \qquad \qquad \qquad \qquad $(b) $\ \ \left[ 
\begin{array}{rrr}
\blacksquare & \ast & \ast \\ 
0 & \blacksquare & \ast \\ 
0 & 0 & \blacksquare \\ 
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right] \qquad $

\vspace{1pt}

(c) $\ \left[ 
\begin{array}{rrrrrrrrrrr}
0 & \blacksquare & \ast & \ast & \ast & \ast & \ast & \ast & \ast & \ast & 
\ast \\ 
0 & 0 & 0 & \blacksquare & \ast & \ast & \ast & \ast & \ast & \ast & \ast \\ 
0 & 0 & 0 & 0 & \blacksquare & \ast & \ast & \ast & \ast & \ast & \ast \\ 
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \blacksquare & \ast & \ast & \ast \\ 
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \blacksquare & \ast & \ast%
\end{array}%
\right] \qquad $

\vspace{1pt}
\end{center}

%\textbf{Reduced echelon form: }Add the following conditions to conditions 1,
%2, and 3 above:
\textbf{Redusoitu porrasmuoto (rref): }
Edellisten ehtojen 1, 2, 3 lisäksi nämä:

\vspace{1pt}

\begin{description}
\item 4. \ Jokaisen nollasta poikkeavan rivin johtava alkio on $1$.
\item 5. \ Johtavan alkion määräämän sarakkeen yläpuolinenkin osa koostuu 
nollista, ts. johtava $1$ on tällaisen sarakkeen ainoa nollasta poikkeva alkio.
%\item 5. \ Each leading 1 is the only nonzero entry in its column. \ 

\end{description}

%\vspace{1pt}

%\vfill\eject

%\textbf{ESIM }(jatkoa):
%\textbf{\ } \ 
\textbf{Redusoitu porrasmuoto (rref)} :

\begin{center}
$\left[ 
\begin{array}{rrrrrrrrrrr}
0 & 1 & \ast & 0 & 0 & \ast & \ast & 0 & 0 & \ast & \ast \\ 
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & \ast & \ast & 0 & 0 & \ast & \ast \\ 
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \ast & \ast & 0 & 0 & \ast & \ast \\ 
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & \ast & \ast \\ 
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \ast & \ast%
\end{array}%
\right] $

\vspace{1pt}
\end{center}


\vspace{10pt}

\hrule


\vspace{2pt}
%\framebox{
\begin{quotation}
\textbf{Lause\label{reflause} 1 [porrasmuotolause, ref-lause]}\ 
\begin{description}
\item 1. Jokainen matriisi on riviekvivalentti porrasmuotoisen matriisin kanssa.
\item 2. Jokainen matriisi on riviekvivalentti redusoidun porrasmuotoisen 
matriisin kanssa. Tämä rref-muoto on yksikäsitteinen.\\

\end{description}


%\qquad Each matrix is row-equivalent to one and only one reduced echelon matrix.
\end{quotation}
%}

%\vspace{1pt}

%\vfill\eject


%\newpage

\textbf{Tärkeät termit: Tukialkio, tukisarake ("pivot") \ }

\vspace{1pt}

\begin{itemize}
\item 
\textbf{tukialkio:} \  porrasmuodossa olevan matriisin nollasta poikkeavan
rivin 1. nollasta poikkeva alkio, ts. rivin "johtava alkio".

\item
\textbf{tukisarake: \ } porrasmuodossa olevan matriisin sarake, joka sisältää
tukialkion, ts. sama kuin "johtava sarake".\\
Alkuperäisen matriisin \textbf{tukisarakkeiksi} kutsutaan niitä sarakkeita,
jotka ovat porrasmuotoon saatetun matriisin tukisarakkeiden kohdilla.

\end{itemize}

\vspace{1pt}

\textbf{Huom!} Lauseessa 1 % ~\ref{reflause} 
(reflause) todetaan, että 
rref-muoto on
yksikäsitteinen. Sensijaan ref-muoto ei ole, pelkästään rivin skaalauksella
saadaan uusia ref-muotoja. Tukisarakkeiden paikat sensijaan ovat samat kaikissa
ref-muodoissa, koska siirtyminen ref-muodosta (yksikäsitteiseen) rref-muotoon 
ei paikkoja muuta.

