%{\large

Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyll� 2005.\\
{\today} \\ %24.10.2005
Heikki Apiola

\subsubsection*{Kirjallisuutta,www-sivuja}

%\begin{tehtratk}
%\bibitem{BF} 
\begin{itemize}
\item[{\tt [KRE]}] Kreyszig . 
\emph{Advanced Engineering Mathematics}, $8^{th}$ ed.,Wiley ,1999.

\item[{\tt [Lay]}] Lay . 
\emph{Linear Algebra}, $3^{rd}$ ed.,Addison Wesley ,2003.

\item[{\tt [TE]}] Timo Eirola . 
\emph{Lineaarialgebra}, L3-kurssimoniste 

\item[]
{\tt KP3-kurssien www-sivuja}
 \begin{itemize}
  \item[{\tt [wwwhome]}] {\tt http://math.tkk.fi/teaching/k3/index.html.fi} (Kurssin p��sivu)
  \item[] {\tt http://math.tkk.fi/teaching/k3/05/L/ominaisarvot.pdf}
   (T�m� pruju)
  \item[{\tt [wwwmaple]}] {\tt http://math.tkk.fi/teaching/k3/05/L/ominaisarvot.html}
  (Maple-ws:n html-versio: Ominaisarvojen havainnollistusta ja laskentaa,
  ``py�riv�t siniset ja punaiset nuolet'')
\end{itemize}

%\subsubsection*{Prujun luonne}

%Osa todistuksista on
%liian lyhyit�, jotta sellaisia voisi hyv�ksy� harjoitukissa tai kokeissa. 
%Ne ovat vain muistin
%tukena mielen viritt�miseksi luennolla tai oppikirjassa esitettyihin.
%Osa toki on ihan kokonaan auki kirjoitettu, etenkin ne, jotka ovat lyhyit�.
%Materiaalin puolestakaan kattavuus ei ole t�ydellinen.


%\end{itemize}
%\end{tehtratk}

\section{Ominaisarvot ja -vektorit}

Tarkasteltavana oleva matriisi on koko ajan {\bf neli�matriisi}, $A (n\times n)$.

\subsection*{Johdanto}


Ajatellaan neli�matriisia $A$ ennen kaikkea sen m��r��m�n lineaarikuvauksen kannalta.

T�h�n asti staattisia ongelmia: lineaarisen yht�l�ryhm�n ratkaisu.\\
Nyt k�sittelemme dynaamisia teht�vi�. Tyypillisesti tarkastelemme iteraatiota

$$\textrm{Alkupiste}\ \ \vec{x}_0, \ \ \vec{x_{k+1}}= A \vec{x_{k}}, k=0,1,2, \ldots . $$

T�ll�in joudumme laskemaan matriisin potensseja (joita neli�matriisille voidaan laskea).
Sovellutuksina n�emme mm. diskreettej� dynaamisia systeemej� (differenssiyht�l�systeemej�)
ja differentiaaliyht�l�systeemej�.

Ominaisarvoteht�vi� tulee luonnontieteelliss� sovelluksissa vastaan hyvin monessa paikassa.
Kyseess� on my�s insin��rimatematiikan kaikkein t�rkeimp��n ydinalueeseen kuuluva
aihepiiri. Lis�ksi: kaunis kappale lineaarialgebraa.



\subsection{M��ritelm� ja laskutekniikkaa} ($A$ on ($n \times n$)  
neli�matriisi.) 


  Tarkastellaan yht�l��
\begin{equation}\label{Oma}
  A \vec{x} = \lambda \vec{x}, \lambda \in \C 
\end{equation}

Yht�l�ll� on aina triviaaliratkaisu \vec{x}=\vec{0}, olipa $\lambda$ mik� tahansa
kompleksiluku. 

