\documentclass[a4]{seminar}
%\documentclass[finnish,11pt]{article}  % prujustyle
\usepackage[finnish]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,vmargin}
\usepackage{theorem}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{epsfig}
\usepackage{verbatim}
\usepackage{float}
%\usepackage{/home/apiola/tex/apropos}
\usepackage{apropos}

\newtheorem{lause}{Lause}[section]
\newtheorem{seuraus}[lause]{Seuraus}
\newtheorem{lemma}[lause]{Lemma}
\newtheorem{prop}[lause]{Propositio}
\newtheorem{ax}{Axiom}
\newtheorem{vaite}[lause]{V\"aite} 
%\renewcommand{\proofname}{Tod}

%\theoremstyle{definition}
\newtheorem{maarit}{M\"a\"aritelm\"a}[section]
\newtheorem{esim}{Esimerkki}[section] 
\newtheorem{huom}{Huomautus}[section] 
\newtheorem{teht}{Teht\"av\"a}[section] 

%\theoremstyle{remark}
\newtheorem{notation}{Notation}
\renewcommand{\thenotation}{}  % to make the notation environment unnumbered
\renewcommand{\newline}{\null\hfill\break} 

\numberwithin{equation}{section}

\newcommand{\thmref}[1]{Lause~\ref{#1}}
\newcommand{\secref}[1]{\S\ref{#1}}
\newcommand{\lemref}[1]{Lemma~\ref{#1}}


\def\Ln#1{\textit{Ln #1}}
\def\Log#1{\textit{Log #1}}
\def\Re {\textit{Re}}
\def\Im {\textit{Im}}
\def\Arg {\textit{Arg}}
\def\arg {\textit{arg}}


\def\b{\mathbf{b}} 
\def\c{\mathbf{c}} 
\def\bc{\mathbf{c}} 
\def\e{\mathbf{e}} 
\def\f{\mathbf{f}}
\def\g{\mathbf{g}} 
\def\h{\mathbf{h}} 
\def\l{\mathbf{l}}
\def\n{\mathbf{n}}
\def\p{\mathbf{p}} 
\def\q{\mathbf{q}} 
\def\r{\mathbf{r}}
\def\s{\mathbf{s}}
\def\t{\mathbf{t}}
\def\u{\mathbf{u}} 
\def\v{\mathbf{v}}
\def\w{\mathbf{w}} 
\def\x{\mathbf{x}}
\def\y{\mathbf{y}} 
\def\z{\mathbf{z}}
\def\0{\mathbf{0}}
\def\bP{\mathbf {P}} 
\def\bQ{\mathbf {Q}}
\def\A{\mat{A}} 
\def\B{\mat{B}} 
\def\BB{\mat{B}} 
\def\BC{\mat{C}} 
\def\BD{\mat{D}} 
\def\BE{\mat {E}} 
\def\BF{\mat {F}} 
\def\G{\mat{G}} 
\def\H{\mat{H}} 
\def\BI{\mat{I}} 
\def\BJ{\mat {J}}
\def\J{\mat {J}}
\def\BP{\mat {P}} 
\def\BQ{\mat {Q}} 
\def\BR{\mat {R}}
\def\BS{\mat {S}} 
\def\BU{\mat {U}} 
\def\V{\mat {V}} 
\def\BY{\mat{Y}}
\def\O{\mat{O}}
\def\bbK{\mathbb{K}}
\def\whocares{\#}
\def\bphi{\vec{\phi}}
\def\bpsi{\vec{\psi}}
\def\BPhi{\vec{\Phi}}



\slidesmag{3}

%\author{\large Heikki Apiola \\ \small\emph{heikki.apiola@hut.fi} \\}
%\author{\large Heikki Apiola \\ \small\emph{heikki.apiola@hut.fi} \\}
%\title{{\huge Mat-1.4334 peruskurssit KP3-II \\[1cm] 
%L 6\\[1cm]}}
%\date{\today}


\begin{document}
%



\begin{slide}
{\small L 9, to 23.11.06}

\section{Johdantoesimerkki}

\textbf{Seostehtävä:}\\ 
Säiliö A: alkuhetkellä $100 l$ vettä.\\
Säiliö B: alkuhetkellä $100 l$ vettä, johon sekoitettu 1.5 kg suolaa .\\
Täydellinen sekoitus. Määritä suolamäärät $y_1(t)$ ja $y_2(t)$ säiliöissä
A ja B hetkellä $t$. \\


%{\small
\begin{verbatim}                    
            |            |         |           |
            |            |_________|           |
            |             <--2 l/min           |
            |            -----------           |
            |    A       |         |    B      |
            |            |---------|           |
            |            2 l/min -->           |
            |            |---------|           |
            |____________|         |___________|
\end{verbatim}
%}
\newpage

\textbf{Ratkaisu}:\\
Suolapitoisuudet säiliöissä hetkellä $t$: $\frac{y_1(t)}{100}$ kg/l ja $\frac{y_2(t)}{100}$ kg/l.\\
Suolamäärän muutosnopeus säiliössä $=$ (sisäänvirtaus) $-$ (ulosvirtaus).

$$\begin{cases}
 y_1'(t)=2 \frac{y_2(t)}{100} - 2 \frac{y_1(t)}{100} = -0.02\, y_1(t) + 0.02\,y_2(t)\\
 y_2'(t)=2 \frac{y_1(t)}{100} - 2 \frac{y_2(t)}{100} = 0.02 y_1(t) - 0.02\,y_2(t)
\end{cases}$$

Matriisimuodossa: $\y' = A \, \y(t),$ missä $A=
 \left[ \begin {array}{cc} - 0.02& 0.02\\\noalign{\medskip} 0.02&-
 0.02\end {array} \right] $ ja 
$\y(t)=\left[ \begin {array}{c} {\it y1} \left( t \right) \\\noalign{\medskip}{\it y2} \left( t \right) \end {array} \right] $

Yrite: $\y(t)=e^{\lambda t}\x,$ missä $\x$ on vakiovektori. (Muista 2. kertaluvun vakiokert. diffyhtälöitä: Sijoitettiin yrite: $y=C\,e^{\lambda t}$ ja pyrittiin määräämään parametri $\lambda$.)
Nyt on määrättäviä parametreja $\lambda$:n lisäksi vektorin $\x$ koordinaatit
$x_1,\ \ x_2$.


Sijoitetaan yhtälöön: $\y(t)$ ja $\y'(t)=\lambda\,e^{\lambda t} \x$
$\implies$


$$\lambda \, e^{\lambda t} \x = e^{\lambda\, t} A\,x \ \ \forall t .$$



Tämä toteutuu $\iff$ $A\,\x = \lambda\, \x.$

Siispä johduimme ominaisarvotehtävään.\\ 
Muotoa 
$$ \y(t)=C_1 \, e^{\lambda_1 t} \x_1 + C_2 \, e^{\lambda_2 t} \x_2$$ 
olevat vektorifunktiot ovat ratkaisuja, kun
$\lambda_j$ on ominaisarvo ja $\x_j$ vastaava ominaisvektori, $j=1,2.$

Lasketaan (luennolla tarkemmin) : $\lambda_1=0, \ \ \lambda_2=-0.04 .$

Ominaisvektorit: $\x_1 = \left[ \begin {array}{c} 1\\\noalign{\medskip}1\end {array} \right],$ \qquad 
$\x_2 = \left[ \begin {array}{c} 1\\\noalign{\medskip}-1\end {array} \right].$ 

\textbf{Alkuehdot:} 
$\left[ \begin {array}{c} 0\\\noalign{\medskip}1.5\end {array} \right] = 
\y(0)= C_1\,\x_1 + C_2\, \x_2 = 
\left[ \begin {array}{cc} 1&1\\\noalign{\medskip}1&-1\end {array} \right] 
 \left[ \begin {array}{c} {\it C_1}\\\noalign{\medskip}{\it C_2}
\end {array} \right] 
$

Saadaan heti: $C_1 = 0.75,\  \ C_2 = -0.75 .$

Ratkaisu: $\y(t)=0.75 \left[ \begin {array}{c} 1\\\noalign{\medskip}1\end {array} \right] - 0.75 e^{-0.04 t}\left[ \begin {array}{c} 1\\\noalign{\medskip}-1\end {array} \right] $
%\end{document}
\newpage

Koordinaattifunktiomuodossa:

\begin{tabular}{cc}
\begin{tabular}{c}
$\begin{cases}
y_1(t)=0.75(1-e^{-0.04 t})\\
y_2(t)=0.75(1+e^{-0.04 t})
\end{cases} $
\end{tabular}

&

\begin{tabular}{c}
\includegraphics[height=6cm, width=6cm]{img/suola.eps}\\
\end{tabular}
\end{tabular}
%\end{document}

Onko tämä ratkaisutekniikka yleispätevä? Sitäpä nyt selvittelemään!


\section{Vektori/matriisifunktioita, LRT/LRV}


\subsubsection*{Matriisi- ja vektorifunktioita} 

Reaalimuuttujan $t$ vektoriarvoinen funktio $t\mapsto \v(t)$.\\
Reaalimuuttujan $t$ matriisiarvoinen funktio $t\mapsto A(t)$.\\
(Edellinen on erikoistapaus jälkimmäisestä.)