\vspace{1pt}

\begin{center}
%(See the Glossary at the back of the textbook.)

\vspace{1pt}
\end{center}

%\vspace{1pt}

%\vfill\eject

\textbf{ESIMERKKI: \ }
Muunna matriisi porrasmuotoon ja paikanna tukisarakkeet.

\vspace{2pt}

\begin{center}
$\left[ 
\begin{array}{rrrrr}
0 & -3 & -6 & 4 & 9 \\ 
-1 & -2 & -1 & 3 & 1 \\ 
-2 & -3 & 0 & 3 & -1 \\ 
1 & 4 & 5 & -9 & -7%
\end{array}
\right] $

\vspace{1pt}
\end{center}

\vspace{2pt}
\hrule
\vspace{2pt}
\textbf{Ratkaisu}


\begin{center}
%\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 
%\begin{tabular}{ccccc}
%& pivot &  &  &  \\ 
%$\swarrow $ &  &  &  & 
%\end{tabular}
%\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 

\begin{tabular}{ccc}
$\left[ 
\begin{array}{rrrrr}
1 & 4 & 5 & -9 & -7 \\ 
-1 & -2 & -1 & 3 & 1 \\ 
-2 & -3 & 0 & 3 & -1 \\ 
0 & -3 & -6 & 4 & 9%
\end{array}
\right] $
%\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 

& $\sim$

 
%\begin{tabular}{ccccc}
%$\uparrow $ &  &  &  &  \\ 
%pivot column &  &  &  & 
%\end{tabular}
%\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 

%$\vspace{1pt}$

&
$\left[ 
\begin{array}{rrrrr}
1 & 4 & 5 & -9 & -7 \\ 
0 & 2 & 4 & -6 & -6 \\ 
0 & 5 & 10 & -15 & -15 \\ 
0 & -3 & -6 & 4 & 9%
\end{array}%
\right] $ \ 
\end{tabular}
\vspace{5pt}
\begin{center}
\begin{description}
\item[-]
1. rivi ja 4. rivi vaihdetaan $\Rightarrow$ Tukialkio on 1 ja 1. sarake on 
tukisarake.
\item[-]
Nollataan tukialkion 1 avulla 1. sarakkeen alaosa.
\item[-]
2. sarake on tukisarake, otetaan tukialkioksi 2 (ei rivinvaihtoja)
\end{description}

\end{center}

%\vfill\eject

\begin{tabular}{ccc}
$\ \left[ 
\begin{array}{rrrrr}
1 & 4 & 5 & -9 & -7 \\ 
0 & 2 & 4 & -6 & -6 \\ 
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 
0 & 0 & 0 & -5 & 0%
\end{array}
\right] $ \ & $\sim$
&$\left[ 
\begin{array}{rrrrr}
1 & 4 & 5 & -9 & -7 \\ 
0 & 2 & 4 & -6 & -6 \\ 
0 & 0 & 0 & -5 & 0 \\ 
0 & 0 & 0 & 0 & 0%
\end{array}
\right] $
\end{tabular}
\end{center}


\vspace{1pt}

\begin{center}
\qquad \qquad \ \ Alkuperäinen matriisi: \ $\left[ 
\begin{array}{rrrrr}
0 & -3 & -6 & 4 & 9 \\ 
-1 & -2 & -1 & 3 & 1 \\ 
-2 & -3 & 0 & 3 & -1 \\ 
1 & 4 & 5 & -9 & -7%
\end{array}
\right] $

\ \ \ \ \ \ \ \ \  \ \ \ \ \ \ \
\begin{tabular}{rrrrr}
\ \  & $\uparrow $ & \ \ \ $\uparrow $ & \ \ \ \ \ \ \  & $\uparrow $ \\ 
tukisarakkeet: \ \  & 1 & 2 \  &  & 4%
\end{tabular}
\end{center}

\vspace{1pt}

\textbf{Huom! \ }
\begin{itemize}
\item
Kullakin rivillä on korkeintaan yksi tukialkio.
\item
Kullakin sarakkeella on korkeintaan yksi tukialkio.
\item
Tukisarakkeiden lukumäärä $=$ porrasmuodon nollasta poikkeavien rivien
lkm.
\end{itemize}

