\documentclass[finnish,11pt,twocolumn]{article}
%\documentclass[11pt,a4paper,finnish]{amsart}
%\usepackage{amsmath}
%\usepackage{/home/apiola/tex/KP3harj}
\usepackage{KP3harj}
\usepackage[dvips]{epsfig}

\def\Ln#1{\textit{Ln #1}}
\def\Log#1{\textit{Log #1}}
\def\Re {\textit{Re}}
\def\Im {\textit{Im}}
\def\Arg {\textit{Arg}}
\def\arg {\textit{arg}}


\begin{document}
%\input{/home/apiola/tex/AmsLTXfiMacro.tex}
%\input{AmsLTXfiMacro.tex}

\subsection*{Mat-1.1332 Matematiikan peruskurssi KP3-II } 

 
\hfill Apiola/Häme

\textbf{Tentti 3.2.2007, ratkaisuja} 

Osa ratkaisuista: helmi07ratk.html (myös .mws)

\begin{enumerate}

\item
(a) Lausu $b_2:$n ja $b_3:$n avulla ehto, jolla yhtälösysteemillä
$A\,\x = \b$ on ratkaisuja.

\textbf{Vast:} 

$${b_3}+1-1/2\, b_2=0$$

Yksityiskohdat: \texttt{helmi07ratk.html}.

(b) Määritä yllä olevalla ehdolla kaikki yhtälösysteemin ratkaisut,
kun $b_3 = -2.$ 

$$
\left[ \begin {array}{c} x_{{1}}=-{\frac {13}{7}}\,t+4/7\\\noalign{\medskip}x_{{2}}=-5/7\,t+1/7\\\noalign{\medskip}x_{{3}}=t
\end {array} \right]
$$

Yksityiskohdat: \texttt{helmi07ratk.html}.

\item
Olkoon $P$ ($n\times n$) stokastinen matriisi.

%\begin{itemize}

%\item[(a)]
(a) 
Osoita, että $1$ on $P:$n ominaisarvo.\\

\textbf{Tod:}
Tiedetään (ja muistetaan), että matriisin ja sen transpoosin ominaisarvot ovat 
samat. Vitsi on siinä, että transpoosin rivisummat $= 1$.

Olkoon siis $Q=P^T.$ Jos $Q:$lla kerrotaan ykkösistä koostuva vektori, niin
silloinhan saadaan tulokseksi samainen ykkösistä koostuva vektori. Kaavan muodossa näin ($n=3$):

$$Q=\left[ \begin {array}{ccc} q_{{1,1}}&q_{{1,2}}&q_{{1,3}}\\\noalign{\medskip}q_{{2,1}}&q_{{2,2}}&q_{{2,3}}\\\noalign{\medskip}q
_{{3,1}}&q_{{3,2}}&q_{{3,3}}\end {array} \right] $$ 

Olkoon $\u=\left[1,1,1\right]^T.$ Nytpä:

$Q\,\u =
 \left[ \begin {array}{ccc} q_{{1,1}}&q_{{1,2}}&q_{{1,3}}\\\noalign{\medskip}q_{{2,1}}&q_{{2,2}}&q_{{2,3}}\\\noalign{\medskip}q
_{{3,1}}&q_{{3,2}}&q_{{3,3}}\end {array} \right] \left[ \begin {array}{c} 1\\\noalign{\medskip}1\\\noalign{\medskip}1\end {array} \right] =  
\left[ \begin {array}{c} q_{{1,1}}+q_{{1,2}}+q_{{1,3}}\\\noalign{\medskip}q_{{2,1}}+q_{{2,2}}+q_{{2,3}}\\\noalign{\medskip}q
_{{3,1}}+q_{{3,2}}+q_{{3,3}}\end {array} \right] 
=\left[ \begin {array}{c} 1\\\noalign{\medskip}1\\\noalign{\medskip}1\end {array} \right] = \u
$

Alussa todetun mukaan siis $\lambda=1$ on $P:$n ominaisarvo.\\
\textbf{Huom!} Ominais{\bf vektori} ei säily transponoitaessa, joten 
mitään yleistä tietoa ei saada vastaavasta ominaisvektorista.

