\documentclass[a4]{seminar}
\usepackage[finnish]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,vmargin}
\usepackage{theorem}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{epsfig}
\usepackage{verbatim}
\usepackage{float}
%\usepackage{/home/apiola/tex/apropos}
\usepackage{apropos}

\def\Ln#1{\textit{Ln #1}}
\def\Log#1{\textit{Log #1}}
\def\Re {\textit{Re}}
\def\Im {\textit{Im}}
\def\Arg {\textit{Arg}}
\def\arg {\textit{arg}}


\def\b{\vec{b}} 
\def\c{\vec{c}} 
\def\bc{\vec{c}} 
\def\e{\vec{e}} 
\def\f{\vec{f}}
\def\g{\vec{g}} 
\def\h{\vec{h}} 
\def\l{\vec{l}}
\def\n{\vec{n}}
\def\p{\vec{p}} 
\def\q{\vec{q}} 
\def\r{\vec{r}}
\def\s{\vec{s}}
\def\t{\vec{t}}
\def\u{\vec{u}} 
\def\v{\vec{v}}
\def\w{\vec{w}} 
\def\x{\vec{x}}
\def\y{\vec{y}} 
\def\z{\vec{z}}
\def\bP{\vec {P}} 
\def\bQ{\vec {Q}}
\def\A{\mat{A}} 
\def\B{\mat{B}} 
\def\BB{\mat{B}} 
\def\BC{\mat{C}} 
\def\BD{\mat{D}} 
\def\BE{\mat {E}} 
\def\BF{\mat {F}} 
\def\G{\mat{G}} 
\def\H{\mat{H}} 
\def\BI{\mat{I}} 
\def\BJ{\mat {J}}
\def\J{\mat {J}}
\def\BP{\mat {P}} 
\def\BQ{\mat {Q}} 
\def\BR{\mat {R}}
\def\BS{\mat {S}} 
\def\BU{\mat {U}} 
\def\V{\mat {V}} 
\def\BY{\mat{Y}}
\def\O{\mat{O}}
\def\bbK{\mathbb{K}}
\def\whocares{\#}
\def\bphi{\vec{\phi}}
\def\bpsi{\vec{\psi}}
\def\BPhi{\vec{\Phi}}


\slidesmag{4}

\author{\large Heikki Apiola \\ \small\emph{heikki.apiola@hut.fi} \\}
\title{{\huge Mat-1.4334 peruskurssit KP3-II \\[1cm] 
L 1\\[1cm]}}
\date{\today}


\begin{document}
%\input{/home/apiola/tex/AmsLTXfiMacro.tex}

\begin{slide}

\begin{center}
\maketitle
\end{center}

\end{slide}
\begin{slide}

\begin{center}
\subsection*{Lineaarialgebraa}
\end{center}


\subsubsection*{1.1: Lineaarinen yhtälösysteemi}

%\vspace{1pt}
%\textbf{Lineaarinen yhtälösysteemi:}



\begin{equation}
\label{linequ:yleinen}
\begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1 \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2 \\
\vdots \\
a_{m 1}x_1 + a_{m 2}x_2 + \ldots + a_{m n}x_n = b_n
\end{cases}
\end{equation}



\vspace{1pt}


%\textbf{EXAMPLE:}
%\begin{center}
%\begin{tabular}{ccc}
%$4x_{1}-5x_{2}+2=x_{1}$ & \ \ and \ \  & $x_{2}=2(\sqrt{6}-x_{1})+x_{3}$ \\ 
%$\downarrow $ &  & $\downarrow $ \\ 
%rearranged &  & rearranged \\ 
%$\downarrow $ &  & $\downarrow $ \\ 
%$3x_{1}-5x_{2}=-2$ &  & $2x_{1}+x_{2}-x_{3}=2\sqrt{6}$ \\ 
%&  & 
%\end{tabular}

%\vspace{1pt}
%\end{center}

\textbf{Esimerkkejä epälineaarisista: }

\begin{center}
$4x_{1}-6x_{2}=x_{1}x_{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $ tai $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ x_{2}=2\sqrt{x_{1}}-7$