\vspace{1pt}

\vspace{1pt}

\textbf{ESIMERKKI: (a) \ } Saata matriisi rivioperaatioilla porrasmuotoon:

\vspace{1pt}

\begin{center}
$\left[ 
\begin{array}{rrrrrr}
0 & 3 & -6 & 6 & 4 & -5 \\ 
3 & -7 & 8 & -5 & 8 & 9 \\ 
3 & -9 & 12 & -9 & 6 & 15%
\end{array}
\right] $
\end{center}

\vspace{1pt}

\textbf{Ratkaisu: \ }

\begin{center}
$\left[ 
\begin{array}{rrrrrr}
0 & 3 & -6 & 6 & 4 & -5 \\ 
3 & -7 & 8 & -5 & 8 & 9 \\ 
3 & -9 & 12 & -9 & 6 & 15%
\end{array}
\right] \sim \left[ 
\begin{array}{rrrrrr}
3 & -9 & 12 & -9 & 6 & 15 \\ 
3 & -7 & 8 & -5 & 8 & 9 \\ 
0 & 3 & -6 & 6 & 4 & -5%
\end{array}
\right]$ 

%\sim \left[ 
%\begin{array}{rrrrrr}
%3 & -9 & 12 & -9 & 6 & 15 \\ 
%0 & 2 & -4 & 4 & 2 & -6 \\ 
%0 & 3 & -6 & 6 & 4 & -5%
%\end{array}
%\right] $

\vspace{1pt}
\end{center}

%Cover the top row and look at the remaining two rows for the left-most
%nonzero column.

\begin{center}
\vspace{1pt}

$\left[ 
\begin{array}{rrrrrr}
3 & -9 & 12 & -9 & 6 & 15 \\ 
0 & 2 & -4 & 4 & 2 & -6 \\ 
0 & 3 & -6 & 6 & 4 & -5%
\end{array}%
\right] \sim \left[ 
\begin{array}{rrrrrr}
3 & -9 & 12 & -9 & 6 & 15 \\ 
0 & 1 & -2 & 2 & 1 & -3 \\ 
0 & 3 & -6 & 6 & 4 & -5%
\end{array}%
\right] \sim \left[ 
\begin{array}{rrrrrr}
3 & -9 & 12 & -9 & 6 & 15 \\ 
0 & 1 & -2 & 2 & 1 & -3 \\ 
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4%
\end{array}%
\right] $ \   \qquad $\leftarrow$ tässäpä porrasmuoto (ref)

%\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad
%\qquad \qquad \qquad \qquad (echelon form)

%\vspace{1pt}
\end{center}
%\vfill\eject

\textbf{(b) Redusoitu porrasmuoto (rref): }

Aloitetaan oikeanpuolimmaisesta tukisarakkeesta, joka tässä on viimeistä edellinen (kerroinmatriisin viimeinen). Jos kyseessä on yhtälösysteemin liitännäismatriisi (kuten yleensä on), niin viimeistä saraketta ei tarvitse ryhtyä nollaamaan. Jos se nimittäin on tukisarake, ei ratkaisuja ole, ja koko homma voidaan
lopettaa.\\
Nollataan alhaalta ylös ja siirrytään oikealta vasemmalle seuraavaan 
tukisarakkeeseen.


%Beginning with the rightmost leading entry, and working upwards to the left,
%create zeros above each leading entry and scale rows to transform each
%leading entry into $1$.

\vspace{1pt}

\begin{center}
$\left[ 
\begin{array}{rrrrrr}
3 & -9 & 12 & -9 & 0 & -9 \\ 
0 & 1 & -2 & 2 & 0 & -7 \\ 
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4%
\end{array}%
\right] \sim \left[ 
\begin{array}{rrrrrr}
3 & 0 & -6 & 9 & 0 & -72 \\ 
0 & 1 & -2 & 2 & 0 & -7 \\ 
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4%
\end{array}%
\right] \sim \left[ 
\begin{array}{rrrrrr}
1 & 0 & -2 & 3 & 0 & -24 \\ 
0 & 1 & -2 & 2 & 0 & -7 \\ 
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4%
\end{array}%
\right] $

\vspace{1pt}
\end{center}
\textbf{Harjoittele:} Kirjoita yhtälösysteemin 
%$A \, x = \b$ 
$A\,\x=\b$
yleinen ratkaisu
(a) käyttäen yllä olevaa ref-muotoa, (b) rref-muotoa, kun liitännäismatriisi
$\left[A \ \ |\ \  \b \right]$ on edellisen tehtävän matriisi.