Teht�v�:

(a) M��rit� luku $\lambda$ siten, ett� 
yht�l�ll� ~(\ref{Oma}) on ei-triviaaleja ratkaisuvektoreita $\vec{x}$. \\
(b) M��rit� sitten kutakin ratkaisua $\lambda$ kohti ao. ratkaisuvektorit $\vec{x}$. 


\begin{maarit}
Lukua $\lambda$ sanotaan matriisin $A$ {\bf ominaisarvoksi} ja
vektoria $\vec{x}\neq \vec{0}$ vastaavaksi {\bf ominaisvektoriksi}, jos
$$A\vec{x}=\lambda \vec{x}.$$
\end{maarit}

Englanninkiell�: ``Eigenvalue, eigenvector''

\textbf{Havainnollistusta}

Geometrisesti ominaisvektori tarkoittaa suuntaa, joka s�ilyy samana (tai vastakkaisena) sovellettaessa
lineaarikuvausta $A$. Ominaisarvo kuvaa venytys/kutistussuhdetta, negatiivisessa tapauksessa lis�ksi
suunnan vaihtoa. 

Viitteesess� {\tt [wwwmaple]} on useita esimerkkej� lineaarikuvauksista $\R^2:$
ssa. Yksikk�ympyr�n keh�� kiert�v� sininen l�ht�nuoli kuvataan matriisilla kertomalla punaiseksi kuvanuoleksi. Animaatiota askel kerrallaan ajettaessa n�kyy
kohdat, joissa sininen ja punainen nuoli menev�t p��llekk�in. 
Siin� on ominaisvektori, ominaisarvo antaa venytys-/kutistuskertoimen, jolla
sininen saadaan punaiseksi. (Animaatioita voi ajaa askel kerrallaan Maplessa,
lataamalla {\tt ominaisarvot.mws} Mapleen. T�ll�in on mahdollisuus tehd� omia kokeiluja muillakin matriiseilla yms. Ilman Maplea voi katsella valmista
esityst� pelk�st��n selaimella {\tt ominaisarvot.html}.)



T�m� kuvailu p�tee reaalisiin ominaisarvoihin (ja -vektoreihin) n�hden. 
Kompleksisessa tapauksessa tilanne voi olla "ep�intuitiivisempi", kannattaa muistaa, ett� esim. $i$:ll�
kertominen merkitsee kiertoa tasossa kulman $\pi/2$ verran, joten skalaarilla kertominen ei tarkoita
(reaalisella) suoralla pysyttelemist�.



\begin{boxedminipage}[t]{15.5cm}
\textbf{Teht�v�n muokkaus ratkaistavaan muotoon}


%\vskip 0.2 cm



\begin{equation}\label{Oma}
  A \vec{x} = \lambda \vec{x}, \lambda \in \C \iff (A - \lambda I)\vec{x} = \vec{0}
\end{equation}

Kyseess� on siis homogeeniyht�l�, jonka kerroinmatriisi sis�lt�� parametrin
 $\lambda$. Se pit�� valita siten,\\ 
ett� HY:ll� on ei-triv. ratkaisuja, ts.
Gaussin eliminaation on tuotettava ainakin 1 nollarivi, joten
on oltava 
$\det(A-\lambda I)=0.$

\end{boxedminipage}

%\vskip 0.2 cm
%\hrule
%\vskip 0.2 cm


\begin{esim}
Lasketaan aluksi wwwmaple-ty�arkin ensimm�inen esimerkkitapaus:

$
A= \left[ \begin {array}{cc} 3&-2\\\noalign{\medskip}1&0\end {array}
 \right] 
$, 
$ D(\lambda)= \left| \begin {array}{cc} -\lambda+3&-2\\\noalign{\medskip}1&-\lambda
\end {array} \right| 
={\lambda}^{2}-3\,\lambda+2.$\\
T�st� saadaan nollakohdat, eli {\bf ominasiarvot}: 
$\lambda_1=1,\ \ \lambda_2=2.$

\textbf{Ominaisvektorit:}\\
$\lambda_1=1$

$A-I= \left[ \begin {array}{cc} 2&-2\\\noalign{\medskip}1&-1\end {array}
 \right],$  mist� saadaan $x_1=x_2,$ joten ominaisvektori on 
$\left[1,1\right]^T.$ (T�m� vektori on ominaisavaruuden kanta, toki voidaan kertoa mill� tahansa skalaarilla $c\neq 0$.)
 