\vspace{1pt}
\end{center}

\vspace{1pt}

\textbf{Lineaarisen systeemin ratkaisu:}

%\includegraphics[height=3.6cm, width=3.6cm]{img/fig1_1.eps}

\begin{description}
\item Lukujono (vektori) $(s_{1},s_{2},...,s_{n})\in\R^n$, joka toteuttaa
yhtälösysteemin ~\ref{linequ:yleinen}, kun sijoitetaan $x_1=s_1, x_2=s_2,  \ldots , x_n=s_n .$
\end{description}

\newpage
%\vspace{1pt}

\textbf{Tyyppiesimerkit} $2 \times 2$ systeemeille

\begin{tabular}{lll}
$%
\begin{tabular}{lllll}
$x_{1}$ & $+$ & $x_{2}$ & $=$ & $10$ \\ 
$-x_{1}$ & $+$ & $x_{2}$ & $=$ & $0$%
\end{tabular}%
$ & $%
\begin{tabular}{lllll}
$x_{1}$ & $+$ & $x_{2}$ & $=$ & $3$ \\ 
$2x_{1}$ & $+$ & $2x_{2}$ & $=$ & $6$%
\end{tabular}%
$ & $%
\begin{tabular}{lllll}
$x_{1}$ & $-$ & $2x_{2}$ & $=$ & $-3$ \\ 
$2x_{1}$ & $-$ & $4x_{2}$ & $=$ & $8$%
\end{tabular}%
$ \\ 


\includegraphics[height=3.6cm, width=3.6cm]{img/kuva1.eps}
&
\includegraphics[height=3.6cm, width=3.6cm]{img/kuva3.eps}
&
\includegraphics[height=3.6cm, width=3.6cm]{img/kuva2.eps}

%\begin{center}
%\includegraphics[height=3.6cm, width=3.6cm]{img/kuva1_1a.ps}
%\includegraphics[height=3.6cm, width=3.6cm]{img/kpl1kuva1b.eps}
%\includegraphics[height=3.6cm, width=3.6cm]{img/kpl1kuva1c.eps}
%\end{center}


\\
\textbf{Yksi ratkaisu} & \textbf{Äärettömän monta} & \textbf{Ei ratkaisuja} 
\\
{\em konsistentti} & {\em konsistentti} & {\em epäkonsistentti}
\end{tabular}

\vspace{1pt}

\textbf{Perustotuus \ } Yleisellä lineaarisella $m\times n$ systeemillä
on vain nämä kolme mahdollisuutta.  Tämän selvitämme perusteellisesti
 lähiaikoina.


%\begin{description}
%\item (i) exactly one solution \textit{(consistent)} or
%\item (ii) infinitely many solutions \textit{(consistent)} or
%\item (iii) no solution \textit{(inconsistent)}.
%\end{description}

\vspace{1pt}\newpage

\textbf{ESIMERKKI: \ }
Kolme yhtälöä ja kolme tuntematonta. Kukin yhtälö määrää tason $3-$ulotteisessa
avaruudessa.

\begin{center}
\begin{tabular}{ll}
i) Tasot leikkaavat 1 pisteessä & ii) Tasot leikkaavat  pitkin suoraa  \\
\textit{(yksikäsitteinen ratkaisu)} & \ \textit{(ääretön määrä ratkaisuja)}\\ 

\vspace{1pt}
%\includegraphics[height=3.6cm, width=4.6cm]{img/kuva4.eps}
\includegraphics[height=3.6cm, width=4.6cm]{img/fig1_4.eps}
&
\includegraphics[height=3.6cm, width=4.6cm]{img/fig1_5.eps}
%\includegraphics[height=3.6cm, width=4.6cm]{img/kuva2.eps}\\
\end{tabular}
\end{center}