%\item[(b)]
(b)
Pidetään tunnettuna, että $\lambda=1$ on stokastisen matriisin 
it\-seis\-ar\-vol\-taan suurin ominaisarvo.
 
Olkoon $P$ ($n\times n$) stokastinen matriisi, jonka kaikki ominaisarvot ovat keskenään erisuuret.
Olkoon $\x_0\in\R^n$ jokin alkupistevektori. 
%joka edustaa prosenttilukuja, ts. $\x_0(j)\geq 0$ ja $\sum_{j=1}^n \x_0(j)=100.$\\
Osoita, että iteraatio $\x_k = P \x_{k-1}, k=1,2, \ldots, $ suppenee
kohti ominaisarvoa $1$ vastaavaa ominaisvektoria, valittiinpa alkuarvovektori $\x_0 \neq \vec{0}$ miten tahansa.

\textbf{Tod:} Koska kaikki ominaisrvot ovat erilliset, niin $P:$n 
ominaisvektorit $\v_1,\v_2,\ldots,\v_n$ muodostavat $\R^n:$n kannan.
Olkoon $\lambda_1=1$ suurin ominaisarvo ja $\v_1$ vastaaava ominaisvektori.

Lausutaan alkupistevektori tämän ominaisvektorikannan avulla:\\
$\x_0 = c_1\, \v_1 + c_2\, \v_2 + \ldots + c_n\, \v_n.$
Nytpä:
$$\x_1 = P\, \x_0 = c_1\,\underbrace{P\, \v_1}_{\lambda_1\,\v_1} +  
c_2\, \underbrace{P\, \v_2}_{\lambda_2\, \v_2} + \ldots + 
c_n\,\underbrace{P\, \v_n}_{\lambda_n\, \v_n}.$$

Soveltamalla matriisia $P$ tähän, saadaan samalla tavalla:

$$\x_2 = P\, \x_1 = c_1\,\lambda_1^2\,\v_1 +  c_2\,\lambda_2^2 \, \v_2 + \ldots + c_n\,\lambda_n^2\, \v_n.$$
ja yleisesti:
$$\x_k =  c_1\,\v_1 +  c_2\, \lambda_2^k \, \v_2 + \ldots + c_n\,\lambda_n^k\, \v_n \ \ (\text{koska}\ \  \lambda_1=1).$$

Koska $|\lambda_j| < 1,\ \ j=2,\ldots, n,$ niin $\lambda_j^k \to 0,$ kun 
$k \to \infty,$ joten $\x_k \to c_1\, \v_1,$ kun $ k \to \infty .$

Tämä riittää. \\
Joku voi jäädä pohdiskelemaan: \emph{Entä jos alkuvektori $\x_0$ sattuu 
olemaan sellainen, että} $c_1 = 0.$ ($\R^3:$ssa tällaisia olisivat kaikki vektorit, 
jotka sijaitsevat ominaisarvoa $\lambda=1$ vastaavan  
ominaisvektorin  normaalitasossa.)
Tällaiselle alkuvektorillehan kävisi niin,
että $\x_k \to \0.$ Mutta, alkuvektorimme ei ole ihan mikä tahansa. 
Sitä 
voidaan sanoa "todennäköisyysvektoriksi", ts. $\sum_{j=1}^n x_j = 1$ ja $x_j \geq 0.$
(Jos summa on jotain muuta, sillä voidaan jakaa.)
Nyt on helppo nähdä, että kun todennäköisyysvektori kerrotaan stokastisella
matriisilla, tuloksena on todennäköisyysvektori. (Yleisesti: alkioiden 
ei-negatiivisuus ja summa säilyvät).
Niinpä, $\x_k \to \vec{0}$ ei ole mahdollinen millään alkuvektorilla 
$\x_0 \neq0$ ja siis $c_1 > 0$ kaikilla kyseeseen tulevilla $\x_0.$