Derivaatta ja integraali ym. tarkoittavat \emph{alkioittaisia} operaatioita.

\begin{esim}
$
\x \left( t \right) = \left[ \begin {array}{c} t\\\noalign{\medskip}{t}
^{2}\\\noalign{\medskip}{e^{-t}}\end {array} \right]
 \ \
\x'(t)=
 \left[ \begin {array}{c} 1\\\noalign{\medskip}2\,t
\\\noalign{\medskip}-{e^{-t}}\end {array} \right]$


$$
A(t)=\left[ \begin {array}{cc} \cos \left( t \right) &0
\\\noalign{\medskip}1&-\sin \left( t \right) \end {array} \right]
,\ \
A'(t)=
\left[ \begin {array}{cc} -\sin \left( t \right) &0
\\\noalign{\medskip}0&-\cos \left( t \right) \end {array} \right]
$$
\end{esim}

\begin{lause}
Summan ja tulon derivoimiskaavat pätevät:
$$\frac{d}{dt}(A(t)+B(t))=A'(t)+B'(t),\ \ \frac{d}{dt}(A(t)\,B(t))=
A'(t)\,B(t) + A(t)\, B'(t). $$

\textbf{Tod:}
Seuraavat suoraan vastaavista skalaarifunktioiden kaavoista.
Katsotaan kuitenkin jälkimmäinen: Olkoon $C(t)=A(t)\, B(t)$

$$c_{ij}(t)=(A(t)\,B(t))_{ij} = \sum_k a_{ik}(t)\,b_{kj}(t).$$

Sovelletaan summan dervoimiskaavaa ja kussakin yhteenlaskettavassa
tulon kaavaa. Siispä
$c'_{ij}(t)= \_\_\_ $
\end{lause}
\hfill\fbox{}

\vfill\eject

\textbf{Huom!} Vaikka matriisit olisivat neliömatriiseja (siis kertomiskelpoisia myös toisinpäin), \textbf{ei saa vaihtaa} tulontekijöiden järjestystä!

\subsubsection*{Funktioiden LRT/LRV}

Jos on opiskeltu abstraktia lineaarialgebraa, ei näitä tarvitse
erikseen määritellä. Meillä ei näin tehty, joten 

\begin{maarit}
Vektorifunktiot $\v_1,\ldots,\v_n$ ovat LRT välillä $I=(a,b)$, jos 
$c_1\,\v_1(t) + \ldots + c_n\,\v_n(t)=0 \ \ \forall t\in I \ \ \implies c_1 = \ldots = c_n=0.$
\end{maarit}

(Tämä on sopusoinnussa yleisen LRT- määritelmän kanssa, koska kaksi 
funktiota ovat samoja määrittelyvälillään $I,$ jos ne yhtyvät kaikissa pisteissä $t\in I.$)

\begin{lemma}[LRT-lemma 1]
Olkoot vektorifunktiot muotoa $\x_j(t)=f_j(t)\,\v_j \ \ $, missä
$f_j$:t skalaarifunktioita ja $\v_j:$t vakiovektoreita.\\ Jos kullakin $f_j:$llä on vain äärellinen
määrä nollakohtia välillä $I$, niin funktiot $\x_1(t),\ldots,
\x_n(t)$ ovat LRT, mikäli vakiovektorit $\v_1,\ldots,\v_n$ ovat LRT.

\textbf{Tod:} Koska väli $I$ on ääretön ja nollakohtia on yhteensä vain
äärellinen määrä, voidaan valita (jopa äärettömällä valinnanvapaudella)
piste $t_0\in I,$ jossa $f_j(t_0)\neq 0 \ \ \forall j=1\ldots n.$
Jos nyt 
$$c_1\,f_1(t)\v_1 + \ldots + c_n\,f_n(t)\v_n=0 \ \ \forall t\in I,$$ 
niin erityisesti
$$c_1\,f_1(t_0)\,\v_1 + \ldots + c_n\,f_n(t_0)\,\v_n=0$$

Koska $\v_j:$t LRT ja jokainen $f_j(t_0)\neq  0,$ on oltava
$c_1 = \ldots = c_n = 0.$
\hfill\fbox{}
\end{lemma}

\textbf{Huom:} Tätä lemmaa sovelletaan usein tilanteessa, jossa 
$f_j(t)\neq 0 \ \ \forall t \in I.$

\begin{lemma}[LRT-lemma 2]
Vektorifunktiot $\x_1(t),\ldots,\x_n(t)$ ovat LRT välillä $I$, jos
vektorit $\x_1(t_0),\ldots,\x_n(t_0)$ ovat LRT vektoreita jossain
välin pisteessä $\t_0\in I.$

\textbf{Tod:} Tämä on ihan oikeasti triviaali: \\
Jos $c_1\,\x_1(t) +\ldots + c_n\,\x_n(t)=0 \ \ \forall t\in I,$
niin tokihan tuo yhtälö pätee erityisesti, kun sijoitetaan $t=t_0.$
Siispä oletuksen mukaan $c_1 = \ldots c_n = 0.$ \hfill\fbox{}
\end{lemma}

\newpage

\begin{huom}
Näillä pärjätään oikein hyvin. Emme tarvitse misään käsitettä 
\emph{Wronskin determinantti}, jota kirjallisuudessa tällä kohdalla
kovin innokkaasti tarjoillaan. Toki siihen vetoaminen ei ole kiellettyä.\\
Tavallisesti jälkimmäisessä muodossa otetaan $t_0 = 0,$ joka tulee luontevasti
käyttöön, kun käytetään alkuehtoja. (Jos nollassa lasketut vektorit eivät olisi LRT, ei alkuehtoja voitaisi aina toteuttaa.)
\end{huom}

\newpage

\section{Perusteoriaa}
Kts. KRE 3.2. s. 159 alk.

Diffyhtälösysteemi:

$$\begin{cases}
y_1'=f_1(t,y_1,\ldots,y_n)\\
y_2'=f_2(t,y_1,\ldots,y_n)\\
\vdots \\
y_n'=f_n(t,y_1,\ldots,y_n)
\end{cases}$$

Vektorimuodossa: $\y' = \f(t,\y).$

Alkuarvoprobleema: Diffyhtälö ja ehdot: $\y(t_0)=\v$. (annettu vektori)

\textbf{Lineaarinen systeemi: }

%\begin{center}
 $  \y' = A(t)\, \y + \g(t)$  \qquad (EHY) \qquad (epähomog.) \\
 $ \y' = A(t)\, \y $  \qquad \qquad \quad (HY) \qquad (homog.)  \\
%\end{center}

Ratkaisun olemassaololause yleisille on luonteeltaan lokaali.
Tässä otetaan vain lineaaristen systeemien lause, joka on muotoilultaan
yksinkertainen ja johtopäätökseltään globaali, ts. johtopäätös pätee
samalla (isolla) välillä kuin oletuskin.


\begin{lause}\label{ole1}
Jos $a_{ij}(t)-$ funktiot ja $\g(t)$ ovat jatkuvia välillä $I = (a,b)$, niin
lineaarisen systeemin alkuarvotehtävällä  
$$\y' = A(t)\, \y + \g(t),\ \ \y(t_0)=\c, \ \ \c \ \ 
\text{on annettu vektori}$$ 
on yksikäsitteinen ratkaisu koko välillä $I$.

\end{lause}

\begin{lause}\label{superpositio}
Jos funktiot $\y_1(t)$ ja $\y_2(t)$ toteuttavat (HY):n, niin niiden lineaarikombinaatio toteuttaa myös, ts. $\y(t) = c_1\, \y_1(t) + c_2\, \y_2(t)$
toteuttaa myös.
(LA:n kielellä: ratkaisujoukko on aliavaruus)

\textbf{Tod.}
Olkoot $\y_1$ ja $\y_2$ (HY):n ratkaisuja. 
%$\_\_\_$
$$\y'(t)%\underbrace{=}_{\text{Der. lin.}} 
= c_1\, \y_1'(t) + c_2\, \y_2'(t) 
%\underbrace{=}_{\y_1 \text{ja} \y_2 \text{tot. yht.}}
=
c_1\,A\,y_1(t) + c_2\, A\,\y_2(t) = A ( c\,y_1(t) + c_2\, \y_2(t)) = A\,\y(t). $$

Siinäpä se. \hfill\fbox{}
\vspace{1pt}

\vspace{1cm}

\end{lause}

\newpage

\textbf{Kaiken perusta on tämä:}

\begin{lause}\label{yleinenratkaisu}
Jos vektorifunktiot $\y_1(t), \ldots, \y_n(t)$
ovat (HY):n LRT ratkaisuja, niin jokainen ratkaisu $\y(t)$
voidaan kirjoittaa lineaarikombinaationa:
$$\y(t) = c_1\, \y_1(t)+ \ldots + c_n\, \y_n(t)$$
(LA:n kielellä: ratkaisuavaruuden dimensio $= n$)

\textbf{Tod:} Saadaan olemassaolo-ja yksikäsitteisyyslauseesta
~\ref{ole1}. % $\exists_1$
Todistus on oikein nautittava, mutta jätämme sen kuitenkin tällä
kertaa. Periaate ... (täydennän kun/jos ehdin) \hfill\fbox{}
%$\_\_\_$


\end{lause}

\textbf{(HY):n yleinen ratkaisu}:
 
Ratkaisuparvea $\y_h(t) = c_1\, \y_1(t)+ \ldots + c_n\, \y_n(t)$ sanotaan
(HY):n yleiseksi ratkaisuksi, se siis sisältää kaikki (HY):n ratkaisut.


\textbf{Perusmatriisi, Wronskin determinantti:}

$$Y(t) = \lbrack \y_1(t) \ \ \y_2(t) \ \ \ldots \ \ \y_n(t)\rbrack,$$
missä $\y_j(t):$t LRT.

$$W(t)=\text{det}(Y(t)),$$

myös vaikka ratkaisut eivät olisi LRT. Jos $W(t)\neq 0,$ niin LRT ja siis
perusmatriisi. Kuten sanottu, pärjäämme oikein hyvin LRT-lemmoilla tarvitsematta edes tuntea käsitettä "Wronski". Toisaalta sitä saa toki käyttää.
Siihen liittyvä "ihme" on, että $W(t)=0 \ \  \forall t\in I \iff 
W(t)=0$ jollain $t\in I$.