%\end{slide}
%\begin{slide}

\newpage

\begin{center}

\begin{tabular}{ll}
iii) Tasot yhtyvät & 
 iv)
 \ Tasoilla ei yhteisiä pisteitä
 \textit{(ei ratkaisuja)}
\\
%\includegraphics[height=3.6cm, width=4.6cm]{img/fig1_7.eps}
%\includegraphics[height=3.6cm, width=4.6cm]{img/kuva3.eps} &
&
\includegraphics[height=3.6cm, width=4.6cm]{img/fig1_6.eps}
%\includegraphics[height=3.6cm, width=4.6cm]{img/kuva4.eps}
\end{tabular}
\end{center}

Tapaukset i), ii) ja iii) ovat {\em konsistentteja}, 
iv) on {\em epäkonsistentti}.\\
\vspace{1pt}

Tapauksissa ii) ja iii) ratkaisujoukot ovat äärettömiä \\
edellisen "dimensio"\/ on $1$ ja jälkimmäisen $2$.

$$" \textit{dim}(ii) = 1, \ \ \textit{dim}(iii) = 2 \ \  "$$


\vspace{1pt}
\newpage






\textbf{Lineaarisen yhtälösysteemin Ratkaisujoukko:}

\begin{itemize}
\item[] 
\begin{description}
\item[] Kaikkien mahdollisten ratkaisujen muodostama joukko 

\end{description}
\end{itemize}

\vspace{1pt}

\textbf{Ekvivalentit systeemit: }

\begin{itemize}
\item[] 
\begin{description}
\item[] Lineeriset yhtälösysteemit ovat \textbf{ekvivalentit}, jos niillä
on samat ratkaisujoukot.
\end{description}
\end{itemize}

\vspace{1pt}

{\bf Yhtälösysteemin ratkaisustrategia:}\textbf{\ }

\begin{itemize}
\item[]
\begin{description}
\item \textit{Muokataan yhtälösysteemi ekvivalentiksi systeemiksi, joka on
helppo ratkaista}
\end{description}
\end{itemize}

\vspace{1pt}

\textbf{ESIMERKKI: }

\begin{center}

\begin{tabular}{cc}
\begin{tabular}{rrrrr}
$x_{1}$ & $-$ & $2x_{2}$ & $=$ & $-1$ \\ 
$-x_{1}$ & $+$ & $3x_{2}$ & $=$ & $3$%
\end{tabular}%
%&$\qquad \longrightarrow \qquad $%
& $Y_2 \leftarrow Y_1 + Y_2$ \\


\begin{tabular}{rrrrr}
$x_{1}$ & $-$ & $2x_{2}$ & $=$ & $-1$ \\ 
&  & $x_{2}$ & $=$ & $2$%
\end{tabular}%

& $Y_1\leftarrow Y_1+2\,Y_2$

\end{tabular} %cc
\end{center}

\vspace{1pt}\newpage
Viimeksi saatu yhtälö on muodossa, josta ratkaisut saadaan peräkkäisillä sijoituksilla alhaalta ylöspäin edeten (takaisinsijoitus, "back substitution").
Voidaan vaihtoehtoisesti suorittaa vielä yksi eliminaatioaskel alhaalta ylöspäin.


%\begin{tabular}{rrrrr}
%$x_{1}$ &  &  & $=$ & $3$ \\ 
%&  & $x_{2}$ & $=$ & $2$%
%\end{tabular}


%\end{slide}
%\begin{slide}

\begin{tabular}{lll}
\begin{tabular}{rrrrr}
$x_{1}$ & $-$ & $2x_{2}$ & $=$ & $-1$ \\ 
$-x_{1}$ & $+$ & $3x_{2}$ & $=$ & $3$%
\end{tabular}
& %%%$%
\begin{tabular}{rrrrr}
$x_{1}$ & $-$ & $2x_{2}$ & $=$ & $-1$ \\ 
&  & $x_{2}$ & $=$ & $2$%
\end{tabular}%
%$ & $%
&
\begin{tabular}{rrrrr}
$x_{1}$ &  &  & $=$ & $3$ \\ 
&  & $x_{2}$ & $=$ & $2$%
\end{tabular}%
%$%
\\
%\vspace{1pt}
\includegraphics[height=3.6cm, width=3.6cm]{img/kuva1_7.eps}
&
\includegraphics[height=3.6cm, width=3.6cm]{img/kuva1_8.eps}
&
\includegraphics[height=3.6cm, width=3.6cm]{img/kuva1_9.eps}

