\documentclass[finnish,11pt,twocolumn]{article}
%\usepackage{/home/apiola/tex/KP3harj}
\usepackage{KP3harj}
%\usepackage{ae,aecompl} 
%\usepackage{KP3vara}
\usepackage[dvips]{epsfig}
%\include{/home/apiola/tex/defs}
%\include{defs}
\def\abs#1{\vert #1\vert}      
\def\norm#1{\Vert #1\Vert}      
\def\innerp#1{\langle #1 \rangle}
\def\vnormone#1{\sum_k \vert #1_k \vert}
\def\vnorminf#1{\max_k \vert #1_k \vert}
\def\mnormone#1{\max_j \sum_i \vert#1_{ij}\vert}
\def\mnorminf#1{\max_i \sum_j \vert#1_{ij}\vert}
\def\rv{\hfill\break}
\def\matl{{\sc Matlab}}
\def\maple{{\sc Maple}}
\def\Ln#1{\textit{Ln #1}}
\def\Log#1{\textit{Log #1}}
\def\Re {\textit{Re}}
\def\Im {\textit{Im}}
\def\Arg {\textit{Arg}}
\def\arg {\textit{arg}}

\begin{document}

%\vspace{0.2cm}
%\begin{verbatim}
%\end{verbatim}


\harjoitus{1}{45}{6 -- 10.11.2006}

Kurssin www-sivuja:\\
Pääsivu:  \texttt{http://math.tkk.fi/opetus/kp3-ii/}\\%[2ex] 
Octave \texttt{http://www.gnu.org/software/octave/ }, voit ladata omalle
koneellesi (kohta "downloads")\\
Lyhyt Matlab-opas: \\
\verb_http://math.tkk.fi/~apiola/matlab/opas/lyhyt/_\\
%\texttt{http://prdownloads.sourceforge.net/octave/octave-2.1.73-1-inst.exe?use_mirror=surfnet}\\
%Luentosivu:  \texttt{http://math.tkk.fi/opetus/kp3-ii/06/L}\\%[2ex]
%Harjoitussivu:  \texttt{http://math.tkk.fi/opetus/kp3-ii/06/H}\\%[2ex]

\textbf{Harjoitussysteemi}

{\bf Alkuviikon (AV)} harjoitus on neuvonta- (tutorointi-) harjoitus. 
(Termin demoharjoitus käyttö on \textbf{ankarasti kielletty!!})\\
Tässä harjoituksessa merkitään läsnäolorasti nimen perään ja kahden ensimmäisen
tehtävän kohdalle, mikäli on valmis esittämään ao. tehtävän (taululla tai suullisesti) \\
Loput tehtävät tehdään yhdessä assistentin opastuksella. Jos aikaa jää, voidaan
aloitella LV-tehtävien tekoa.\\
{\bf Loppuviikon (LV)} harjoitus on perinteinen kotilaskuharjoitus.\\
Max-pisteet viikon harjoituksista ovat $1+2+6 = 9$.

\textbf{Huom!} Joissakin tehtävissä voitaisiin johonkin johtopäätökseen
päästä determinantin avulla. Näissä harjoituksissa ei kelpuuteta tällaisia
ratkaisuja, vaan harjoitellaan johtopäätösten tekoa rivioperaatioiden seurauksena.

\subsubsection*{Alkuviikko}

Tehtävät 1 ja 2 ovat kotitehtäviä, jotka käydään taululla läpi harjoituksen alussa.
%Teht. 1 taululla, tehtävä 2 voidaan käydä suullisesti niin, että eri oppilaat
%vastaavat eri kohtiin. Vastaukseen perustelu!

\begin{enumerate}

\item
Annettuna on $3\times 3-$systeemin liitännäismatriisi
$ \left[ \begin {array}{cccc} 1&2&3&4\\\noalign{\medskip}4&5&6&7
\\\noalign{\medskip}6&7&8&9\end {array} \right].$
Muodosta rivioperaatioilla porrasmuoto "ref"\/ --- "row echelon form".
Merkitse tukisarakkeet ja tukialkioiden paikat. Jatka sitten rivioperaatioita alhaalta ylöspäin päästäksesi redusoituun porrasmuotoon "rref".

\item
% Lay s. 12 t. 13, vast (5,3,-1)
Ratkaise yhtälösysteemi
$\begin{cases}
x_1-3\,x_3 = 8\\
2x_1+2x_2+9x_3=7\\
x_2+5x_3=-2
\end{cases}$

Muokkaa Gaussin rivioperaatioilla systeemi yläkolmiomuotoon, rengasta tukialkiot ja ratkaise. Voit operoida suoraan yhtälömuodolla tai liitännäismatriisilla
("augmented matrix"). Voit suorittaa takaisinsijoituksen suoraan ref-muodosta
tai edetä rref-muotoon. Opettavaisinta on tehdä molemmat. \\
Tarkistus: 1) Sijoita ratkaisusi yhtälöön tai 2) Käytä sopivaa 
matriisiohjelmaa, kuten Matlab/Octave. \\
\verb_A=[1 0 -3;2 2 9;...]; b=[8;7;-2]; x=A\b _


