L 9, ti 21.11.06

1 Vektori/matriisifunktioita, LRT/LRV

Matriisi- ja vektorifunktioita

Reaalimuuttujan t vektoriarvoinen funktio t ↦ v(t). Reaalimuuttujan t matriisiarvoinen funktio t ↦ A(t). (Edellinen on erikoistapaus jälkimmäisestä.) Derivaatta ja integraali ym. tarkoittavat alkioittaisia operaatioita.

Esimerkki 1.1 x (t) = [ \begin{matrix}t \\ t^{2} \\ e^{−t} \end{matrix} ] x′(t) = [ \begin{matrix}1 \\ 2 t \\ −e^{−t} \end{matrix} ]

A(t) = [ \begin{matrix}cos (t) & 0 \\ 1 & − sin (t) \end{matrix} ] , A′(t) = [ \begin{matrix}cos (t) & 0 \\ 1 & − sin (t) \end{matrix} ]

Lause 1.1 Summan ja tulon derivoimiskaavat pätevät:

\frac{d}{dt}(A(t) + B(t)) = A′(t) + B′(t), \frac{d}{dt}(A(t) B(t)) = A′(t) B(t) + A(t) B′(t).

Tod: Seuraavat suoraan vastaavista skalaarifunktioiden kaavoista. Katsotaan kuitenkin jälkimmäinen:

(A(t) B(t))_{ij} = ∑_{k} a_{ik}(t) b_{kj}(t).

Sovelletaan summan dervoimiskaavaa ja kussakin yhteenlaskettavassa tulon kaavaa. Siitäpä se.

Huom! Vaikka matriisit olisivat neliömatriiseja (siis kertomiskelpoisia myös toisinpäin), ei saa vaihtaa tulontekijöiden järjestystä!

Funktioiden LRT/LRV

Jos on opiskeltu abstraktia lineaarialgebraa, ei näitä tarvitse erikseen määritellä. Meillä ei näin tehty, joten

Määritelmä 1.1 Vektorifunktiot v_{1}, …, v_{n} ovat LRT välillä I = (a, b), jos c_{1} v_{1}(t) + … + c_{n} v_{n}(t) = 0 ∀t ∈ I ⟹ c_{1} = … c_{n} = 0.

(Tämä on sopusoinnussa yleisen LRT- määritelmän kanssa, koska kaksi funktiota ovat samoja määrittelyvälillään I, jos ne yhtyvät kaikissa pisteissä t ∈ I.)

Lemma 1.2 (LRT-lemma) Olkoot vektorifunktiot muotoa x_{j}(t) = f_{j}(t) v_{j} , missä f_{j}:t skalaarifunktioita ja v_{j} :t vakiovektoreita. Jos kullakin f_{j} :llä on vain äärellinen määrä nollakohtia välillä I, niin funktiot x_{1}(t), …, x_{n}(t) ovat LRT, mikäli vakiovektorit v_{1}, …, v_{n} ovat LRT.

Tod: Koska väli I on ääretön ja nollakohtia on yhteensä vain äärellinen määrä, voidaan valita (jopa äärettömällä valinnanvapaudella) piste t_{0} ∈ I, jossa f_{j}(t_{0}) ≠ 0 ∀j = 1 … n. Jos nyt

c_{1} f_{1}(t)v_{1} + … + c_{n} f_{n}(t)v_{n} = 0 ∀t ∈ I,

niin erityisesti

c_{1} f_{1}(t_{0}) v_{1} + … + c_{n} f_{n}(t_{0}) v_{n} = 0

Koska v_{j} :t LRT ja jokainen f_{j}(t_{0}) ≠ 0, on oltava c_{1} = …, c_{n} = 0.

Huom: Tätä lemmaa sovelletaan usein tilanteessa, jossa f_{j}(t) ≠ 0 ∀t ∈ I.