\section{Vakiokertoimiset homogeeniyhtälöt, faasitaso}

$$\y' = A\,\y \qquad (HY)$$

Aivan kuin edellä johdantoesimerkissä, sijoitetaan yrite $\y=e^{\lambda t}\x$
$\implies$  $\lambda e^{\lambda t}\x = e^{\lambda t}\, A\,\x \ \ 
\forall t\in I .$
%$\_\_\_$

Johdutaan ominaisarvotehtävään: $A \x = \lambda\, \x.$ Sen ratkaisuina
saatavien $(\x_j,\lambda_j)$ avulla saadaan ratkaisut

$\y(t)=e^{\lambda_j t}\x_j.$




Kaikki on helppoa, jos on $n$ kpl. LRT ominaisvektoreita.\\ Tällöin
LRT-lemma (kumpi vain) kertoo heti, että funktiot \\
$\y_k(t)= e^{\lambda_k t}\x_k$ ovat LRT.

Päälauseen ~\ref{yleinenratkaisu} mukaan kaikki ratkaisut saadaan parvesta:
$$\y(t)=c_1e^{\lambda_1 t}\x_1 + \ldots + c_n e^{\lambda_n t}\x_n $$





%\begin{lause}
%\end{lause}

\begin{lause}\label{EHY}
(EHY):n yleinen ratkaisu saadaan lisäämällä (HY):n yleiseen ratkaisuun jokin
(EHY):n erityisratkaisu. Ts. jos 
$\y_h = c_1\, \y_1+ \ldots + c_n\, \y_n$ ja jos $\y_p$ on jokin (EHY):n
ratkaisu, niin $\y = \y_h + \y_p$ on (EHY):n yleinen ratkaisu, eli sisältää
kaikki ratkaisut.

\textbf{Tod}.
1. Toteuttaa, sillä %$\_\_\_$
olkoon $\y=\y_h + \y_p .$  Nyt 

$
\y' = \y_h' + \y_p' = A\,\y_h + A\,\y_p + \g = A(\y_h + \y_p)+\g = 
A\, \y + \g ,$ \\ 
joten $\y$ toteuttaa kuin toteuttaakin (EHY:)n.


%\end{cases}


\vspace{5pt}

2. Olkoonpa nyt $\z$ mielivaltainen (EHY):n ratkaisu. osoitetaan, että se on
yllä olevaa muotoa $\y_h + \y_p.$\\
Eipä muuta kuin todetaan, että $\z - \y$ on (HY):n ratkaisu, mikä näkyy heti:

$$(\z-\y)' = \z'-\y_p' - \y_h' = (A \z + \g) - (A\,\y_p + \g) - A\,\y_h
= A (\z -\y)
 $$
Niinpä $\z -\y = \y_{H}$ on (HY):n ratkaisu, joten 
$\z = \y_p + \underbrace{\y_h + \y_H}_{(HY):n \ \ \text{ratkaisu}}$. 

%$\_\_\_$


\end{lause}


\subsection*{2x2-systeemejä, faasitasoja}

Katsotaan ensin, mikä on "aikatason"\/ ja faasitason suhde.
Merkitään havainnollisuuden vuoksi faasitason pisteitä $(x(t) , y(t)).$
Diffyhtälön $y'' + y = 0$ ratkaisuja ovat $y_1=\sin\,t$ ja 
$y_2=cos\,t.$  Katsotaan yhtälöä systeeminä, siispä:


Muunnetaan systeemiksi:

$y_1=y, \ \ y_2=y' = y_1'$, 
siis:
$
\begin{cases}
y_1' = y_2 \\
y_2'= - y_1
\end{cases}
$

Matriisimuodossa  $\y'=A\,\y$, missä 
$A=\left[ \begin {array}{cc} 0&1\\\noalign{\medskip}-1&0\end {array}
 \right] 
$

Haetaan nyt vain jokin ratkaisu, vaikkapa sellainen, joka toteuttaa alkuehdon
$\y(0)=\lbrack 0,1 \rbrack^T.$
Ratkaisuksi nähdään heti: $y_1=sin(t), \ \ y_2=cos(t)$, ts.
$$\y(t)= \left[ \begin {array}{c} \sin \left( t \right) \\\noalign{\medskip}
\cos \left( t \right) \end {array} \right]$$




%Olkoon $x=sin\,t, \ \ y=cos\,t .$

\includegraphics[height=6cm, width=6cm]{img/aikakuva.eps}
\includegraphics[height=6cm, width=6cm]{img/faasi.eps}

\newpage

\textbf{Faasikuva ja 8 suuntakenttänuolta}\\

\begin{tabular}{cc}
\begin{tabular}{c}
\includegraphics[height=6cm, width=6cm]{img/faasijasuuntanuolia.eps}
%\includegraphics[height=3.6cm, width=3.6cm]{img/lahde.eps}
\end{tabular}
&
\begin{tabular}{l}
%\begin{verbatim}
\verb_ > A=[0 1;-1 0]_ \\
\verb_A = _ \\
\verb_   0   1_ \\
\verb_  -1   0 _ \\
\verb_ > ykspisteet=[0 1 0 -1;1 0 -1 0]_\\
\verb_ykspisteet =_\\
\verb_   0   1   0  -1_ \\
\verb_   1   0  -1   0_ \\
\verb_> A*ykspisteet_\\
\verb_ans =_\\
\verb_   1   0  -1   0_\\
\verb_   0  -1   0   1_\\
%\end{verbatim}

\end{tabular}
\end{tabular}



\subsection*{$2\times 2$-systeemien faasitasotyypit}

\newpage 

$$\text{Noodi (lähde)}$$
\begin{tabular}{cc}
\begin{tabular}{c}
$A=
\left[ \begin {array}{cc} 1&1\\\noalign{\medskip}0&2\end {array}
 \right] $ \\
Ominaisarvot ja -vektorit:\\
$\lambda_1=1,\ \ \v_1 = \lbrack 1,0 \rbrack^T$\\
$\lambda_2=2,\ \ \v_2 = \lbrack 1,1 \rbrack^T$\\
Molemmat ominaisarvot $> 0.$
\end{tabular}

&

\begin{tabular}{|c|}
\hline
\includegraphics[height=6cm, width=6cm]{img/lahde.eps}\\
\hline
\end{tabular}
\end{tabular}

Epästabiili: Trajektorit pakenevat poispäin O:sta ja lähenevät ääretöntä\\
kaikista lähtöpisteistä $\x_0\neq 0.$

\newpage
\textbf{Edellisen yksityiskohdat}

Yleinen ratk: $\y(t)=c_1 e^{\lambda_1 t} \v_1 + c_2 e^{\lambda_1 t}\v_2 $.

Ominaisvektorit
$\v_1$ ja $\v_2\ \ $ LRT, joten tässä on kaikki ratkaisut.

Jos "kerrotaan auki", saadaan koordinaattifunktiomuoto:


$$\y(t)= \left[ \begin {array}{c} {\it y_1(t)}\\\noalign{\medskip}{\it y_2(t)}
\end {array} \right] 
=
\left[ \begin {array}{c} {\it c_1}\,{e^{t}}+{\it c_2}\,{e^{2\,t}}
\\\noalign{\medskip}{\it c_2}\,{e^{2\,t}}\end {array} \right] 
$$

Tästä voidaan piirtää ratkaisukäyrien (trajektorien) pisteitä kiinnittämällä $c_1$ ja $c_2$ ja antamalla arvoja käyräparametrina esiintyvälle $t:$lle.


Ratkaisujen luonne näkyy parhaiten, kun asettuu katsomaan tilannetta ominaisvektorikantaan, jolloin katsotaan ratkaisua muodossa.
$$\y(t)=\underbrace{c_1 e^{\lambda_1 t}}_{z_1(t)} \v_1 + 
\underbrace{c_2 e^{\lambda_1 t}}_{z_2(t)}\v_2 .$$

Merkitään koordinaattifunktioita ominaisvektorikannan suhteen $z_1(t)$ ja 
$z_2(t)$.
Huomaa, että $(c1,c2)$ tarkoittaa alkupisteen koordinaatteja ominaisvektorikannassa.


\begin{tabular}{cc}
\begin{tabular}{l}
%\begin{itemize}
%\item[1.] 
1. Alkupiste ominaisvektorilla: $c_2=0 \implies \ \ $ \\ 
ollaan (ja pystään) $\v_1$:llä.\\ 
$c_1=0 \implies \ \ $ pysytään $\v_2$:lla.\\
Ratkaisupiste pysyy ominaisvektorilla, etäisyys O:sta \\
$|c_1| e^{\lambda_1 t}\to \infty, \ \ $ 
kun $t\to \infty$, koska $\lambda_1>0$.\\
Aivan samoin $\v_2$ ja $\lambda_2.$
%\end{itemize}
\end{tabular}

&

\begin{tabular}{|c|}
\hline
\includegraphics[height=3.5cm, width=3.5cm]{img/L9lahde2.eps}\\
\hline
\end{tabular}
\end{tabular}

2. Alkupiste ei kummallakaan ominaisvektorilla: $c_1\neq 0,\ \ c_2\neq 0.$\\
$z_1=c_1 e^{\lambda_1 t}, \ \ z_2=c_2 e^{\lambda_2 t}.$ \\
Tämän esimerkin tapauksessa $\lambda_1 = 1, \ \ \lambda_2=2,$ jolloin
$z_2=K\, z_1^2,$ missä $K=\frac{c_2}{c_1^2}.$

Ominaisvektorikannassa kyse on siis paraabeliparvesta. Tarkkaan ottaen
kukin trajektori on paraabelin haara , joka lähestyy O:a, kun $t\to -\infty$
ja lähestyy ääretöntä, kun $t\to \infty.$


\newpage
\textbf{Miten ominaisarvot vaikuttavat trajektorien muotoon?}

Mitä, jos edellä olisi ollut $\lambda_2 = 3\, \lambda_1$ ?