\end{tabular}
%\end{center}





%\end{document}
\qquad \newpage

\textbf{Matriisinotaatio}

%\end{document}
\begin{center}
\begin{tabular}{cc}

\begin{tabular}{rrrrr}
$x_{1}$ & $-$ & $2x_{2}$ & $=$ & $-1$ \\ 
$-x_{1}$ & $+$ & $3x_{2}$ & $=$ & $3$%
\end{tabular}%
 & $\left[ 
\begin{array}{rr}
1 & -2 \\ 
-1 & 3%
\end{array}%
\right] $ \\ 
& {\small (kerroinmatriisi)}%
\end{tabular}   %cc

%\end{document}
%%%%%%%%%%%% 1. syst. loppuu %%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{tabular}{cc}
%\begin{tabular}{cc}
\begin{tabular}{rrrrr}
$x_{1}$ & $-$ & $2x_{2}$ & $=$ & $-1$ \\ 
$-x_{1}$ & $+$ & $3x_{2}$ & $=$ & $3$%
\end{tabular}%
\  & $\left[ 
\begin{tabular}{ccc}
$1$ & $-2$ & $-1$ \\ 
$-1$ & $3$ & $3$%
\end{tabular}%
\ \right] $ \\ 
& $\text{{\small (liitännäismatriisi)}}$%
\end{tabular}% cc

%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 2. syst. loppu %%%

\vspace{2pt}
%$\longleftrightarrow $ & $%


%\end{document}
\begin{tabular}{cc}
%$
%\begin{array}{ll}
\begin{tabular}{rrrrr}
$x_{1}$ & $-$ & $2x_{2}$ & $=$ & $-1$ \\ 
&  & $x_{2}$ & $=$ & $2$%
\end{tabular}
& $\left[ 
\begin{tabular}{ccc}
$1$ & $-2$ & $-1$ \\ 
$0$ & $1$ & $2$%
\end{tabular}%
\ \right]$ 
%\end{array}%
%$ 

%$\downarrow $%
\end{tabular}%  cc  3. syst. loppuu
%$ \\ 



\vspace{1pt}

\hrule

\vspace{1pt}





\begin{tabular}{ll}
\begin{tabular}{rrrrr}
$x_{1}$ &  &  & $=$ & $3$ \\ 
&  & $x_{2}$ & $=$ & $2$%
\end{tabular}
& $\left[ 
\begin{tabular}{ccc}
$1$ & $0$ & $3$ \\ 
$0$ & $1$ & $2$%
\end{tabular}%
\ \right]$ 
\end{tabular}%

\end{center}

%\vspace{1pt}


\newpage

\textbf{Alkeisrivioperaatiot:}


1. \textit{(Rivien vaihto)} \ Vaihdetaan kaksi riviä keskenään : $\textrm{rivi}_i \leftrightarrow \textrm{rivi}_k$ 

2. \textit{(Skaalaus)} Rivin alkiot kerrotaan nollasta poikkeavalla vakiolla:
$$\textrm{rivi}_k \leftarrow c\, \textrm{rivi}_k, \ \ c\neq 0$$

3. \textit{(Lineaarikombinaatio)} Riviin lisätään toinen rivi kerrottuna nollasta poikkeavalla vakiolla:
$$\textrm{rivi}_k \leftarrow \textrm{rivi}_k + c \, \textrm{rivi}_i $$

\vspace{1pt}
\textbf{Huom!} Operaatioissa 2 ja 3 ainoastaan yksi rivi ($k$:s) muuttuu, muut
säilyvät ennallaan. (Operaatiossa 1 kaikki rivit säilyvät ennallaan, vain paikat vaihtuvat.) 