%\item[(c)] 
(c)


$$P=\left[ \begin {array}{ccc}  0.93& 0.02& 0.04\\\noalign{\medskip} 0.03
& 0.93& 0.04\\\noalign{\medskip} 0.04& 0.05& 0.92\end {array} \right]
$$
kertomalla, tässä rivien ja sarakkeiden järjestys etenee oikeistosta vasemmistoon.

Ominaisvektorit muodostavat siis $\R^3:$n kannan, kun ne tiedetään 
erisuuriksi. (Muistathan, että tämä on riittävä, muttei suinkaan
välttämätön ehto.)

Laskettavaksi jää vain ominaisrvoa $\lambda=1$ vastaava ominaisvektori:

$$A-1\,I = \left[ \begin {array}{ccc} - 0.07& 0.02&
 0.04\\\noalign{\medskip} 0.03& - 0.07& 0.04
\\\noalign{\medskip} 0.04& 0.05&- 0.08
\end {array} \right]
$$

Tämä kun Gaussataan, saadaan:

$$
\left[ \begin {array}{ccc} - 0.07& 0.02&
 0.04\\\noalign{\medskip} 0.0&- 0.061& 0.057
\\\noalign{\medskip} 0.0& 0.0& 0.0\end {array} \right]
$$

Takaisinsijoitus, antaa:

$$
\begin{cases}
x_2=0.9344262295\, {x_3}\\
 x_1=0.8384074941\,{x_3}
\end{cases}
$$
Annetaan $x_3:$lle jokin arvo ($>0$), vaikkapa $x_3=10$, jaetaan
summalla $s=x_1+x_2+x_3$ ja kerrotaan $100:$lla (jos halutaan
prosenttilukujen vektori).
Näin saadaan:
$$
\left[ \begin {array}{c} \textit{Kok}: 30.2\\
\noalign{\medskip} \textit{Ke}: 33.7
\\\noalign{\medskip} \textit{Sdp}: 36.1 \end {array} \right]
$$



%\item[(d)] 
(d)
Vapaaehtoinen pohdinta (ei pisteitä). 

(1) 
Ominaisarvot ovat $1,\, 0.904,\, 0.876$ . Miten voit niiden avulla arvioida
virhettä, joka tehdään, kun käytetään raja-arvoa? Vaikuttaako alkupiste?

\textbf{No}, koska 2. suurin ominaisarvo on noin suuri, tarvitaan aika
monta iteraatiota, jotta erotus raja-arvoon nähden olisi pieni.

$0.904^{40} = 0.0176.$ Tämä tekee ``häiriötermit'' jo kohtalaisen 
pieniksi, mikäli alkupistevektorin koordinaatit ominaisvektorikannassa
ovat samaa suuruusluokkaa. Jos alkupistevektorissa koordinaatti
$c_1$ on paljon pienempi muita, niin raja-arvomme kuvaa tilannetta,
joka menee jo reippaasti yli vaalien. (Kuinka ``reippaasti'', riippuu
siitä, kuinka paljon ``pienempi''.)


(2) Kuka on seuraava pääministeri?
%No, tämä siirtymämatriisi on täysin ``hatusta tempaistu''.
Sanotaan, kuten poliitikotkin: Odotetaan ensin vaalin tulos.\\
(Todettakoon, että siirtymämatriisille $P$ ei ole minkään valtakunnan
reaaliteetteihin pohjautuvaa perustetta, kunhan nyt se, että kannatusluvut pysyvät kohtuullisen lähellä toisiaan.)