No silloin olisi saatu kuutioparaabeleja: $z_2 = K z_1^3.$

Yleisesti: Jos $\lambda_2 = p\,\lambda_1,$ saadaan käyriä:

$z_2 = K z_1^p, \ \ $ missä $p$ voi yleisesti olla kokonaisluvun lisäksi
mikä tahansa positiivinen reaaliluku.

Mitä, jos $\lambda_1 = \lambda_2$ ?  Siitä harjtehtävä AV:lla (tapauksessa:
2 LRT ominaisvekt.)

\textbf{Muut reaaliset ominaisarvoyhdistelmät}

\begin{enumerate}
\item
Jos $\lambda_1 <0,\ \ \lambda_2 < 0,$ niin edellisessä ei muutu mikään muu
kuin nuolien suunta. Kaikki virtaa O:oon päin.

\item
Reaaliset ja erimerkkiset.
Jos $\lambda_2 = -p\, \lambda_1,$ saadaan

$$\z_2 = \frac{K}{z_1^p},$$

jolloin trajektorit ovat "hyperbelinomaisia".\\
Toista ominaisvektoria ($\lambda > 0$ pitkin kuljetaan poispäin O:sta
ja toista ($\lambda < 0$) origoon päin.

\end{enumerate}


\newpage
$$\text{Noodi (nielu)}$$
\begin{tabular}{cc}
\begin{tabular}{c}
$A=
\left[ \begin {array}{cc} -2&-1\\\noalign{\medskip}-1&-2\end {array}
 \right] $ \\
Ominaisarvot ja -vektorit:\\
$\lambda_1=-1,\ \ \v_1 = \lbrack -1,1 \rbrack^T$\\
$\lambda_2=-3,\ \ \v_2 = \lbrack 1,1 \rbrack^T$ \\
Molemmat ominaisarvot $< 0.$
\end{tabular}

&

\begin{tabular}{|c|}
\hline
\includegraphics[height=6cm, width=6cm]{img/paksunielu.eps}\\
\hline
\end{tabular}
\end{tabular}

Stabiili (vahvasti): Trajektorit virtaavat kohti O:a.\\
kaikista lähtöpisteistä $\x_0\neq 0.$

\newpage

$$\text{Satula}$$
\begin{tabular}{cc}
\begin{tabular}{c}
$A=
\left[ \begin {array}{cc} 2&-1\\\noalign{\medskip}-4&-1\end {array}
 \right] 
$ \\
Ominaisarvot ja -vektorit:\\
$\lambda_1=-2,\ \ \v_1 = \lbrack 4,1 \rbrack^T$\\
$\lambda_2= 3,\ \ \v_2 = \lbrack -1,1 \rbrack^T$
\end{tabular}

&

\begin{tabular}{|c|}
\hline
\includegraphics[height=6cm, width=6cm]{img/satula.eps}\\
\hline
\end{tabular}
\end{tabular}

Epästabiili: Osa trajektoreista $\to \infty$, 
lähdettiinpä miten läheltä O:a tahansa (erit. posit. ominaisarvoa vastaavan
ominaisvektorin pisteistä).

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


$$\text{Spiraali (lähde tai nielu)}$$
\begin{tabular}{cc}
\begin{tabular}{c}
$A=
\left[ \begin {array}{cc} 9&-8\\\noalign{\medskip}16&-7\end {array}
 \right] 

$ \\
Ominaisarvot ja -vektorit:\\
$\lambda_1=1+8\,i,\ \ \v_1 = \lbrack 1+i,2 \rbrack^T$\\
$\lambda_2= \overline{\lambda_1},\ \ \v_2 = \overline{\v_1}$\\

$\Re{\lambda_1} (= \Re{\lambda_2}) > 0 $ \\


\end{tabular}

&

\begin{tabular}{c}
%\hline
\includegraphics[height=6cm, width=6cm]{img/fokus.eps}\\
%\hline
\end{tabular}
\end{tabular}

\textbf{Epästabiili}: Kaikki trajektorit kiertävät laajenevaa spiraalia $\to \infty$, 
lähdettiinpä miten läheltä O:a tahansa \\
Jos olisi
$\Re{\lambda_1} (= \Re{\lambda_2}) < 0 ,$  niin $ \_\_\_ $

\newpage

Yleinen ratk: \\ Merk. $\w=\v_1, \ \ \u=\Re\,\w =\left[ \begin {array}{c} {1}\\\noalign{\medskip}{ 2}\end {array} \right] ,\ \ \v=\Im\, 
\w = \left[ \begin {array}{c} {1}\\\noalign{\medskip}{0}\end {array} \right],\ \ \lambda=\lambda_1.$

$\y(t)=c_1 e^{\lambda\, t}\w + c_2 e^{\overline{\lambda}\, t}\overline{\w}
=e^{t}\left[ \begin {array}{cc} 1&1\\\noalign{\medskip}2&0\end {array} \right] 
\left[ \begin {array}{cc} \cos \left( 8\,t \right) &\sin \left( 8\,t
 \right) \\\noalign{\medskip}-\sin \left( 8\,t \right) &\cos \left( 8
\,t \right) \end {array} \right] \left[ \begin {array}{c} {\it c_1}\\\noalign{\medskip}{\it c_2}\end {array} \right] $ 

Voidaan kirjoittaa myös muotoon:

$$\y(t)=e^t \left({\it c_1}\, \left[ \begin {array}{c} \cos \left( 8\,t \right) -\sin
 \left( 8\,t \right) \\\noalign{\medskip}2\,\cos \left( 8\,t \right) 
\end {array} \right] +{\it c_2}\, \left[ \begin {array}{c} \sin \left( 
8\,t \right) +\cos \left( 8\,t \right) \\\noalign{\medskip}2\,\sin
 \left( 8\,t \right) \end {array} \right]\right)$$



\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


$$\text{Degeneroitunut lähde}$$
\begin{tabular}{cc}
\begin{tabular}{c}
$A=
\left[ \begin {array}{cc} 4&1\\\noalign{\medskip}-1&2\end {array}
 \right] 
$ \\
Ominaisarvot ja -vektorit:\\
$\lambda_1= \lambda_2 = \lambda = 3,\ \ \v = \lbrack -1,1 \rbrack^T$\\
Vain $1-$dim ominaisavaruus.




\end{tabular}

&

\begin{tabular}{c}
%\hline
\includegraphics[height=6cm, width=6cm]{img/degelahde.eps}\\
%\hline
\end{tabular}
\end{tabular}

\textbf{Epästabiili}: Kaikki trajektorit  $\to \infty$
Jos olisi
$\lambda< 0 ,$  niin $ \_\_\_ $



\end{slide}
\end{document}




\subsection*{1. Kanta, dimensio}

Lay 2.9, 4.5, 4.6\\
\verb_http://math.tkk.fi/opetus/k3/03/L/LA2.html#Kanta ja dimensio_ \\
KRE 7.5. s. 354

Ajattelemme $\R^n$:n aliavaruutta $H.$ Aivan samat päättelyt pätevät
yleisemminkin mielivaltaisessa ("äärellisulotteisessa") vektoriavaruudessa.


\begin{itemize}
\item[-]
\textbf{Kanta} Vektorijoukko, joka virittää ja on LRT.
\item[-]
\textbf{LA2/Lause 1} Esitys kannan avulla on yksikäsitteinen.
\item[-]
\textbf{LA2/Lause 2} Avaruuden $H$ jokaisessa kannassa on yhtä monta vektoria.

\item[-]
\textbf{LA2/Määritelmä (dimensio)} Kannan (minkä tahansa) vektorien lukumäärä. 
\end{itemize}

\newpage
\subsection*{Kannaksi laajentaminen ja karsiminen}


\begin{itemize}

%Lay 4.3 Theorem 5 (The spanning set theorem)

\item[-]
\textbf{LA2/Lemma 1 (LRT-lemma)} 
Jos vektorijoukko $\lbrace \v_1,\ldots, \v_p \rbrace \subset H$ on LRT ja 
jokin $\v \in H$ ei ole näiden lineaarikombinaatio, niin joukko
$\lbrace \v_1,\ldots, \v_p,\v \rbrace$ on LRT.\\
(Vrt. Lay 4.3 Theorem 5 (The spanning set theorem)

\item[-]
\textbf{LA2/Lause (kannaksi laajentaminen)} 
Aliavaruuden $H\subset \R^n$ LRT joukko voidaan laajentaa $H$:n kannaksi.\\
Tod: Käytetään (toistuvasti) LRT-lemmaa. \hfill\fbox{}


\item[-]
\textbf{LA2/Lause (kannaksi karsiminen)} 
Aliavaruuden $H\subset \R^n$ virittävä joukko voidaan karsia $H$:n kannaksi.\\
Tod: Käytetään (toistuvasti) LRT-lemmaa. \hfill\fbox{}

\item[-]
\textbf{Lay 4.5 s. 259/The basis theorem (kantalause)}\\
Olkoon $H$ $p-$dimensioinen (ali)avaruus. \\
\qquad 1. Jokainen $p$:n vektorin LRT joukko on $H$:n kanta.\\
\qquad 2. Jokainen $p$:n vektorin virittävä joukko on $H$:n kanta.\\

\newpage

%\item[-]
%\textbf{LA2/} 

\textbf{Tod:} 1. Olkoon $\lbrace \v_1,\ldots,\v_p \rbrace$ LRT.
Jos se ei virittäisi, voitaisiin se laajentaa $H$:n kannaksi. Ristiriita
lauseen 2 kanssa. \\
2. Virittäköön $\lbrace \v_1,\ldots,\v_p \rbrace$ $H$:n. Jos se ei
olisi LRT, se voitaisiin karsia kannaksi, jälleen ristiriita lauseen
2 kanssa.\\
(Molemmissa päättelyissä pärjätään LRT-lemmalla, yksi askel riittää.)
\hfill \fbox{}

\end{itemize}

\subsection*{Rangi, nulliteetti, peruslause}

Perjantain (10.11.) luennolla ratkaistiin eräs $A\,\x=\0$ ja muodostettiin
nolla-avaruuden N$(A)$ kanta. Kertaukseksi vaikka LA3:n alku ("Nolla-avaruus").