$\lambda_2=2$


$A-2\,I= \left[ \begin {array}{cc} 1&-2\\\noalign{\medskip}1&-2\end {array}
 \right].$ Valitaan $x_2 = 1,$ jolloin $x_1 = 2.$ Saadaan siis $x_2=\lbrack
2,1\rbrack^T.$

\textbf{Muista} verrata laskun tuloksia www-ty�arkkiin, tai viel� mieluummin
piirr� paperille.

\end{esim}

\textbf{Huomioita:}\\
Jos $A$ on $2\times 2-$matriisi, voidaan ominaisvektoreita laskettaessa aina
j�tt�� toinen yht�l� pois, sill� matriisin rivien on oltava {\tt LRV}.\\
Kyseess� on nolla-avaruuden m��r��misteht�v�. T�ss� tapauksessa oli 
{\bf kaksi erisuurta ominaisrvoa}. T�ll�in $2\times 2-$matriisin tilanteessa 
saadaan aina kumpaankin ominaisarvoon liittyen yksiulotteinen 
ominaisavaruus.

 








\begin{esim} %$3\times 3-$matriisi
$A=
\left[ \begin {array}{ccc} 2&0&4\\\noalign{\medskip}0&6&0
\\\noalign{\medskip}4&0&2\end {array} \right] 
$

\textbf{Ominaisarvot:}

Muodostetaan $D(\lambda) = \textrm{det}(A-\lambda \, I) = 
-(\lambda+2)(\lambda-6)^2.$
T�m� saadaan kehitt�m�ll� 1. sarakkeen suhteen. Helpon tekij�ihin jaon toivossa
kannattaa s�ilytt�� laskut tekij�muodossa, kiirehtim�tt� kertomaan auki, ennenkuin on pakko. T�ss� teht�v�ss� pakkoa ei tule, vaan saadaan hyvin lyhyell� laskulla tuo tulos. (Yksityiskohdat kannattaa lukijan laskea itse.)

Koska tekij� $(\lambda+2)$ esiintyy potenssissa $1,$ sanotaan, ett�
ominaisarvon $\lambda_1=-2$ {\bf algebrallinen kertaluku} $M_{\lambda_1}= 1.$ Vastaavasti 
$(\lambda-6)$ esiintyy potenssissa $2,$ joten ominaisarvon $\lambda_2$ {\bf algebrallisen 
kertaluvun} $M_{\lambda_2}$ sanotaan olevan $2$.

\textbf{Lasketaan ominaisvektorit}

Sijoitetaan karakteristiseen matriisiin $K_\lambda=A-\lambda I$ $\lambda$:n
paikalle vuorollaan kukin ominaisarvo.

{\bf Ominaisarvoon $\lambda_1=-2$ liittyv�t ominaisvektorit}

$ K_{\lambda_1}=
\left[ \begin {array}{ccc} 4&0&4\\\noalign{\medskip}0&8&0
\\\noalign{\medskip}4&0&4\end {array} \right]
$

T�ss� ei rivioperaatioita tarvita. Alin rivi voidaan j�tt�� pois (identtinen ylimm�n kanssa).
Voidaan haluttaessa jakaa 1. rivi 4:ll� ja toinen 8:lla, muttei sek��n ole tarpeen.

2. rivi $\implies$ $x_3$ vapaa ja $x_2 = 0$. \\
1. rivi $\implies$ $x_1 = -x_3$.

Jos valitaan: $x_3 = 1,$ saadaan $\vec{v}_1 = \lbrack -1,0,1\rbrack^T .$

Saadaan 1-ulotteinen ominaisavaruus. Ominaisavaruuden $\lambda$ dimensiolle 
k�ytet��n merkint�� $m_\lambda$ ja nimityst� {\bf geometrinen kertaluku}. 
T�ss� tapauksessa algebrallinen ja geometrinen kertaluku yhtyv�t 
$m_{\lambda_1} =  M_{\lambda_1} = 1$.
 