%\end{itemize}


\item
Tarkastelun kohteena olkoon systeemi $\y'=A\, \y$, missä 
$A=\left[ \begin {array}{cc} 0&1\\\noalign{\medskip}-9&0\end {array}
 \right] $

%Olkoon (a) $c > 0$ (voit ottaa $c=9$) ja (b)  $c < 0$ (voit ottaa $c=-9$).

{\it
Muodosta yleinen ratkaisu reaalisessa muodossa, ja ratkaise
erityisesti alkuarvotehtävä $\y(0)=\left[1,0\right]$ ja  piirrä 
ratkaisu faasitasokuvaan. 
\
Hahmottele faasitasokuvan trajektoriparvi
suuntanuolineen ja ilmoita $O$:n tyyppi ja stabiilisuus.
}

Ominaisarvot: $\pm i, $  ominaisvektorit: $1 \pm 3\,i$. 
Merk. $\lambda=i$ ja $\w=\left[1 , 3\,i\right]$ .

Yleinen ratkaisu:
$y(t)=\left[\u \ \ \v\right]\, e^{\alpha t}
\left[ \begin {array}{cc} \cos \left( \beta\,t \right) &\sin \left( 
\beta\,t \right) \\\noalign{\medskip}-\sin \left( \beta\,t \right) &
\cos \left( \beta\,t \right) \end {array} \right] 
\left[ \begin {array}{c} {\it A}\\\noalign{\medskip}B\end {array}
 \right],
$

missä $\u = \Re(\w)=\left[1,0\right]^T$, $\v = \Im(\w)=
\left[0,3\right],$ $\alpha=\Re(\lambda)=0,\ \
\beta=\Im(\lambda)=3.$

Siis yleinen ratkaisu: 


$$y(t)=
\left[ \begin {array}{cc} 1&0\\\noalign{\medskip}0&3\end {array}
 \right]
\left[ \begin {array}{cc} \cos \left( 3\,t \right) &\sin \left( 
3\,t \right) \\\noalign{\medskip}-\sin \left( 3\,t \right) &
\cos \left( 3 \,t \right) \end {array} \right] 
\left[ \begin {array}{c} {\it A}\\\noalign{\medskip}B\end {array}
 \right]=\left[ \begin {array}{cc} \cos \left( 3\,t \right) &\sin \left( 3\,t \right) \\\noalign{\medskip}-3\sin \left( 3\,t \right) &
3\cos \left( 3 \,t \right) \end {array} \right]
\left[ \begin {array}{c} A\\\noalign{\medskip}B\end {array} \right]
$$

Alkuehdosta seuraa välittömästi: $A=1,\ \ B=0, $ ts. 
$\y(t)=
\left[ \begin {array}{c} \cos \left( 3\,t \right) \\\noalign{\medskip}-3\,\sin \left( 3\,t \right) \end {array} \right]$
Trajektorit ovat siis ellipsejä, joiden puoliakselit ovat $1$ ja $3$ 
ja kiertosuunta on myötäpäivään. (Vie $-$ merkki sinin ja kosinin sisään.) 

Kiertosuunta nähdään myös suoraan yhtälöstä: Jos lasketaan suuntanuoli pisteessä $\left[1,0\right],$ niin ei muuta kuin $\y' = A\,\left[ \begin {array}{c} 1\\\noalign{\medskip}0\end {array} \right] = \left[ \begin {array}{c} 0\\\noalign{\medskip}-9\end {array} \right],$ joten pisteestä $\left[1,0\right]$ lähdetään
todellakin alaspäin.

Muut trajektorit ovat samanmuotosia ellipsejä, alkuehto 
$\y(0)=\left[c,0\right]$ antaa ellipsin: 
$\y(t)= c\,
\left[ \begin {array}{c} \cos \left( 3\,t \right) \\\noalign{\medskip}-3\,\sin \left( 3\,t \right) \end {array} \right]$
%piirtäminen on erityisen helppoa, kun koordinaattimuunnos on pelkkä diagonaalikuvaus, (y-suuntainen vektori 
%kerrotaan 3:lla). Trajektorin puoliakselit saadaan $t:$n arvoilla
%$0$ ja $\frac{\pi}{2}.$ Tällä trajektorilla $\y(\frac{\pi}{2})=
%\left[0,3\right]^T$.