Nähtiin, että $N(A):$n kantavektoreita on yhtä monta kuin vapaita muuttujia.

%\framebox{Nolla-avaruus N$(A)$}\framebox{dimensio n$(A)=$ vapaiden muuttujien lkm., nulliteetti}\\

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}\hline
Avaruus & Dimensio\\ \hline
Nolla-avaruus N(A) & nulliteetti, $n(A)$\\ \hline
Sarakeavaruus col($A$) & rangi, $r(A)$ \\ \hline
Riviavaruus  row($A$) & rangi, $r(A)$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\newpage

\subsubsection*{Sarakeavaruus ja sen dimensio}

Viimeksi (pe) laskettiin ja todettiin:\\
1. Rivioperaatioissa sarakkeiden LRT/LRV-käytös säilyy.\\
2. Tukisarakkeet ovat LRT. \\
3. Ei-tukisarake voidaan lausua tukisarakkeiden lineaarikombinaationa.

1. Lausutaan LRT/LRV-vektoriyhtälö rivimuodossa $A\,\c = \0.$ Ratkaisut säilyvät samoina rivioperaatioissa, ja sitten vaan takaisin vektorimuotoon.\\
2. Irrotetaan tukisarakkeet omaksi matrisikseen. Silloin kaikki sarakkeet
ovat tukisarakkeita ja siis (HY):n ratkaisu on yksikäsitteinen. (Tai päätellään
ihan suoraan "takaisinsijoittamalla".)\\
%Edellinen seuraa suoraan siitä, että kun HY:n kaikki sarakkeet ovat tukisarakk%eira, niin HY:llä on vain 0-ratkaisu.\\
3. Irrotetaan matriisista tukisarakkeet
kerroinmatriisiksi ja sijoitetaan haluttu mielivaltaisesti valittu ei-tukisarake yhtälösysteemin oikeaksi puoleksi. No, systeemihän on konsistentti, kun viimeinen sarake ei ole
tukisarake, joten ko. ei-tukisarake on tukisarakkeiden lineaarikombinaatio.

\subsubsection*{Riviavaruus}


\textbf{Lause}
Jos $A$ ja $B$ ovat riviekvivalentit, niin row$(A) = $ row$(B)$.

\textbf{Tod:}
Koska $B:$n rivit ovat $A:$n rivien lineaarikombinaatioita, niin $B:$n rivivektorit kuuluvat viritelmään row($A$), joten myös row($B)\subset$ row($A$).
Mutta aivan yhtä hyvin kääntäen. \hfill\fbox{}


\textbf{Lause} Riviavaruuden kannan muodostavat ref(A):n nollasta poikkeavat (siis tuki-)rivit. Siten todellakin rivi- ja sarakeavaruuksilla on sama dimensio.

\textbf{Tod:} 
Tukirivit ovat LRT aivan samalla päättelyllä kuin tukisarakkeet. (Tukirivit ovat transpoosin tukisarakkeita.)
Tukirivit ovat siis sekä LRT että virittävät (edellisen perusteella), ja
muodostavat siten row($A$):n kannan.


\textbf{Huom!} Rivioperaatioissa rivivektoreille säilyy viritys, muttei LRT.
Rivioperaatioissa sarakevektoreille säilyy LRT, muttei viritys.



\textbf{Yhteenveto laskentaan}:

%\end{document}
%%\framebox{

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
N$(A)$: Ratkaistaan $A\,\x=\0,\ \ $ kantavekt.:
Yksi kutakin vap. muutt. kohti \\
col($A$): Kanta: Tukisarakkeet poimitaan \textbf{alkuperäisestä} 
matriisista \\
(ref-muodon vastaavat eivät yleensä viritä).\\
row($A$): Kanta: ref-muodon ei-nollarivit. \\
(Alkuperäisen vastaavat eivät 
välttämättä LRT.)\\
\hline
\end{tabular}
%}

\end{center}

%Rivioperaatioilla aikaansaadaan rivien lineaarikombinaatioita.
%Olkoon $A \thicksim B,$. Silloin $\textrm{sp}(A)$ 

Edellisen perusteella meille putoaa:

\textbf{Lause}[Rangilause] (KRE s. 333 Thm 1)
Matriisin $A$ rangi $r(A)$ (joka määritellään sarakeavaruuden dimensioksi)
$=$ riviavaruuden dimensio. Toisin sanoen matriisin rangi on
\begin{center}
maksimi määrä LRT sarakkeita $=$ maks määrä LRT rivejä.
\end{center}
Erityisesti neliömatriisilla pätee: Rivit LRT $\iff$ sarakkeet LRT.\\
(Tätä olen usein kutsunut "lineaarialgebran ihmeeksi".)\hfill\fbox{}

\textbf{Lause}[Lineaarialgebran peruslause]\\
Olkoon $A \ \ (m\times n)$-matriisi.

$$n(A) + r(A) = n.$$

Tod: Tämäkin on jo perusteltu. Kerran vielä; sarakkeita on kahdenlaisia:
tukisarakkeita ja ei-tuki- eli vapaiden muuttujien sarakkeita. \hfill\fbox{}


\subsection*{Neliömatrisiit: Determinantit ja käänteismatriisi}


A olkoon ($n \times n$) \emph{neliömatriisi}

\textbf{Determinantit,} kts.
\texttt{http://math.tkk.fi/opetus/k3/04/L/DetInv.pdf}

Determinantin kehittämislaskelma, $25\times 25-$matriisi. Kertolaskuja $\sim 25 !$. \\
Gaussilla $\sim 25^3$

\begin{verbatim}
octave:23> oper=factorial(25)
oper =  1.5511e+25
octave:22> tera=10^12;
octave:25> sek=oper/tera
sek =  1.5511e+13
octave:27> vuosia=sek/3600/24/365
vuosia =  4.9186e+05    % n. 500 000 vuotta
octave:28> gauss=25^3
gauss = 15625
octave:29> gauss/tera
ans =  1.5625e-08      % Gaussilla hujahtaa 1/(100 000 000) sekunnissa.
\end{verbatim}

\emph{Algoritmillä on väliä! }

\subsection*{Käänteismatriisi}


\textbf{Määr:} $A (n\times n)$ on kääntyvä, ( ei-singulaarinen, säännöllinen), jos on olemassa $B (n\times n $ siten että

$$ A\,B = B\,A = I,$$

missä $I$ on $\n\times n-$yksikkömatriisi. Merk $B=A^{-1}.$

\textbf{Huom:} Jos $\exists A^{-1},$ niin se on yksikäsitteinen:
Olkoot $B$ ja $C$ kaksi käänteismatriisia. \\
$$B = I\,B = (C\,A)B = C(A\,B)  = C\, I = C $$. \hfill\fbox{}

\textbf{Lause 1}[Kääntyvyys ja rangi]
%Seuraavat ovat yhtäpitäviä:\\
 $$A \ \ \text{on kääntyvä}  \iff r(A)=n $$ %%% 3. det($A) \neq 0.$

\newpage

\textbf{Tod:} 1. Oletetaan kääntyvyys. Tarkastellaan (HY):ä $A\,\x = \0.$
Kerrotaan puolittain $A^{-1}:$llä, ja saadaan:
$x=A^{-1}\0 = \0.$ Siis (HY):llä vain triv. ratk (ja ratk. siis yksikäs), 
joten jokainen sarake on tukisarake.

2. Oletetaan: $r(A)=n$. Tällöin yhtälöllä $A\,\x = \b$ on yksikäsitteinen
ratkaisu kaikilla $\b\in \R^n.$ (Matriisin sarakkeet muodostavat $\R^n$:n
kannan.)

Valitaan $\b = \e_j,\ \ j=1,\ldots, n.$

Ratkaisuvektorit $\x_j$ ladotaan sarakkeiksi: $X=\lbrack \x_1 \ldots \x_n\rbrack$.

Tällöin $A\,X = I.$  \\
Onko myös $X\,A = I$ ?

Yksityiskohdat luennolla. \hfill \fbox{}

\textbf{Huom!} Edellisestä todistuksesta seuraa: Toinen ehdoista $A\,B = I$
tai $B\,A = I$ riittää käänteismatriisille. 