%\newpage

\subsection*{Lineaaristen yhtälösysteemien ratkaisut }

\vspace{1pt}

\begin{itemize}
\item \textbf{kantamuuttuja: }
muuttuja, joka vastaa tukisaraketta.


\item \textbf{vapaa muuttuja: } ei-kantamuuttuja.
\end{itemize}

\vspace{1pt}

\textbf{ESIMERKKI: \medskip }

$\left[ 
\begin{array}{rrrrrr}
1 & 6 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 
0 & 0 & 1 & -8 & 0 & 5 \\ 
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 7%
\end{array}%
\right] $ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 
\begin{array}{rrrrrr}
x_{1} & +6x_{2} &  & +3x_{4} &  & =0 \\ 
&  & x_{3} & -8x_{4} &  & =5 \\ 
&  &  &  & x_{5} & =7%
\end{array}%
$ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 
\begin{tabular}{l}
tukisarakkeet:\qquad \\ 
kantamuuttujat: \ \  \\ 
vapaat muuttujat: \ \ \ \ 
\end{tabular}%
\ $

\begin{center}
$\ \ \ \ $\qquad \qquad \qquad \qquad\ \ \ \ \ \ \ \ \ \qquad \qquad\ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \qquad\ \ \ 
\end{center}

\vspace{1pt}\textbf{Konsistentin lineaarisen systeemin yleinen ratkaisu: }

Kun systeemi on saatettu porrasmuotoon, saadaan ratkaisu(t) ns. 
\textbf{takaisinsijoituksella}.
Ratkaisut voidaan kirjoittaa alhaalta ylös. Jokainen vapaa muuttuja jää
vapaasti valittavaksi parametriksi.\\
Jos systeemi on saatettu rref-muotoon, on ratkaisu vielä helpompaa ja voidaan
suorittaa ylhäältä alas. \\
%Kummassakin tavassa vapaat muuttujat jäävät vapaasti valittaviski parametreiksi.



%\begin{description}
%\item \textit{Solve each equation for the basic variable in terms of the
%free variables (if any) in the equation.}
%\end{description}

%\vspace{1pt}

\textbf{ESIMERKKI:} Olkoon systeemin liitännäismatriisi 
saatettu rivioperaatioilla porrasmuotoon.
$$\left[ \begin {array}{cccccc} 1&6&0&3&0&0\\\noalign{\medskip}0&0&1&-8&0&5
\\\noalign{\medskip}0&0&0&0&1&7\end {array} \right]$$

Ratkaise vastaava yhtälösysteemi.

\textbf{Ratkaisu:} Tukisarakkeet ovat $1., 3., 5.$ Siis konsistentti.
(miksi?) \\


%\begin{center}

\qquad $\left\{ 
\begin{array}{rrrrrr}
x_{1} & +6x_{2} &  & +3x_{4} &  & =0 \\ 
&  & x_{3} & -8x_{4} &  & =5 \\ 
&  &  &  & x_{5} & =7%
\end{array} \right| \implies$
\qquad $\left\{ 
\begin{tabular}{l}
$x_{1}=-6x_{2}-3x_{4}$ \\ 
$x_{2}$ vapaa \\ 
$x_{3}=5+8x_{4}$ \\ 
$x_{4}$ vapaa \\ 
x$_{5}=7$%
\end{tabular}
\right. $ %(general solution)

\vspace{1pt}
%\end{center}

Tässä on systeemin yleinen ratkaisu, vapaat muuttujat ovat vapaasti valittavia
parametrejä (voitaisiin selvyyden vuoksi merkitä vaikkapa $x_2=s,\ \ x_4=t$ )


(\textbf{Tukisarakkeet:} Todettiin jo: $1,\ 3,\ 5$)

%The \textbf{general solution }of the system provides a parametric
%description of the solution set. \ (The free variables act as parameters.) \
%The above system has \textbf{infinitely many solutions. \ }Why?