{\tiny
Yleisesti voitaisiin muodostaa ref (tai rref).

\textit{ref}(K_{\lambda_1})=
 \left[ \begin {array}{ccc} 4&0&4\\\noalign{\medskip}0&8&0
\\\noalign{\medskip}0&0&0\end {array} \right]
$
T�st� n�hd��n heti, ett� nolla-avaruuden dimensio = $1$. ($n$-tukisarakkeiden lkm  = nollarvien lkm, kun kerran 
on neli�matriisi.)  T�ss� tapauksessa laskut eiv�t edellisest� yksinkertaistu,
koska matriisi oli jo heti yht� rivioperaatiota ja normeerausta vaille jopa 
rref-muodossa.

}  %endtiny

%Ominaisvektorit saadaan helpoimmin $rref-$ muodosta (jos joku sen meille valmiiksi laskee). K�sin laskettaessa
%ei yleens� kannattane ryhty� $rref$-laskuun, usein ei ole tarpeen edes $ref$-muotoa vied� loppuun.

%(Huomaa, ett� $2\times 2$-systeemiss� riitt�� aina rajoittua toiseen yht�l��n 
%(jos ominaisarvot on oikein laskettu, {\tiny ellei, niin ``who cares'' :-)}),
%rivioperaatiota ei siten tarvita ollenkaan.)

%T�ss� nyt k�yt�mme \maple:n rref-palvelua:

{\bf Ominaisarvoon $\lambda_2=6$ liittyv�t ominaisvektorit}


$K_{\lambda_2}=
 \left[ \begin {array}{ccc} -4&0&4\\\noalign{\medskip}0&0&0
\\\noalign{\medskip}4&0&-4\end {array} \right]
$

Nyt j�� vain yksi yht�l�, jossa voidaan kaksi muuttujaa valita vapaasti,
vaikkapa $x_3$ ja $x_2,$
ja ratkaisemalla $x_1 = x_3$. 

Saadaan kaksi LRT ominaisvektoria valitsemalla ensin $x_3=1, x_2=0$ ja sitten
p�invastoin $x_3=0, x_2=1$

$\vec{u}_1=\lbrack 1,0,1 \rbrack^T \ \ $,
$\vec{u}_2=\lbrack  0,1,0 \rbrack^T .$
Kertaluvut ovat taas samat: $m_{\lambda_2}=M_{\lambda_2}=2$. 

Siis ominaisavaruudet ovat:  $E_{-2}=$sp$\{\lbrack -1,0,1\rbrack \}$
ja $E_{6}=$sp$\{\lbrack 1,0,1\rbrack, \lbrack 0,1,0\rbrack \}$

({\tiny Yht�l�systeemien yhteydess� opitun systematiikan mukaan toimien saataisiin lis��m�ll�
1. rivi kolmanteen ja jakamalla viel� $-4:$ ll�, matriisi, jonka ensimm�inen rivi olisi $1, 0, -1$ ja muut nollarivej�. Siis $r=1, \ \ n-r = 3-1 = 2,$ joten
nolla-avaruuden dimensio $= 2.$ })

\vskip 2mm
%\hrule

J�ljemp�n� esitett�v�n lauseen mukaan eri ominaisarvoihin liittyv�t ominaisvektorit
ovat LRT, joten voimme sen turvin suoraan p��tell�, ett� laskemamme 3 ominaisvektoria
ovat LRT ja siis $\R^3$:n kanta.
Ilman tuota lausetta t�ytyisi turvautua ref:iin.


$$ \left[ \begin {array}{ccc} -1&1&0\\\noalign{\medskip}0&0&1
\\\noalign{\medskip}1&1&0\end {array} \right] \sim 
 \left[ \begin {array}{ccc} -1&1&0\\\noalign{\medskip}0&2&0
\\\noalign{\medskip}0&0&1\end {array} \right] 
$$

Kaikki sarakkeet ovat tukisarakkeita, joten sarakkeiksi latomamme 
ominaisvektorit ovat todellakin {\tt LRT}.