\item 
Annettuna on porrasmuotoon saatettujen lineaaristen systeemien liitännäismatriiseja muodossa, jossa $\blacksquare$ tarkoittaa nollasta poikkeavaa lukua,
$\ast$ mielivaltaista lukua (nolla tai ei) ja $0$ tarkoittaa puhdasta nollaa.
Kerro kussakin tapauksessa, montako yhtälöä ja tuntematonta on, onko systeemi
konsistentti vai ei ja konsistentissa tapauksessa ratkaisujen lukumäärä.
Jos lukumäärä on ääretön, selvitä, kuinka monta vapaata parametria ratkaisussa on.

\begin{center}
(a) $\ \left[ 
\begin{array}{rrrr}
\blacksquare & \ast & \ast & \ast  \\ 
0 & \blacksquare & \ast & \ast  \\ 
0 & 0 & \blacksquare & 0  \\ 
\end{array}\right]$\quad
(b) $\ \ \left[
\begin{array}{rrrrr}
0& \blacksquare & \ast & \ast & \ast  \\ 
0 & 0 & \blacksquare &  \ast & \ast \\ 
0 & 0 & 0 & 0 & \blacksquare \\ 
\end{array}%
\right] \qquad  $

(c) $\ \ \left[ 
\begin{array}{rrr}
\blacksquare & \ast & \ast \\ 
0 & \blacksquare & \ast \\ 
0 & 0 & 0
\end{array}
\right] \qquad $
(d) $\ \ \left[
\begin{array}{rrrrr}
\blacksquare & \ast & \ast & \ast & \ast   \\ 
0 & 0 & \blacksquare &  \ast & \ast \\ 
0 & 0 & 0 &  \blacksquare & \ast \\ 
\end{array}%
\right] \qquad  $
\end{center}

\item % Strang s. 45
Olkoon annettu yhtälösysteemi 
$\begin{cases}
x_1 +4 x_2 -2 x_3 = 1\\
x_1+7 x_2 -6 x_3 = 6\\
3 x_2 + q\,x_3   = t
 \end{cases}$
\textbf{Sanonta:} Systeemi on \emph{singulaarinen}, jos sillä ei ole yksikäsitteistä ratkaisua (vaan joko 1) $\ldots$ tai 2) $\ldots$) .\\
(a) Määritä luku $q$ siten, että systeemi on singulaarinen.\\
(b) Millä $t$:n arvoilla systeemillä on tällöin ratkaisuja?\\
(c) Määritä tällöin se ratkaisu, jolla $x_3 = 1.$




\item 
%\includegraphics[height=3.6cm, width=3.6cm]{img/harj1.eps}
%\vfill\eject
\emph{Tasapainolämpötilajakauma metallilevyssä} Kuva esittää metallilevyä,
joka on ylä- ja alapinnoiltaan lämpöeristetty ja jonka reunojen lämpötilat
on kiinnitetty. (Lämpöä virtaa vain reunojen kautta.) Tasapainolämpötilajakauma
saadaan \emph{Laplacen yhtälön $\Delta u=0$} ratkaisuna. Numeerinen approksimaatio voidaan laskea ns. differenssimenetelmällä: Jaetaan levy sopivilla hilaviivoilla osiin ja numeroidaan näin muodostuvat solmupisteet. Menetelmä: Kunkin 
hilasolmun lämpötila on naapurisolmujen lämpötilojen keskiarvo. (Johdetaan
kurssin lopulla.)


Muodosta $4\times 4-$ yhtälösysteemi solmujen $1,2,3,4$ lämpötilojen likiarvoille $u_1,u_2,u_3,u_4.$ 
Ohje: Aloitetaan solmusta 1: $u_1 = \frac{1}{4}(30 + u_2 + u_3 + 10)$. Vastaavasti muut kolme solmua.
 (Tehtävä jatkuu loppuviikolla.)
%\includegraphics[height=3.6cm, width=3.6cm]{img/lampohila.eps}
%\includegraphics{img/lampo.eps}
%\includegraphics[height=3.6cm, width=3.6cm]{img/lampo.eps}
%\vfill\eject

\begin{verbatim}
               20      20
        |----- o  ----  o ------|
        |                       |
        |                       |
     10 o      o 3      o 4     o  40
        |                       |
        |                       |
     10 o      o 1      o 2     o  40
        |                       |
        |                       |
        |----- o ------ o ------|
               30       30
\end{verbatim}

\end{enumerate}

\subsubsection*{Loppuviikko}

\begin{enumerate}

\item
(a)
Ratkaise AV tehtävän 5 (lämpö)yhtälösysteemi ja sijoita ratkaisulämpötilat ao. 
hilapisteisiin.\\
(b) ("vapaaehtoinen") Muodosta $4\times 4-$ matriisi, jossa on reunalämpötilat 
ja ratkaisemasi sisäpistelämpötilat sekä nurkissa lähinnä olevien kahden
reunasolmun keskiarvot tähän tapaan:
\verb_ U=[5 20 20 30;10 u3 u4 40; 10 u1 u2 40; 20 30 30 35];_
Piirrä ratkaisupinnan approksimaatio:\verb_ mesh(U)_ tai \verb_surf(U)_.