\textbf{Lause 2} [Kääntyvyys ja determinantti]
\begin{center}
 $A \ \ \text{on kääntyvä}  \iff \text{det}(A) \neq 0. $
\end{center}
\textbf{Tod:} Rivioperaatiot eivät muuta rangia eivätkä determinantin
$0-$käytöstä.\\
$r(A)=n \iff$ ref($A$):n kaikki sarakkeet tukisarakkeita $\iff$
ref($A$):n kaikki diagonaalialkiot $\neq 0$ $\iff$ det$(A) \neq 0$.

det$(A) = C\,d_1\cdot d_2 \cdot \ldots \cdot d_n,\ \ C\neq 0.$

\textbf{Lause 3}[Tulo ja transpoosi] 

\qquad 1. Jos $A$ on kääntyvä, niin myös $A^{-1}$ on kääntyvä ja
 $${(A^{-1})}^{-1}=A.$$

\qquad 2. Jos $A$ ja $B$ kääntyviä, niin $A\,B$ kääntyvä ja 
$(A\,B)^{-1}=B^{-1} A^{-1}.$

\qquad 3. Jos $A$ on kääntyvä, niin myös $A^{T}$ on kääntyvä ja
$(A^T)^{-1} = {(A^{-1})}^T .$

\textbf{Tod.} Kerrotaan vaikka oikealta ko. "kandidaatilla"

Nyt voidaan koota sopiva versio "käänteismatriisilauseeksi".
\newpage


\textbf{Käänteismatriisilause} (Layssa monta versiota eri paikoissa)\\
Seuraavat ovat yhtäpitävät ($A (n\times n))$:\\
\qquad 1. A on kääntyvä\\
\qquad 2. $r(A)=n$\\
\qquad 3. det($A$) $\neq 0$\\
\qquad 4. $N(A)=\lbrace 0 \rbrace$ ($n(A)=0$)\\
\qquad 5. $A$:n sarakkeet ovat LRT ($\iff$) virittävät $\R^n:n$ \\
\qquad 6. $A$:n rivit ovat LRT ($\iff$) virittävät $\R^n:n$ \\
\qquad 7. (HY):llä $A\,\x = \0$ vain triviaaliratk. $\x=\0$ \\
\qquad 8. (EHY):llä $A\,\x = \b$ on ratkaisu $\forall  \b\in\R^n$ \\


\newpage

\textbf{Käänteismatriisikaavat ja laskenta}

Determinanttien avulla voidaan esittää kaunis ratkaisukaava käänteismatriisille
ja yhtälösysteemille. Pienillä $n$ ($n=2, \ \ n=3)$ voivat olla käteviä.
Suuremmilla hyödyttömiä. (Ellei ole aikaa odotella $500 000$ vuotta.)

Tarvitaanko käänteismatriisin laskemista?\\
Yleensä ei! Käänteismatriisi on teoreettisena välineenä hyödyllinen
matriisilausekkeissa. Käytännössä sitä voitaisiin soveltaa yhtälösysteemin
ratkaisukaavana $\x=A^{-1} \b.$ Mutta tämä on tehotonta ja numeerisesti
epätarkempaa kuin suora ratkaisu. \\
Entä, jos oikeita puolia on paljon? No ei silloinkaan, vaan esim. LU-hajotelma.



 


\end{slide}
\end{document}

\subsubsection*{1.5 \ Homogeeninen lineaarinen systeemi $A\x = \0$ }

%\vspace{1pt}

%\textbf{Homogeeninen systeemi: }  $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$

%\vspace{1pt}

\begin{center}
($A$ ( $m\times n$) ja $\mathbf{0}$ on $\R^{m}:$n nollavektori.)
\end{center}

\vspace{1pt}

\textbf{Esim:}

\begin{center}
\vspace{1pt}$\left[ 
\begin{array}{cc}
1 & 10 \\ 
2 & 20%
\end{array}%
\right] \left[ 
\begin{array}{c}
x_{1} \\ 
x_{2}%
\end{array}%
\right] =\left[ 
\begin{array}{c}
0 \\ 
0%
\end{array}%
\right] $



\vspace{1pt}


\vspace{1pt}

\vspace{1pt}
\end{center}

\vspace{1pt}\textbf{Triviaali ratkaisu:}

\begin{center}
$\mathbf{x}= \0 = \left[ 
\begin{array}{c}
0 \\ 
0%
\end{array}%
\right] $ 

\vspace{1pt}

\vspace{1pt}
\end{center}

\vspace{1pt}

Homogeenisella systeemillä $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$  on \textsl{aina} 
triviaaliratkaisu $\mathbf{x}=\mathbf{0}$. \ Siis se on aina konsistentti.

%\newpage

%Nonzero vector solutions are called \textbf{nontrivial solutions.}

\vspace{1pt}

Onko \textbf{epätriviaaleja} ratkaisuja?

\vspace{1pt}




\begin{center}
\vspace{1pt}$\left[ 
\begin{array}{ccc}
1 & 10 & 0 \\ 
2 & 20 & 0%
\end{array}%
\right] \sim \left[ 
\begin{array}{ccc}
1 & 10 & 0 \\ 
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right] $

\vspace{1pt}
\end{center}

Konsistentti systeemi, jolla on vapaa muuttuja ($x_2$), siis (äärettömän paljon) ratkaisuja.

Tässä tapauksessa ratkaisujoukko on $\0:$n kautta kulkeva suora:
$x_1+10\, x_2=0.$

%Consistent system with a free variable has infinitely many solutions.

%\vspace{1pt}

%\vspace{1pt}

\begin{center}
\vspace{1pt}
\end{center}

\textbf{Yleisesti pätee:}
Homogeeniyhtälöllä  $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ on epätriviaaleja ratkaisuja

\vspace{1pt}

jos ja vain jos systeemillä on  


\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.

(Ilmaise tukisarkkeiden tai vapaiden muuttujien lukumäärän avulla.)

Seurauksena tärkeä:\\
\textbf{Lause} [LinHom] Olkoon $A$ ($m\times n$). Jos $n > m$ (enemmän sarakkeita kuin rivejä), niin homogeeniyhtälöllä $A\x = \0$ on epätriviaaleja ratkaisuja.

Tod: Homogeeninen on aina konsistentti, tukisarakkeiden lkm $\leq m < n,$ joten
ainakin yksi vapaa muuttuja, $\Rightarrow$ äärettömän monta ratkaisua.



\vspace{1pt}\newpage

\textbf{Esimerkki: \ } Selvitä, onko seuraavalla homogeenisella systeemillä
epätriviaaleja ratkaisuja ja kuvaa ratkaisujoukko.

\begin{center}
$ 
\begin{array}{rrrrrrr}
2x_{1} & + & 4x_{2} & - & 6x_{3} & = & 0 \\ 
4x_{1} & + & 8x_{2} & - & 10x_{3} & = & 0%
\end{array}
$
\end{center}

\vspace{1pt}

%\end{document}
\textit{Ratkaisu: \ }

\begin{center}
Ilman ainuttakaan rivioperaatiota tiedämme, että systeemillä on ainakin
yksi vapaa muuttuja. (miksi?)

$\vspace{1pt}$

%$\Longrightarrow $ nontrivial solutions exist\bigskip 

$\left[ 
\begin{array}{rrrr}
2 & 4 & -6 & 0 \\ 
4 & 8 & -10 & 0%
\end{array}
\right] \thicksim \left[ 
\begin{array}{rrrr}
1 & 2 & -3 & 0 \\ 
4 & 8 & -10 & 0%
\end{array}%
\right] $
%\end{document}
%%$\vspace{1pt}$
%$\thicksim \left[ 
%\begin{array}{rrrr}
%1 & 2 & -3 & 0 \\ 
%0 & 0 & 2 & 0%
%\end{array}%
%\right] 
$\thicksim  \left[ 
\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 0 & 0 \\ 
0 & 0 & 1 & 0%
\end{array}%
\right] $

%\end{document}
\vspace{1pt}

\vspace{1pt}

$$x_3=0,\ \ x_2=t (\textrm{vapaa}),\ \ x_3=0.$$


Siis

%\begin{array}{r}

$\x=\left[ 
\begin{array}{c}
-2t \\ 
t \\ 
0
\end{array}
\right]=
t \left[
\begin{array}{c}
-2 \\ 
1 \\ 
0
\end{array}
\right] $ 

%\end{array}%

\vspace{1pt}

Kyseessä on $\0:$n kautta kulkeva, vektorin $\v =\lbrack-2,1,0 \rbrack^T$
suuntainen suora $\R^3:$ssa.
\end{center}

\textbf{Esim 2} $A$ ($3\times 1$), tässä siis vain yksi yhtälö (eikä
rivioperaatioita tarvita).

$$10 x_1 -3 x_2 -2 x_3 = 0.$$

Vapaat muuttujat $x_2=s,\ \ x_3=t.$ Ratkaisu:

$$
\begin{cases}
x_1=0.3 s + 0.2 t \\
x_2=s + 0 t\\
x_3=0 s + tt
\end{cases}
$$

%\end{document}
\newpage
Vektorimuodossa:

$$\x=
\left[ \begin {array}{c} x_{{1}}\\\noalign{\medskip}x_2\\\noalign{\medskip}x_3\end {array} \right] = \left[ \begin {array}{c} 
 0.3\,s+ 0.2\,t\\\noalign{\medskip}s + 0 t\\\noalign{\medskip} 0 s + t\end {array}
 \right] = 
\left[ \begin {array}{c}  0.3\,s\\\noalign{\medskip}s
\\\noalign{\medskip}0\end {array} \right] +
\left[ \begin {array}{c} 
 0.2\,t\\\noalign{\medskip}0\\\noalign{\medskip}t\end {array} \right] 
= s \left[ \begin {array}{c}  0.3\\\noalign{\medskip}1
\\\noalign{\medskip}0\end {array} \right] 
+ 
t \left[ \begin {array}{c}  0.2\\\noalign{\medskip}0
\\\noalign{\medskip}1\end {array} \right] 
$$

Ratkaisujoukko on $\R^3:$n taso $T$, jonka virittävät vektorit:

$$\v_1=\lbrack 0.3, 1, 0\rbrack^T, \ \ \v_2=\lbrack 0.2,0,1 \rbrack^T$$

Ts. $$T = \textit{sp}\lbrace \v_1,\v_2\rbrace$$


\end{slide}
\end{document}

\begin{array}{cc}
x_{1}= &  \\ 
&  \\ 
x_{2} & \text{vapaa} \\ 
&  \\ 
x_{3}= & 
\end{array}%
$

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 

\vspace{1pt}$\mathbf{x}=\left[ 
\begin{array}{r}
x_{1} \\ 
x_{2} \\ 
x_{3}%
\end{array}%
\right] =\left[ 
\begin{array}{c}
-2x_{2} \\ 
x_{2} \\ 
0%
\end{array}%
\right] =\_\_\_\_\left[ 
\begin{array}{r}
-2 \\ 
1 \\ 
0%
\end{array}%
\right] =x_{2}\mathbf{v}$\newpage
\end{center}