\huom {\bf Varo} harhaluulemasta, ett� lineaarinen riippumattomuus voitaisiin 
todistaa osissa niin, ett� osoitettaisiin vaikka kaksi vektoria LRT:ksi ja 
kolmas kummastakin LRT:ksi. Tokihan kolmas voi sijaita kahden viritt�m�ss� 
tasossa (ja muodostaa siis ensinmainittujen kanssa LRV joukon) ja olla 
kummankin kanssa eri suuntainen. \\
Edell� mainitussa (j�ljemp�n� esitett�v�ss�) lauseessa esiintyv�ss�
"ominaisvektoriniputuksessa" on kyse siit�, ett�
kaikki mahdolliset valinnat eri ominaisavaruuksista antavat LRT vektorijoukon.
Mutta, kuten sanottu, palataan.


\end{esim}

%\hrule

\subsection{Karakteristinen polynomi, ominaisarvon kertaluvut}

%\vskip 0.5 cm
|

Jos determinantti $D(\lambda)=\det(A-\lambda I)$ kehitet��n vaikkapa 1. sarakkeen mukaan, n�hd��n,
ett� se on polynomi, joka on muotoa:

$$D(\lambda)=(-1)^n \lambda^n + c_{n-1}\lambda^{n-1} \ldots + c_0.$$


Polynomi, jota sanotaan {\em karakteristiseksi polynomiksi}, on siis aina astetta $n$. 
Kertoimet $c_0$ ja $c_{n-1}$ on helppo m��ritt��. Edellinen saadaan laskemalla

$$c_0=p(0)=\textrm{det}(A-0\,I) = \textrm{det}(A).$$

J�lkimm�inen saadaan kertomalla diagonaalitermit $(\lambda - a_{i,i})$ ja 
ottamalla mukaan ... N�in saadaan $c_{n-1} = -(a_{11} + a_{22}+\ldots +a_{nn}).$


\emph{Algebran peruslause} sanoo, ett� {\bf jokaisella polynomilla, 
joka ei ole vakio, on kompleksitasossa nollakohta}. Lauseen todistus vaatii 
v�h�n enemm�n kompleksianalyysin ty�kaluja, kuin olemme t�ll� kurssilla 
k�sitelleet. Sit� voidaan
pit�� kurssin kannalta ``syv�llisen�'' ja toki muutenkin. Hieno tulos, jonka
elegantti toditus pohjautuu ns. \emph{Liouville'n} lauseeseen: Jokainen koko 
kompleksitasossa analyyttinen (kokonainen) funktio, joka on rajoitettu, on
vakio. (Sovella t�t� $1/p(z)-$ funktioon, jossa $p(z)$ on polynomi, jolla
ei ole kompleksitasossa yht��n nollakohtaa $\ldots$ . Ristiriita on k�den ulottuvilla.)

Lis�ksi on k�yt�ss�mme kaikkea muuta kuin syv�llinen asia: {\bf Jos polynomilla
$p(z)$ on nollakohta $z_0,$ niin se on jaollinen $(z-z_0):$lla.}
T�m�h�n seuraa heti kirjoittamalla $p(z)-p(z_0)$ ja toteamalla, ett� koska
vakiotermit kumoutuvat, saadaan jokaisesta termist� $z-z_0$ tekij�ksi.