\item
(a)
Määritä lukuja $g,h,k$ koskeva ehto sille, että liitännäismatriisin
$ \left[ \begin {array}{cccc} 1&-4&7&g\\\noalign{\medskip}0&3&-5&h
\\\noalign{\medskip}-2&5&-9&k\end {array} \right]$
määräämällä systeemillä olisi ratkaisuja.\\
(b)
Määritä tällä ehdolla yleinen ratkaisu, kun $k=1$ ja $h=-1$.

Vast: (a) $h+2g+k=0$ .


\item
(a) Olkoon $3\times 5$ \emph{kerroinmatriisilla} $A$ kolme tukisaraketta.
Onko systeemi $A\,\x = \b$ konsistentti.\\
(b) Olkoon $3\times 6$-systeemin \emph{liitännäismatriisin} %$\tilde{A}$
$\textrm{Ab}$ viimeinen
(seitsemäs) sarake tukisarake. Onko systeemi konsistentti vai ei?\\
(c) Olkoon systeemin kerroinmatriisin $A$ jokaisella rivillä tukialkio.
Selvitä, miksi systeemi on konsistentti. 

\item
(a)
Kirjoita vektoriyhtälö\\
$x_{{1}} \left[ \begin {array}{c} -2\\\noalign{\medskip}3\end {array}
 \right] +x_{{2}} \left[ \begin {array}{c} 8\\\noalign{\medskip}5
\end {array} \right] +x_{{3}} \left[ \begin {array}{c} -1
\\\noalign{\medskip}6\end {array} \right]=\left[ \begin {array}{c} 0\\\noalign{\medskip}0\end {array} \right]  $ matriisiyhtälöksi $A\,x=b$.

(b) Kirjoita yhtälösysteemi
$\begin{cases}
4 x_1+x_2+3x_3= 9\\
x_1 - 7 x_2 -2 x_3 = 2\\
8x_1 + 6 x_2 - 5 x_3 = 15
\end{cases}
$
vektoriyhtälöksi.

Mieti eri muotojen geometrisia tulkintoja

\textbf{Kyllä vaan}, tehtävä on todella näin vaatimaton, siis sarakemuodosta 
rivimuotoon ja toisinpäin.



\item
Muodostavatko alla olevien matriisien sarakevektorit lineaarisesti riippumattoman
(\texttt{LRT}) vai riippuvan ( \texttt{LRV}) vektorijoukon.\\
(a)
$\left[ \begin {array}{ccc} -4&-3&0\\\noalign{\medskip}0&-1&4\\\noalign{\medskip}1&0&3\\\noalign{\medskip}5&4&6\end {array}
 \right]$ \qquad
(b) $\left[ \begin {array}{cccc} 1&-3&3&-2\\\noalign{\medskip}-3&7&-1&2\\\noalign{\medskip}0&1&-4&3\end {array} \right]$

\textbf{Ohje:} Kirjoita LRT/LRV-vektoriyhtälö ja muokkaa se matriisiyhtälöksi.
Tarkoitus on ymmärtää, eikä "Gaussata"\/ mekaanisesti.\\
\textbf{Huom:} Jälkimmäisessäkin saat mielellään laskea ref-muodon, mutta saat
myös päätellä tukialkioiden lukumäärätiedon perusteella. Pyydän, että et tässä
vetoa tyyppiä "$\R^3$:n $4$ vektoria ovat aina $\ldots$"\/ olevaan lauseeseen,
vaikka se onkin hyvä ohjenuora elämän varrelle.


\item
Oheinen kuva esittää liikenneverkkoa. Kuhunkin solmuun A,B,C,D tulevien
ja siitä lähtevien ajoneuvojen lukumäärien summa pysyy samana (solmuun ei
häviä eikä siinä synny ajoneuvoja).
Kadut ovat yksisuuntaisia nuolien osoittamalla tavalla.

\begin{center}
%\includegraphics{img/liikenne.eps}
\includegraphics{img/liik.eps}
\end{center}

(a) Muodosta yhtälösysteemi tuntemattomien ajoneuvomäärien $x_1,\ldots x_5$
suhteen.\\
(b) Määritä systeemin yleinen ratkaisu.\\
(c) Jos $x_4$:llä merkitty katuosuus suljetaan, niin mikä on yleinen ratkaisu?\\
(d) Määritä kohdan (c) tilanteessa pienin $x_1:$n ja suurin $x_3:$n arvo 
(jotta yhdensuuntaisuutta osoittavia liikennemerkkejä ei tarvitse kääntää).

Huom! Porrasmuotoon saattamisessa saat halutessasi käyttää Matlab/Octave-funktiota {\tt rref} (kts. \texttt{help rref}). 


%\includegraphics[height=3.6cm, width=3.6cm]{img/liikenne.png}
%\includegraphics{img/liikenne.png}
%\includegraphics{img/liikenne1.eps}
%\includegraphics[height=4cm, width=6cm]{img/liikenne.eps}
\end{enumerate}

\end{document}