Kyseessä on \emph{keskus}, O on (heikosti) stabiili.\\
Kuvat ja Maple-käsittely: 
\verb_ www.math.hut.fi/opetus/KP3-ii/06/KOE/helmi06ratk.html_









\item %4
Sovella {\em Eulerin menetelmää} 
alkuarvotehtävään \\ $y'' = t y' - 3 y, \ \ y(0)=1, y'(0)=-3$.

Suorita ensin yksi askel arvolla $h=0.2$
ja sitten 
2 askelta arvolla $h=0.1 .$

Vertaa kumpaakin tulosta tarkkaan ($4$:llä numerolla) arvoon\\ 
$y(0.2)=0.3482$ ja totea, että virhe
käyttäytyy (kutakuinkin) Eulerin menetelmälle luonteenomaisesti.

\textbf{Ratkaisu:} Ensin muunnos: $y_1=y,\ \ y_2=y'=y_1',$ joten:

$$
\begin{cases}
y_1' = y_2 \\
y_2' = -3\,y_1 + t\, y_2,
\end{cases}
$$
Ts. $\y' = \f(t,\y),$ missä $\f(t,\y)=
 \left[ \begin {array}{c} y_2\\\noalign{\medskip}-3\,y_1 + t\, y_2\end {array} \right],$ alkuarvo: $\y(0)=
 \left[ \begin {array}{c} 1\\\noalign{\medskip}-3\end {array} \right].
$

(a) $h=0.2,$ yksi askel.\\
$\y_0 = \left[ \begin {array}{c} 1\\\noalign{\medskip}-3\end {array} \right] .$



$$\y_1 = \left[ \begin {array}{c} 1\\\noalign{\medskip}-3\end {array} \right] 
+ h\, \left[ \begin {array}{c} -3\\\noalign{\medskip}-3\cdot 1 + 0\cdot (-3)
\end {array} \right]
=
\left[ \begin {array}{c} 1\\\noalign{\medskip}-3\end {array} \right] - 
3\cdot 0.2\, \left[ \begin {array}{c} 1\\\noalign{\medskip}1\end {array} \right]=
\left[ \begin {array}{c}  0.40\\\noalign{\medskip}- 3.60\end {array} \right] . 
$$



(b)
$h=0.1$, kaksi askelta.\\
$$\y_1 = \left[ \begin {array}{c} 1\\\noalign{\medskip}-3\end {array} \right] - 0.3\, \left[ \begin {array}{c} 1\\\noalign{\medskip}1\end {array}
 \right]=
\left[ \begin {array}{c}  0.70\\\noalign{\medskip}- 3.30\end {array} \right] 
 $$

$$
\y_2= \left[ \begin {array}{c} {\it 0.7}\\\noalign{\medskip}-{\it 3.3}\end {array} \right] +
0.1 \left[ \begin {array}{c} -{\it 3.3}\\\noalign{\medskip}-3\,\cdot{\it 0.7}
- 0.1\,\cdot{\it 3.3}\end {array} \right] 
=\left[ \begin {array}{c}  0.3700\\\noalign{\medskip}- 3.543\end {array} \right] 
$$
 
\textbf{Virheet}

Annettu tarkka (4:llä numerolla): $y_t=y(0.2)= 0.3482$\\
Yllä lasketut Euler-approksimaatiot: $y_a=0.4, \ \ y_b=0.37.$
Virheet:


$ v_a=y_t-y_a =  -0.0518,\ \ 
 v_b=y_t-y_b =  -0.0218.$
                      
$\frac{v_b}{v_a} = 0.4208494208.$

Kun askel puolittuu, niin virhe kutakuinkin puolittuu.