Graphical representation:



solution set = span$\left\{ \mathbf{v}\right\} =$ line through $\mathbf{0}$
in $\mathbf{R}^{3}$

\vspace{1pt}
\end{center}

\newpage

\textbf{EXAMPLE: \ }Describe the solution set of

\begin{center}
\vspace{1pt}$ 
\begin{array}{rrrrrrr}
2x_{1} & + & 4x_{2} & - & 6x_{3} & = & 0 \\ 
4x_{1} & + & 8x_{2} & - & 10x_{3} & = & 4%
\end{array}
$

( same left side as in the previous example)
\end{center}

\textit{Solution:}

\begin{center}
\qquad

$\left[ 
\begin{array}{rrrr}
2 & 4 & -6 & 0 \\ 
4 & 8 & -10 & 4%
\end{array}%
\right] \qquad $row reduces to\qquad\ $\left[ 
\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 0 & 6 \\ 
0 & 0 & 1 & 2%
\end{array}%
\right] $

\vspace{1pt}

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 

\vspace{1pt}$\mathbf{x}=\left[ 
\begin{array}{r}
x_{1} \\ 
x_{2} \\ 
x_{3}%
\end{array}%
\right] =\qquad \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \qquad \qquad $

$\vspace{1pt}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad $

$\vspace{1pt}$

$\mathbf{x}=\left[ 
\begin{array}{r}
6 \\ 
0 \\ 
2%
\end{array}
\right] +x_{2}\left[ 
\begin{array}{r}
-2 \\ 
1 \\ 
0%
\end{array}
\right] =\mathbf{p+}x_{2}\mathbf{v}$

\ \ \ \ \ \ 

\vspace{1pt}%


Parallel solution sets of $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ \& $A\mathbf{x}=\mathbf{b}
$\newpage
\end{center}

\paragraph{\protect\vspace{1pt}Recap of Previous Two Examples}

\vspace{1pt}

Solution of $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$

\begin{center}
\vspace{1pt}

$\mathbf{x}=x_{2}\left[ 
\begin{array}{r}
-2 \\ 
1 \\ 
0%
\end{array}%
\right] =x_{2}\mathbf{v}$

\vspace{1pt}

$\mathbf{x}=x_{2}\mathbf{v}=$ parametric equation of line passing through $%
\mathbf{0}$ and $\mathbf{v}$
\end{center}

\vspace{1pt}

Solution of $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$

\begin{center}
\vspace{1pt}

$\mathbf{x}=\left[ 
\begin{array}{r}
6 \\ 
0 \\ 
2%
\end{array}%
\right] +x_{2}\left[ 
\begin{array}{r}
-2 \\ 
1 \\ 
0%
\end{array}%
\right] =\mathbf{p+}x_{2}\mathbf{v\bigskip }$

\vspace{1pt}$\mathbf{x}=\mathbf{p+}x_{2}\mathbf{v}=$ parametric equation of
line passing through $\mathbf{p}$ parallel to $\mathbf{v}$

\vspace{1pt}



\vspace{1pt}

\vspace{1pt}

\textbf{THEOREM 6}

\begin{description}
\item Suppose the equation $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ is consistent for some
given $\mathbf{b}$, and let $\mathbf{p}$ be a solution. \ Then the solution
set of $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ is the set of all vectors of the form $%
\mathbf{w=p+v}_{h}$, where $\mathbf{v}_{h}$ is any solution of the
homogeneous equation $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$.\newpage
\end{description}

\textbf{EXAMPLE: \ }Describe the solution set of $2x_{1}-4x_{2}-4x_{3}=0;$
compare it to the solution set $2x_{1}-4x_{2}-4x_{3}=6.$

\vspace{1pt}

\textit{Solution:}\textbf{\ }Corresponding augmented matrix to $%
2x_{1}-4x_{2}-4x_{3}=0$:

\vspace{1pt}

\begin{center}
$\left[ 
\begin{array}{cccc}
2 & -4 & -4 & 0%
\end{array}%
\right] $ $\sim $ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (fill-in)

\vspace{1pt}
\end{center}

Vector form of the solution:

\vspace{1pt}

\begin{center}
$\mathbf{v=}\left[ 
\begin{array}{c}
2x_{2}+2x_{3} \\ 
\multicolumn{1}{l}{x_{2}} \\ 
\multicolumn{1}{r}{x_{3}}%
\end{array}%
\right] =\_\_\_\_\left[ 
\begin{array}{c}
2 \\ 
\multicolumn{1}{l}{1} \\ 
\multicolumn{1}{r}{0}%
\end{array}%
\right] +\_\_\_\_\left[ 
\begin{array}{c}
2 \\ 
\multicolumn{1}{l}{0} \\ 
\multicolumn{1}{r}{1}%
\end{array}%
\right] $

\vspace{1pt}

\vspace{1pt}
\end{center}

Corresponding augmented matrix to $2x_{1}-4x_{2}-4x_{3}=6$:

\vspace{1pt}

\begin{center}
$\left[ 
\begin{array}{cccc}
2 & -4 & -4 & 6%
\end{array}%
\right] $ $\sim $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (fill -in)

\vspace{1pt}
\end{center}

Vector form of the solution:

\vspace{1pt}

\begin{center}
$\mathbf{v=}\left[ 
\begin{array}{c}
3+2x_{2}+2x_{3} \\ 
\multicolumn{1}{l}{\text{ \ \ \ \ \ \ \ }x_{2}} \\ 
\multicolumn{1}{r}{x_{3}}%
\end{array}%
\right] =\left[ 
\begin{array}{c}
\text{ } \\ 
\text{ } \\ 
\text{ \ \ }%
\end{array}%
\right] +\_\_\_\_\left[ 
\begin{array}{c}
2 \\ 
\multicolumn{1}{l}{1} \\ 
\multicolumn{1}{r}{0}%
\end{array}%
\right] +\_\_\_\_\left[ 
\begin{array}{c}
2 \\ 
\multicolumn{1}{l}{0} \\ 
\multicolumn{1}{r}{1}%
\end{array}%
\right] $

\vspace{1pt}

\vspace{1pt}



\end{slide}
\end{document}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{1.4 \ Matriisiyhtälö $\mathbf{Ax}=\mathbf{b}$}

\vspace{1pt}

%\textbf{Lineaarikombinaatio $\iff$ matriisi $\times$ vektori}
%Linear combinations can be viewed as a matrix-vector multiplication.
\textbf{(Matriisi $\times$ vektori) - tulon sarakemuoto}

\vspace{1pt}



\vspace{1pt}

Olkoon $A$  $m\times n$ matriisi, jonka sarakevektoreita merkitään:
 $\mathbf{a}_{1},\mathbf{a}
_{2},\ldots ,\mathbf{a}_{n}$ ja olkoon 
$\mathbf{x} = \lbrack x_1,\cdots, x_n\rbrack^T \in \R^{n}$. Tulo 
$A \mathbf{x}$ voidaan kirjoittaa muodossa 

$$
x_{1}\ \mathbf{a}_{1}+x_{2}\ \mathbf{a}_{2}+\cdots +x_{n}\mathbf{a}_{n}
$$


%\textbf{product of }$A$\textbf{\ ja} $\mathbf{x}$, denoted by $A%
%\mathbf{x}$, is the \textbf{linear combination of the columns of} $\mathbf{A}
%$ \textbf{using the corresponding entries in} $\mathbf{x}$ \textbf{as weights%
%}. \ I.e.,\bigskip




\vspace{1pt}
%\end{center}

\textbf{Esimerkki:\bigskip }\vspace{1pt}

$$
A= \left[ \begin {array}{cc} 1&-4\\\noalign{\medskip}3&2
\\\noalign{\medskip}0&5\end {array} \right] 
,\ \
\x=\left[ \begin {array}{c} x_{{1}}\\\noalign{\medskip}x_{{2}}\end {array} \right] 
$$

$$A\,\x=
\left[ \begin {array}{c} x_{{1}}-4\,x_{{2}}\\\noalign{\medskip}3\,x_{{1}}+2\,x_{{2}}\\\noalign{\medskip}5\,x_{{2}}\end {array} \right] = 
x_{{1}} \left[ \begin {array}{c} 1\\\noalign{\medskip}3
\\\noalign{\medskip}0\end {array} \right] +x_{{2}} \left[ 
\begin {array}{c} -4\\\noalign{\medskip}2\\\noalign{\medskip}5
\end {array} \right] 
$$

\textbf{Yleisesti}

$
A\,\mathbf{x} = 
\left[
\begin{array}{c}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n  \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n \\
\vdots \\
a_{m 1}x_1 + a_{m 2}x_2 + \ldots + a_{m n}x_n 
\end{array}
\right] = 
$

%\end{document}


\vspace{1pt}\newpage







%\end{document}
%\newpage

\textsl{Kolme tapaa katsoa lineaarista systeemiä:}

\begin{description}
\item \vspace{1pt}1. Lineaarisena yhtälösysteeminä (Luentojen 1. kalvo)

\item 2.  Vektoriyhtälönä $x_{1}\mathbf{a}_{1}+x_{2}\mathbf{a}%
_{2}+\cdots +x_{n}\mathbf{a}_{n}=\mathbf{b}$

\item 3. Matriisiyhtälönä $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$.
\end{description}

\vspace{1pt}

\vspace{1pt}\textbf{LAUSE 3} (Lay s. 42)

\begin{description}
\item Olkoon $A$  $m\times n$ matriisi, jonka sarakkeet ovat 
$\mathbf{a}_{1},\ldots ,
\mathbf{a}_{n}$, ja olkoon $\mathbf{b} \in \R^{m}$. 
Tällöin lineaarisella yhtälösysteemillä
\end{description}

\begin{center}
$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$
\end{center}

\vspace{1pt}

\begin{description}
\item on samat ratkaisut kuin vektoriyhtälöllä
\end{description}