\vspace{1pt}


%\begin{center}
%\textbf{Warning: Use only the reduced echelon form to solve a system.}
%\end{center}

\vspace{1pt}

%\newpage
%\paragraph{Existence and Uniqueness Questions}
\paragraph{Olemassolo- ja yksikäsitteisyys/lukumääräpäätelmät yleisesti}

\begin{center}
\vspace{1pt}
\end{center}

\textbf{ESIMERKKI: \ }

\begin{center}
\vspace{1pt}

$%\lbrace
\begin{array}{rrrrrr}
& 3x_{2} & -6x_{3} & +6x_{4} & +4x_{5} & =-5 \\ 
3x_{1} & -7x_{2} & +8x_{3} & -5x_{4} & +8x_{5} & =9 \\ 
3x_{1} & -9x_{2} & +12x_{3} & -9x_{4} & +6x_{5} & =15%
\end{array}
 $

\vspace{1pt}
\end{center}

Aiemmassa esimerkissä saatiin porrasmuoto:\bigskip 
%In an earlier example, we obtained the echelon form:\bigskip 

\begin{center}
\vspace{1pt}$\left[ 
\begin{array}{rrrrrr}
3 & -9 & 12 & -9 & 6 & 15 \\ 
0 & 2 & -4 & 4 & 2 & -6 \\ 
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4%
\end{array}
\right] $ \ $ 
\begin{array}{l}
\\ 
\\ 
\left( x_{5}=4\right)%
\end{array}
$

\vspace{1pt}
\end{center}

Muotoa $0=c,$ ( $c\neq 0$) olevaa yhtälöä ei ole, joten systeemi on konsistentti·
%No equation of the form $0=c,$ where $c\neq 0$, so the system is consistent.

\vspace{1pt}

\textbf{Vapaat muuttujat:} $x_{3}$ and $x_{4}$

\vspace{1pt}

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
\textbf{Konsistentti systeemi} \\ 
\textbf{Vapaita muuttujia on} \\ \hline
\end{tabular}
{\Large \ }$\Longrightarrow ${\Large \ }\textbf{Äärettömän monta ratkaisua}

\vspace{1pt}

\vspace{1pt}
\end{center}

\textbf{ESIMERKKI:}

\begin{center}
$%
\begin{array}{rccc}
3x_{1} & +4x_{2} & = & -3 \\ 
2x_{1} & +5x_{2} & = & 5 \\ 
-2x_{1} & -3x_{2} & = & 1%
\end{array}%
\rightarrow \left[ 
\begin{array}{rrr}
3 & 4 & -3 \\ 
2 & 5 & 5 \\ 
-2 & -3 & 1%
\end{array}%
\right] \sim \left[ 
\begin{array}{rrr}
3 & 4 & -3 \\ 
0 & 1 & 3 \\ 
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right] \longrightarrow 
\begin{array}{ccc}
3x_{1}&+&4x_{2}=-3 \\ 
 & & x_{2}=3%
\end{array}%
$
\end{center}

\vspace{1pt}

\begin{center}
$%
\begin{tabular}{|l|}
\hline
\textbf{Konsistentti systeemi,} \\ 
\textbf{Ei vapaita muuttujia} \\ \hline
\end{tabular}%
\ ${\Large \ }$\Longrightarrow ${\Large \ }\textbf{Yksikäsitteinen ratkaisu}{\Large .}

\vspace{1pt}%\newpage
\end{center}

%\begin{quotation}
\vspace{1pt}\textbf{Lause 2 (Olemassolo- ja yksikäsitteisyyslause) }

\vspace{1pt}

\begin{itemize}
\item[1.] Lineaarinen systeemi on konsistentti, jos ja vain jos liitännäismatriisin viimeinen sarake (tunnettujen lukujen vektori $\b$) ei ole
tukisarake, ts. liitännäismatriisin porrasmuodossa ei ole
yhtään riviä, joka olisi tyyppiä
%1. A linear system is consistent if and only if the rightmost column of the
%augmented matrix is not a pivot column, i.e., if and only if an echelon form
%of the augmented matrix has no row of the form
%\end{quotation}

\begin{center}
$\left[ 
\begin{array}{rrrr}
0 & ... & 0 & b%
\end{array}
\right] $ (missä $b\neq 0$)
\end{center}

%\begin{quotation}

\item[2.] Jos lineaarinen systeemi on konsistentti, niin ratkaisuja
on (a) Joko yksi tai (b) ääretön määrä.