Saadaan siten:

\begin{lause}[KRE8 Thm. 1 s. 373]
Neli�matriisilla $A$ ($n\times n$) on ainakin yksi ja korkeintaan $n$ 
erillist� ominaisarvoa.
Ne voivat olla kompleksisia, vaikka
matriisi olisi reaalinen.
%\begin{proof}
%\end{proof}
\end{lause}

Karakteristinen polynomi voidaan kirjoittaa muotoon:

$$D(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{k_1}  \dotsb (\lambda-\lambda_n)^{k_n} $$


Ominaisarvon $\lambda_k$ {\bf algebrallinen kertaluku} $M_\lambda$ tarkoittaa
kyseisen polynomin nollakohdan kertalukua.
Siten $M_{\lambda_k}$
ilmaisee
  siis potenssin $p_k$, jossa tekij� $(\lambda-\lambda_k)$ esiintyy.  

Voidaan sanoa, ett� $n\times n$-matriisilla on n kappaletta ominaisarvoja, kun kukin
otetaan niin monta kertaa kuin sen algebrallinen kertaluku ilmaisee.

\begin{maarit}
Ominaisarvoon $\lambda$ liittyv� \textbf{ominaisavaruus} $E_\lambda$ koostuu 
kaikista $\lambda$:aan liittyvist�
ominaisvektoreista ja nollavektorista. $E_\lambda$ on vektorialiavaruus, 
koska se on ($A-\lambda I$):n nolla-avaruus.\\
Ominaisarvon {\bf geometrinen kertaluku} $m_\lambda$ on ominaisavaruuden $E_\lambda$
dimensio. Siis $m_\lambda = \textrm{dim}(E_\lambda)$ .

\end{maarit}


%\begin{lause}[KRE8 Thm 2 s. 373]
%Ominaisavaruus $E_\lambda$ on "nimens� veroinen", siis aliavaruus.
%\end{lause}

%KRE- kirjan lause sanoo vain, ett� vakio kertaa ominaisvektori on edelleen 
%samaan ominaisarvoon liittyv� ominaisvektori.
%T�m� sin�ns� t�rke� huomio on erikoistapaus edell� olevasta.



%\begin{lause}
%\end{lause}

\subsubsection*{Ominaisarvojen ja -vektorien laskeminen, yhteenveto}

Kootaan viel� kertaukseksi toimintaohje:


\begin{enumerate}

\item
Muodostetaan karakteristinen polynomi 

$$ D(\lambda)=\det(A-\lambda I)$$

ja ratkaistaan
sen nollakohdat, n�in saadaan ominaisarvot.
\item
Ratkaistaan homogeeniyht�l�

$$(A-\lambda I)\vec{x}= 0,$$

ts. m��r�t��n nolla-avaruus $N(A-\lambda I)$
kullakin ominaisarvolla $\lambda$.
\end{enumerate}

Ratkaisussa on ainakin yksi vapaa parametri, sanokaamme $t$, joka voidaan valita
mielivaltaisesti (esim. t=1). Jos vapaita parametrej� on useita,
t�ytyy pit�� huoli siit�, ett� saadaan lineaarisesti riippumattomat
ratkaisuvektorit. Varma valinta esim. tapauksessa "3 vapaata parametria" on:\\

\begin{center}
Yksi ominaisvektori : parametrit: $1,0,0$ \\
Toinen ominaisvektori : parametrit: $0,1,0$ \\
Kolmas ominaisvektori : parametrit: $0,0,1$.
\end{center}


Jos kysyt��n vain ominaisavaruuden $E_\lambda$ dimensiota, eli ominaisarvon
$\lambda$ geometrista kertalukua, riitt�� m��ritt�� matriisin $A-\lambda\,I$
rangi $r,$ ts. tukisarakkeiden lukum��r�. Kysytty dimensio on silloin $n-r.$


\begin{boxedminipage}[t]{15.5cm}
\textbf{Kertaukseksi}

1. Ominaisarvot ovat 1-k�s, ominaisvektorit eiv�t.\\
2. Kuhunkin ominaisarvoon liittyy ominaisavaruus, p��m��r�n� on l�yt��
jokin kanta ominaisavaruudelle.
\end{boxedminipage}


\textbf{K�yt�nn�n (numeerisista) laskentamenetelmist�}

Polynomiyht�l�n ratkaisussa on useimmiten turvauduttava numeerisiin 
menetelmiin. Matlabissa on t�h�n tarkoitukseen funktio  {\tt roots}.
Oikeissa numeerisissa menetelmiss� lasketaan ensin ominaisvektorit (tai esim. muutama dominoiva ominaisvektori --
sellaiset, jotka vastaavat muutamaa suurinta ominaisarvoa). Ominaisarvot lasketaan vasta sitten.