\vspace{1pt}

\textbf{Riviekvivalentit matriisit ja yhtälösysteemit: }
Matriisit $A$ ja $B$ ovat {\em riviekvivalentit}, jos ne voidaan muuntaa
toisikseen alkeisrivioperaatioilla. Yhtälösysteemit ovat riviekvivalentit,
jos niiden liitännäismatriisit ovat sitä.


%\vspace{1pt}

\newpage
%\vspace{1pt}

\subsection*{Riviekvivalentit ovat ekvivalentit:}

\textbf{Lause}
Riviekvivalentit yhtälösysteemit ovat ekvivalentit, ts. niillä on samat ratkaisujoukot.

\textbf{Todistus} 
%Systeemi kirjoitetaan muotoon 
Rivien vaihto ja skaalaus kertoimella $c\neq 0$ 
säilyttävät ratkaisut.
\begin{center}
\begin{tabular}{ccc}
$$ \begin{cases}
L_1 \x = b_1\\
L_2 \x = b_2\\
\ldots\\
L_m \x = b_m\\
\end{cases}$$
&
$\Leftrightarrow$
&
$$ \begin{cases}
L_1 \x = b_1\\
c\,L_1 \x + L_2 \x = c\,b_1 + b_2\\
\ldots\\
L_m \x = b_m\\
\end{cases}$$
\end{tabular}
\end{center}

\vspace{5pt}
\textbf{Vasen $\implies$ oikea:} Kertomalla $c$:llä ja laskemalla yhteen yhtälöt $1$ ja $2$. \\
\textbf{Oikea $\implies$ vasen:} Kertomalla eka $c:$llä ja 
vähentämällä toisesta.



%\textbf{Fact about Row Equivalence: }If the augmented matrices of two linear
%systems are row equivalent, then the two systems have the same solution set.

\vspace{10pt}

\newpage

\textbf{ESIMERKKI:}

\begin{center}
\begin{tabular}{cc}
$%
\begin{tabular}{rrrrrrr}
$x_{1}$ & $-$ & $2x_{2}$ & $+$ & $x_{3}$ & $=$ & $0$ \\ 
&  & $2x_{2}$ & $-$ & $8x_{3}$ & $=$ & $8$ \\ 
$-4x_{1}$ & $+$ & $5x_{2}$ & $+$ & $9x_{3}$ & $=$ & $-9$%
\end{tabular}%
\ $ & $\left[ 
\begin{array}{rrrr}
1 & -2 & 1 & 0 \\ 
0 & 2 & -8 & 8 \\ 
-4 & 5 & 9 & -9%
\end{array}%
\right] $%
\end{tabular}

\begin{tabular}{cc}
$%
\begin{tabular}{rrrrrrr}
$x_{1}$ & $-$ & $2x_{2}$ & $+$ & $x_{3}$ & $=$ & $0$ \\ 
&  & $2x_{2}$ & $-$ & $8x_{3}$ & $=$ & $8$ \\ 
& $-$ & $3x_{2}$ & $+$ & $13x_{3}$ & $=$ & $-9$%
\end{tabular}%
\ $ & $\left[ 
\begin{array}{rrrr}
1 & -2 & 1 & 0 \\ 
0 & 2 & -8 & 8 \\ 
0 & -3 & 13 & -9%
\end{array}%
\right] $%
\end{tabular}

\begin{tabular}{cc}
$%
\begin{tabular}{rrrrrrr}
$x_{1}$ & $-$ & $2x_{2}$ & $+$ & $x_{3}$ & $=$ & $0$ \\ 
&  & $x_{2}$ & $-$ & $4x_{3}$ & $=$ & $4$ \\ 
& $-$ & $3x_{2}$ & $+$ & $13x_{3}$ & $=$ & $-9$%
\end{tabular}%
\ $ & $\left[ 
\begin{array}{rrrr}
1 & -2 & 1 & 0 \\ 
0 & 1 & -4 & 4 \\ 
0 & -3 & 13 & -9%
\end{array}%
\right] $%
\end{tabular}