\vspace{1pt}

\begin{center}
$x_{1}\mathbf{a}_{1}+x_{2}\mathbf{a}_{2}+\cdots +x_{n}\mathbf{a}_{n}=\mathbf{%
b}$

\vspace{1pt}
\end{center}

Toisin sanoen vektoriyhtälö ratkaistaan liitännnäismatriisin

\begin{center}
\vspace{1pt}

$\left[ 
\begin{array}{rrrrr}
\mathbf{a}_{1} & \mathbf{a}_{2} & \cdots & \mathbf{a}_{n} & \mathbf{b}%
\end{array}
\right] $
\end{center}

\vspace{1pt}
avulla.
%\vspace{1pt}
\newpage
\textbf{Hyödyllinen tosiasia:}

\begin{description}
\item Yhtälöllä $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 
on ratkaisu(ja), jos ja vain jos
$
\mathbf{b}$ on $A:n$ sarakevektorien \bigskip 

\item \ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \ 
\end{description}

\vspace{1pt}

\vspace{1pt}

%\newpage

\textbf{Esim: \ }Olkoon $A=\left[ 
\begin{array}{rrr}
1 & 4 & 5 \\ 
-3 & -11 & -14 \\ 
2 & 8 & 10%
\end{array}%
\right] $ ja $\mathbf{b=}\left[ 
\begin{array}{r}
b_{1} \\ 
b_{2} \\ 
b_{3}%
\end{array}%
\right] .$ \smallskip\ 

Onko yhtälö $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ konsistentti kaikilla $\mathbf{b}\in \R^3$?

\vspace{1pt}

\textbf{Ratkaisu: \ } Liitännäismatriisi yhtälölle $A\mathbf{x}=\mathbf{b%
}$:

\vspace{1pt}

\begin{center}
$\left[ 
\begin{array}{cccc}
1 & 4 & 5 & b_{1} \\ 
-3 & -11 & -14 & b_{2} \\ 
2 & 8 & 10 & b_{3}%
\end{array}%
\right] \thicksim \left[ 
\begin{array}{cccc}
1 & 4 & 5 & b_{1} \\ 
0 & 1 & 1 & 3b_{1}+b_{2} \\ 
0 & 0 & 0 & -2b_{1}+b_{3}%
\end{array}%
\right] $

\vspace{1pt}
\end{center}

Voiko siis
$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$
mitenkään olla konsistentti kaikilla $\mathbf{b}\in \R^3 ?$


% is \_\_\_\_\_\_\_ \ consistent for all $\mathbf{b}$
%since some choices of $\mathbf{b}$ make $-2b_{1}+b_{3}$ nonzero.

\begin{center}
\vspace{1pt}\newpage

$A=\left[ 
\begin{array}{rrr}
1 & 4 & 5 \\ 
-3 & -11 & -14 \\ 
2 & 8 & 10%
\end{array}%
\right] $

$\ \ \ \ \ 
\begin{array}{ccc}
\text{ }\uparrow \text{ } & \uparrow & \text{ }\uparrow \\ 
\mathbf{a}_{1} & \mathbf{a}_{2} & \mathbf{a}_{3}%
\end{array}%
$
\end{center}

\vspace{1pt}

Yhtälö $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ on konsistentti, jos ja vain jos \bigskip 
$-2b_{1}+b_{3}=0$.
%\begin{center}
(tason yhtälö $\R^{3}:ssa$)

\vspace{1pt}



\vspace{1pt}


$\mathbf{b}$ voidaan esittää muodossa

$$\mathbf{b}=
x_{1}\mathbf{a}_{1}+x_{2}\mathbf{a}_{3}+x_{3}\mathbf{a}_{3}$$

jos ja vain jos
% $\iff$ 
$b_{3}-2b_{1}=0$.

\begin{tabular}{c}

$A:$n sarakkeet virittävät tason $\R^3:$ssa
%in $\mathbf{R}^{3}$ through $\mathbf{0}$%
\end{tabular}
%\end{center}

%\vspace{1pt}Instead, if \textit{any} $\mathbf{b}$ in $\mathbf{R}^{3}$ (not
%just those lying on a particular line or in a plane) can be expressed as a
%linear combination of the columns of $A$, then we say that the columns of $A$
%span $\mathbf{R}^{3}$.

\vspace{1pt}

\textbf{Pohdittavaksi:}

Millähän ehdolla matriisin $A$ ($m\times n$)
sarakkeet virittävät koko avaruuden $\R^m$ , eli millon on
sp$\left\{ \mathbf{a}_{1},\ldots ,\mathbf{a}_{p}\right\} =%
\mathbf{R}^{m}$



%\begin{description}
%\item We say that \textbf{the columns of }$A=\left[ 
%\begin{tabular}{llll}
%$\mathbf{a}_{1}$ & $\mathbf{a}_{2}$ & $\cdots $ & $\mathbf{a}_{p}$%
%\end{tabular}%
%\ \right] $\textbf{\ span }$\mathbf{R}^{m}$ if \textsl{every} vector $%
%\mathbf{b}$ in $\mathbf{R}^{m}$ is a linear combination of $\mathbf{a}%
%_{1},\ldots ,\mathbf{a}_{p}$

%\item (i.e. Span$\left\{ \mathbf{a}_{1},\ldots ,\mathbf{a}_{p}\right\} =%
%\mathbf{R}^{m}$).
%\end{description}

\vspace{1pt}

\textbf{LAUSE 4} \ 

\begin{description}
\item Olkoon $A$  $m\times n$ matriisi. \ 
Seuraavat ominaisuudet ovat yhtäpitävät:

\item a. \ Jokaisella $\mathbf{b} \in \R^{m}$ yhtälöllä 
$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ on ratkaisu.

\item b. \ Jokainen $\mathbf{b} \in \R^{m}$ on $A:$n sarakkeiden lineaarikombinaatio. (Ts. $A:$n sarakkeet virittävät $\R^{m}:$n.)



\item c. \ $A:$n jokainen rivi on tukirivi, ts. 
\textit{ref}($A$):ssa ei ole yhtään nollariviä.
\end{description}

\vspace{1pt}

\textbf{Tod:}

(a) $\iff$ (b) todettiin juuri.\\

(c) $\Rightarrow$ (a): Jos $A$:ssa ei ole nollarivejä, voidaan kaikki yhtälöt
ratkaista ref-muodosta takaisinsijoituksella (ristiriitaisia yhtälöitä ei synny). Vapaita parametrejä voi tulla, mutta nehän vaan lisäävät ratkaisujoukkoa. 

(a) $\Rightarrow$ (c): Jos ratkaisu on jokaisella $\b$, niin se on sellaisellakin,
joka rivioperaatioissa muuntuu vaikkapa vektoriksi $\lbrack 0,\ldots,1\rbrack^T$ (Koska käänteisoperaatioilla päästään takaisin tuohon "sellaiseen" $\b$.)
\\
Mutta tällöinhän alin rivi ei voi olla nollarivi.


 


\newpage



\textbf{Esim: \ }Olkoon $A=\left[ 
\begin{array}{rr}
1 & 2 \\ 
3 & 4 \\ 
5 & 6%
\end{array}%
\right] $ ja $\mathbf{b}=\left[ 
\begin{array}{r}
b_{1} \\ 
b_{2} \\ 
b_{3}%
\end{array}%
\right] $. \ Onko yhtälö $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ konsistentti
kaikilla mahdollisilla $\mathbf{b}$?

\vspace{1pt}

\textbf{Ratk: \ \ }$A$:lla on vain  \_\_\_\_\_ saraketta ja siksi
\smallskip\ 
korkeintaan \_\_\_\_\_ tukiriviä.

\vspace{1pt}

\vspace{1pt}


%Since $A$ does not have a pivot in every \_\_\_\_\_\_\_, $A\mathbf{x}=%
%\mathbf{b}$ \bigskip

%is \_\_\_\_\_\_\_\_ \ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ for all
%possible $\mathbf{b}$,

%\vspace{1pt}

%according to Theorem 4. \ 

\newpage

\textbf{Esim: \ } Virittävätkö $A:$n sarakeet $\R^3:$n, kun $A=\left[ 
\begin{array}{rrr}
1 & 2 & 3 \\ 
2 & 4 & 6 \\ 
0 & 3 & 9%
\end{array}%
\right] $ .

\vspace{1pt}\textbf{Ratkaisu: }

$\left[ 
\begin{array}{rrr}
1 & 2 & 3 \\ 
2 & 4 & 6 \\ 
0 & 3 & 9%
\end{array}%
\right] \thicksim \qquad $

\vspace{1pt}

Paljastuu 1. rivioperaatiossa!


\begin{center}
\vspace{1pt}

\vspace{1pt}

\vspace{1pt}
\end{center}

%By Theorem 4, the columns of $A\bigskip $ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_%
%\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.

\begin{center}
--- $1.4$ loppuu tähän ---
\end{center}

\end{slide}
\end{document}

\vspace{1pt}

\vspace{1pt}

\paragraph{\protect\vspace{1pt}Another method for computing $A\mathbf{x}$}

\vspace{1pt}

\begin{description}
\item Read Example 4 on page 44 through Example 5 on page 45 to learn this
rule for computing the product $A\mathbf{x}$.
\end{description}

\vspace{1pt}

\textbf{Theorem 5}

\begin{description}
\item If $A$ is an $m\times n$ matrix, $\mathbf{u}$ ja $\mathbf{v}$ are
vectors in $\mathbf{R}^{n}$, ja $c$ is a scalar, then:

\item a. \ $A\left( \mathbf{u}+\mathbf{v}\right) =A\mathbf{u}+A\mathbf{v;}$

\item b. $A\left( c\mathbf{u}\right) =cA\mathbf{u.}$
\end{description}

\end{slide}
\end{document}