                             






%$
% \left[ \begin {array}{c} {\it 0.7}- 0.1\,{\it 3.3}
%\\\noalign{\medskip}- 1.01\,{\it 3.3}- 0.3\,{\it 0.7}\end {array}
% \right]
%$




\item  % 5
Sivuiltaan lämpöeristetyn sauvan ($c=1$) pituus olkoon $L=10$ cm.
Alkuhetkellä $t=0$ sauvalla on 
vakiolämpötila  $f(x)= 50^\circ$C, $\ \ 0 < x < 10$, ja sen päät sijoitetaan 
jääveteen, $0^\circ$C.

(a)
Määritä sauvan lämpötilafunktio $u(x,t).$
         
%(b)
%Totea sijoittamalla vuorotellen $x=0,\ \ x=10,\ \ t=0,$ että $u(x,t)$
%todellakin toteuttaa annetut alku- ja reunaehdot.

(b)
Kuinka pitk\"an ajan kuluttua sauvan keskipisteen l\"amp\"otila on 
$10^\circ$C?  Riitt\"a\"a käyttää approksimaationa sarjan ensimm\"aistä 
termiä. 
  
%\begin{center}
%\sc{KÄÄNNÄ} \vfill\eject
%\end{center}

\end{enumerate}


\subsection*{Kaavoja, ohjeita}

%Kaikkia kaavoja sinun ei tarvitse tarvita.


\subsection*{$\y'=A\, \y$, kompleksiset ominaisarvot}


Yleinen (reaalinen) ratkaisu on muotoa \\ 
$y(t)=\left[\u \ \ \v\right]\, e^{\alpha t}
\left[ \begin {array}{cc} \cos \left( \beta\,t \right) &\sin \left( 
\beta\,t \right) \\\noalign{\medskip}-\sin \left( \beta\,t \right) &
\cos \left( \beta\,t \right) \end {array} \right] 
\left[ \begin {array}{c} {\it A}\\\noalign{\medskip}B\end {array}
 \right],
$
missä $\u$ ja $\v$ liittyvät luonnollisella tavalla ominaisvektoreihin ja
$\alpha$ ja $\beta$ yhtä luonnollisella tavalla ominaisarvoihin.


\textbf{Fourier-kertoimet, $f$ määritelty välillä $(-L,L)$}

$$f(x)\sim a_0+\sum_{n=1}^\infty (a_n \cos {\frac{n \pi x}{L}}+
b_n \sin {\frac{n \pi x}{L}}),\ \ \textrm{missä} $$
$a_0={\frac{1}{2L}}\int_{-L}^L f(x)dx, \\
a_n={\frac{1}{L}}\int_{-L}^L f(x)\cos {\frac{n \pi x}{L}} dx ,\ \
b_n={\frac{1}{L}}\int_{-L}^L f(x)\sin {\frac{n \pi x}{L}} dx,\ \ n\in\N$


\textbf{Osittaisdifferentiaaliyhtälöitä}


Lämpö/diffuusioyhtälö (1-ulotteinen): $u_{t}=c^2\,u_{xx}$\\
%Laplacen yhtälö: $\nabla^2 u = u_{xx}+u_{yy}= 0$  (2-ulotteinen)\\% (elliptinen)\\

Lämpöyhtälön ratkaisu, kun sauvan pituus $L$, reunat $0^\circ:$ssa ja alkuehtona 
$u(x,0)=f(x):$

$$u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty B_n \sin\frac{n\,\pi\,x}{L}e^{-\lambda_n^2\,t},
\ \ \lambda_n=\frac{c\,n\,\pi}{L}, $$
missä kertoimet $B_n$ määrätään niin, että alkuehto toteutuu.

\vskip 0.5cm
\hrule


\end{document}