\vspace{1pt}

\begin{tabular}{cc}
$%
\begin{tabular}{rrrrrrr}
$x_{1}$ & $-$ & $2x_{2}$ & $+$ & $x_{3}$ & $=$ & $0$ \\ 
&  & $x_{2}$ & $-$ & $4x_{3}$ & $=$ & $4$ \\ 
&  &  &  & $x_{3}$ & $=$ & $3$%
\end{tabular}%
$ & $\left[ 
\begin{array}{rrrr}
1 & -2 & 1 & 0 \\ 
0 & 1 & -4 & 4 \\ 
0 & 0 & 1 & 3%
\end{array}%
\right] $%
\end{tabular}
\end{center}

\vspace{1pt}

\newpage

\textbf{Takaisinsijoitus}

Edetään alhaalta ylös:
%\begin{center}
$$
\begin{cases}
x_3 = 3 \\
x_2=4x_3+4 = 16 \\
x_1= 2\, x_2 -x_3 = 32 - 3 = 29
\end{cases}
$$
Ratkaisu on siis $(29, 16, 3)$ ja se on yksikäsitteinen. (Miksi?)

%\end{center}

Takaisinsijoituksen sijasta voitaisiin viimeksi saadusta porrasmuodosta
jatkaa eliminointia alhaalta ylös ja oikealta vasemmalle, päämääränä
nollata myös jokaisen tukisarakkeen yläosa. Jatko menisi tähän tapaan:

\newpage



\textbf{Porrasmuodosta redusoituun porrasmuotoon, ref $\rightarrow$ rref }

\vspace{1pt}

\vspace{10pt}

\vspace{1pt}


\begin{center}
$%
\begin{array}{ll}
\begin{tabular}{rrrrrrr}
$x_{1}$ & $-$ & $2x_{2}$ &  &  & $=$ & $-3$ \\ 
&  & $x_{2}$ &  &  & $=$ & $16$ \\ 
&  &  &  & $x_{3}$ & $=$ & $3$%
\end{tabular}
& 
\begin{array}{l}
\left[ 
\begin{array}{rrrr}
1 & -2 & 0 & -3 \\ 
0 & 1 & 0 & 16 \\ 
0 & 0 & 1 & 3%
\end{array}%
\right]%
\end{array}%
\end{array}%
%$

\vspace{5pt}


$%
\begin{array}{ll}
\begin{tabular}{rrrrrrr}
$x_{1}$ &  &  &  &  & $=$ & $29$ \\ 
&  & $x_{2}$ &  &  & $=$ & $16$ \\ 
&  &  &  & $x_{3}$ & $=$ & $3$%
\end{tabular}
& 
\begin{array}{l}
\left[ 
\begin{array}{rrrr}
1 & 0 & 0 & 29 \\ 
0 & 1 & 0 & 16 \\ 
0 & 0 & 1 & 3%
\end{array}%
\right]%
\end{array}%
\end{array}%
$
\end{center}


%\vspace{1pt}\textbf{Solution: }$(29,16,3)$

\vspace{1pt}

%\textbf{Check:} Is $(29,16,3)$ a solution of the\textbf{\ \textit{original} }%
%system?

%\begin{center}
$%
%\begin{tabular}{rrrrrrr}
%$x_{1}$ & $-$ & $2x_{2}$ & $+$ & $x_{3}$ & $=$ & $0$ \\ 
%&  & $2x_{2}$ & $-$ & $8x_{3}$ & $=$ & $8$ \\ 
%$-4x_{1}$ & $+$ & $5x_{2}$ & $+$ & $9x_{3}$ & $=$ & $-9$%
%\end{tabular}%
%\ $
%\end{center}

%\vspace{1pt}

%\begin{center}
%$(29)-2(16)+$ $\ \ \ \ \ 3$ $\ \ \ \ \ \ \ =29-32+3$ $\ $\ $\ \ \ \ \ \ =$ $%\ \ 0$
%\ \ \ \ \ \ \ $\ \ \ \ 2(16)-8(3)$ $\ \ \ \ \ \ =$ \ $32-24$ $\ \ \ \ \ \ \ $%\ $\ \ \ \ \ \ =$ $\ \ 8$

%$-4(29)+5(16)+9(3)$ $\ \ \ =-116+80+27$ $\ \ \ =-9$
%\end{center}

\newpage

%\textbf{Two Fundamental Questions (Existence and Uniqueness)}
\textbf{Peruskysymykset -- olemassaolo ja yksikäsitteisyys}

\vspace{1pt}

1) \ Onko systeemi konsistentti, ts. onko ratkaisuja?
%1) \ Is the system consistent; (i.e. does a solution\textbf{\ exist}?)