%\begin{itemize}
%\item[(i)]
%
%\item[(ii)]
%tai ääretön määrä
%\end{itemize}

%2. If a linear system is consistent, then the solution contains either

%(i) a unique solution (when there are no free variables) or

%(ii) infinitely many solutions (when there is at least one free variable).

\begin{itemize}
\item[(a)] $\iff$ Jokainen sarake on tukisarake

\item[(b)] Vapaa muuttuja jokaista ei-tukisaraketta kohti
\end{itemize}
\end{itemize}
%\end{quotation}

%\newpage
%\vspace{1pt}

\begin{center}
{\bf Resepti lineaarisen yhtälösysteemin ratkaisemiseksi}

\vspace{1pt}
\end{center}

\begin{itemize}
\item[1.]
Muodostetaan liitännäismatriisi ja muokataan se Gaussin rivioperaatiilla porrasmuotoon.
\item[2.]
Katsotaan (pohjalla olevia) kerroinmatriisin nollarivejä, jos niitä 
on. Mikäli tässä paljastuu muotoa $\left[0,\ldots,0,c\right]$, $c\neq 0$ oleva rivi, ei systeemillä ole ratkaisuja. (Lopeta tähän.)
\end{itemize}
%\newpage

\begin{itemize}
\item[3.]
Ellei kohdan 2. tilannetta esiinny, saadaan ratkaisu takaisinsijoituksella alhaaalta ylös. Tässä jokainen mahdollinen ei-kantamuuttuja (sellainen, joka
vastaa ei-tukisaraketta) on vapaa parametri. (Jos kaikki ovat kantamuuttujia, on ratkaisu yksikäsitteinen.)
\item[3'.] Vaihtoehtoisesti voidaan jatkaa rivioperaatioita alhaalta
ylös rref-muotoon saakka, jolloin takaisinsijoitusvaihe sisältää
pelkästään toisistaan riippumattomien 1. asteen yhtälöiden ratk.
 
\end{itemize}

%1. Write the augmented matrix of the system.

%2. Use the row reduction algorithm to obtain an equivalent augmented matrix
%in echelon form. \ Decide whether the system is consistent. \ If not, stop;
%otherwise go to the next step.

%3. Continue row reduction to obtain the reduced echelon form.

%4. Write the system of equations corresponding to the matrix obtained %in step 3.

%5. State the solution by expressing each basic variable in terms of the free
%variables and declare the free variables.


\vspace{1pt}

\vspace{1pt}

\vspace{1pt}

\textbf{Kysymyksiä: }

Huomaa! Kun puhutaan $m\times n-$systeemistä, viitataan \emph{kerroinmatriisin} kokoon (liitännäismatriisissa on yksi sarake enemmän).

\vspace{1pt}a) \ Miten monta tukialkiota (tukisaraketta) voi
$4\times 6$-systeemillä korkeintaan olla?



% What is the largest possible number of pivots a $4\times 6$
%matrix can have? \ Why?

\vspace{1pt}

\vspace{1pt}

\vspace{1pt}

b) \ Miten monta tukialkiota (tukisaraketta) voi
$6\times 4$-systeemillä korkeintaan olla?
%b) What is the largest possible number of pivots a $6\times 4$ matrix can have? \ Why?

\vspace{1pt}

\vspace{1pt}

\vspace{1pt}

c) \ Kuinka paljon ratkaisuja on konsistentilla systeemillä,
jossa on 3 yhtälöä ja 4 tuntematonta?
%c) \ How many solutions does a consistent linear system of 3 equations and 4 unknowns have? Why?

\vspace{1pt}

\vspace{1pt}

\vspace{1pt}

\vspace{1pt}

d) \ Oletetaan, että $4\times 6-$systeemin kerroinmatriisilla
on 3 tukisaraketta. Kuinka monta tukisaraketta on liitännäismatriisilla, jos systeemi on epäkonsistentti?


%d) \ Suppose the coefficient matrix corresponding to a linear
%system is $4\times 6$ and has 3 pivot columns. \ How many pivot columns does
%the augmented matrix have if the linear system is inconsistent?
%\end{slide}
\end{document}