\vspace{1pt}


2) \ Konsistentin systeemin ratkaisujen lukumäärä? Milloin yksikäsitteinen ratkaisu?
%2) \ If a solution exists, is it \textbf{unique}? (i.e. is there one \& only one solution?)

\vspace{1pt}

\vspace{1pt}

\vspace{1pt}

\textbf{ESIMERKKI: } Onko systeemi konsistentti?

\begin{center}
$%
\begin{tabular}{rrrrrrr}
$x_{1}$ & $-$ & $2x_{2}$ & $+$ & $x_{3}$ & $=$ & $0$ \\ 
&  & $2x_{2}$ & $-$ & $8x_{3}$ & $=$ & $8$ \\ 
$-4x_{1}$ & $+$ & $5x_{2}$ & $+$ & $9x_{3}$ & $=$ & $-9$%
\end{tabular}%
\ $
\end{center}

\vspace{1pt}

\textbf{\ }
Tälle laskettiin edellä porrasmuoto (yläkolmiomuoto) (ref):

\vspace{1pt}

\begin{center}
$%
\begin{array}{ll}
\begin{tabular}{rrrrrrr}
$x_{1}$ & $-$ & $2x_{2}$ & $+$ & $x_{3}$ & $=$ & $0$ \\ 
&  & $x_{2}$ & $-$ & $4x_{3}$ & $=$ & $4$ \\ 
&  &  &  & $x_{3}$ & $=$ & $3$%
\end{tabular}
& \left[ 
\begin{array}{rrrr}
1 & -2 & 1 & 0 \\ 
0 & 1 & -4 & 4 \\ 
0 & 0 & 1 & 3%
\end{array}%
\right]%
\end{array}%
$

\vspace{1pt}
\end{center}

Tästä näkyy, että systeemi on konsistentti ja ratkaisu on yksikäsitteinen. EIKÖ VAIN!

%This is sufficient to see that the system is consistent and unique. \ Why?

\newpage

\vspace{1pt}

\textbf{ESIMERKKI: \ } Miten on tämän systeemin ratkaisujen laita?

\vspace{1pt}

\begin{center}
$ 
\begin{array}{ll}
\begin{tabular}{l}
{\Large \ }$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 3x_{2}-${\Large \ }$\ \ 6x_{3}=${\Large \ }%
$\ \ \ 8$ \\ 
{\Large \ }$\ \ \ x_{1}-2x_{2}+${\Large \ }$\ \ 3x_{3}=${\Large \ }$-1$ \\ 
{\Large \ }$\ \ \ 5x_{1}-7x_{2}+9x_{3}=${\Large \ }$\ \ \ 0$%
\end{tabular}
& \left[ 
\begin{array}{rrrr}
0 & 3 & -6 & 8 \\ 
1 & -2 & 3 & -1 \\ 
5 & -7 & 9 & 0%
\end{array}
\right]%
\end{array}
$
\end{center}

\vspace{1pt}

\textbf{Solution: } Rivioperaatioilla:

\vspace{1pt}

\begin{center}
$\left[ 
\begin{array}{rrrr}
0 & 3 & -6 & 8 \\ 
1 & -2 & 3 & -1 \\ 
5 & -7 & 9 & 0%
\end{array}
\right] \rightarrow \left[ 
\begin{array}{rrrr}
1 & -2 & 3 & -1 \\ 
0 & 3 & -6 & 8 \\ 
0 & 3 & -6 & 5%
\end{array}
\right] \rightarrow \left[ 
\begin{array}{rrrr}
1 & -2 & 3 & -1 \\ 
0 & 3 & -6 & 8 \\ 
0 & 0 & 0 & -3%
\end{array}
\right] $

\vspace{1pt}
\end{center}

Palataan havainnollisuuden vuoksi yhtälömuotoon:
%Equation notation of triangular form:

\begin{center}
\begin{tabular}{rrrrrrr}
$x_{1}$ & $-$ & $2x_{2}$ & $+$ & $3x_{3}$ & $=$ & $-1$ \\ 
&  & $3x_{2}$ & $-$ & $6x_{3}$ & $=$ & $8$ \\ 
&  &  &  & $0x_{3}$ & $=$ & $-3$%
\end{tabular}
$%
\begin{array}{r}
\\ 
\\ 
\leftarrow \text{\textit{Ei toteudu sitten millään $x_3$:lla}}%
\end{array}%
$\ 

\vspace{1pt}

\textbf{Annettu systeemi on epäkonsistentti (ts. ei ratkaisuja).}
%The original system is inconsistent!

\vspace{1pt}
\end{center}

%\vspace{1pt}

%\vspace{1pt}

%\vspace{1pt}

\vfill\eject

\textbf{ESIMERKKI: \ }
Millä $h:$n arvoilla seuraava systeemi on konsistentti?
%For what values of\textbf{\ }$h$ will the following system be consistent?

\begin{center}
$%
\begin{tabular}{rrrrr}
$3x_{1}$ & $-$ & $9x_{2}$ & $=$ & $4$ \\ 
$-2x_{1}$ & $+$ & $6x_{2}$ & $=$ & $h$%
\end{tabular}%
$
\end{center}

\vspace{1pt}

\textbf{Ratkaisu: } Porrasmuotoon:

\vspace{1pt}

\begin{center}
$\left[ 
\begin{array}{rrr}
3 & -9 & 4 \\ 
-2 & 6 & h%
\end{array}
\right] \rightarrow \left[ 
\begin{array}{rrr}
1 & -3 & \frac{4}{3} \\ 
-2 & 6 & h%
\end{array}
\right] \rightarrow \left[ 
\begin{array}{rrr}
1 & -3 & \frac{4}{3} \\ 
0 & 0 & h+\frac{8}{3}%
\end{array}
\right] $

\vspace{1pt}
\end{center}

%The second equation is 
Toinen yhtälö;
$0x_{1}+0x_{2}=h+\frac{8}{3}.$ 
%\ System is consistent
Tämä toteutuu vain, jos $h+\frac{8}{3}=0$ eli $h=\frac{-8}{3}.$
\vspace{1pt}

Ensimmäinen yhtälö on $x_1 - 3\,x_2 = \frac{4}{3}.$ Ratkaisuja ääretön
määrä. 


Johtopäätös: Systeemi on konsistentti jos ja vain jos 
$h=\frac{-8}{3}.\\$ Tällöin $\infty$ määrä ratkaisuja.

%only if $h+\frac{8}{3}=0$ or $h=\frac{-8}{3}.$



\end{slide}


\end{document}


\begin{slide}

\begin{center}
\subsection*{TAUSTAA}
\end{center}

\begin{itemize}

\item Ranskalainen matemaatikko ja fyysikko \textsc{J. Fourier} päätyi
  1800-luvulla tutkiessaan lämmön johtumista esittämään funktioille
  trigonometrisiä sarjakehitelmiä, jotka nykyisin tunnemme
  \emph{Fourier-sarjojen} nimellä
\item Sittemmin näistä pioneeritöistä on kasvanut kokonainen
  matematiikan osa-alue -- \emph{harmoninen analyysi}
\item Käytännön sovelluksia on rajaton määrä: matkapuhelimet,
  CD-soittimet, kuvankäsittely,\ldots
\item Nykyaikaisessa signaalinkäsittelyssä (ja muuallakin) erityisesti
  nk. \emph{nopealla Fourier-muunnoksella} (FFT) on keskeinen rooli

\end{itemize}

\end{slide}