Itse asiassa Matlabin {\tt roots}-komennon k�ytt� ominaisarvoteht�viss� on 
liev�� "itsepetosta". Se perustuu
algoritmiin, joka laskee annettuun polynomiin liittyv�n matriisin, ns.
``companion matrix'':n 
ominaisvektorit ja sitten ominaisarvot.
Sivutuotteena, er��nlaisena kuriositeettina, siit� saadaan helposti 
kohtuullinen polynomiyht�l�n ratkaisija.

Ominaisarvojen laskenta t�t� kautta on siten hy�dyllist� pelk�st��n 
perusasioiden opetteluun. Oikeaan laskentaan k�ytet��n komentoa {\tt eig}.

{\tiny
Matlabin ``is�'' {\em Cleve Moler}, joka on er�s nykyaikaisen tieteellisen
laskennan huomattavia vaikuttajapersoonallisuuksia, pit�nee polynomiyht�l�n
ratkaisemista nykyaikana hieman numeerisen analyysin sivuraiteille kuuluvaksi.
Siit� syyst� h�n ei luultavasti ole kiiruhtanut ottamaan Matlabiin
parasta alan algoritmia k�ytt��n. My�s Matlabin historia on hyvin
vahvasti juuri lineaarialgebrassa. Sill� alueella on erityisesti panostettu 
parhaisiin algoritmeihin, toki sitten my�s mm. differentiaaliyht�l�iss�.
}

\subsection{Illuusiot romahtavat -- esimerkkej�, defektiivisyys} 

|

Toinen illuusiomme voisi olla se,
ett� jokaisella reaalisella matriisilla olisi reaalinen ominaisarvo.
Koska kyseess� on polynomiyht�l�n nollakohta, tuo on varsin ep�realistinen
toive. My�s kiertomatriisin ajattelu antaa saman johtop��t�ksen. Lasketaan
joka tapauksessa esimerkki.

Vakavampi illuusio voisi olla se, ett� algebrallinen ja geometrinen kertaluku olisivat aina samat. Sit�h�n tukevat t�h�n menness� esiintyneet esimerkit.
Romutamme t�m�n illuusion heti esimerkill� ja kerromme, mit� tiedet��n
yleisesti kertalukujen suhtautumisesta toisiinsa.


\begin{esim}
Olkoon 
$A=
\left[ \begin {array}{cc} 0&1\\\noalign{\medskip}0&0\end {array}
 \right] 
$. Lineaarikuvauksena tarkasteltuna
$ A\,
\left[ \begin {array}{c} x_{{1}}\\\noalign{\medskip}x_2\end {array} \right] = \left[ \begin {array}{c} x_{{2}}\\\noalign{\medskip}0
\end {array} \right] .$

Siis kaikki $x_1-$akselilla makaavat vektorit kuvautuvat 0-vektoriksi, joten
ne ovat ($\VV{0}$:aa lukuunottamatta) ominaisarvoon $\lambda=0$ liittyvi� ominaisvektoreita. Muut kuin $x_1-$ akselin suuntaiset vektorit kuvautuvat my�s
$x_1-$akselille, joten ne eiv�t ole ominaisvektoreita. N�ytt�� siis silt�, ett�
kaikenkaikkiaan matriisilla on vain yksi ominaisvektori (tarkemmin sanottuna
yksi yksiulotteinen ominaisavaruus).

No mutta lasketaan toki my�s.

$D(\lambda)=\lambda^2$, joten $\lambda=0$ on (algebrallisesti) 
kaksinkertainen ominaisarvo, eli $M_0 = 2$. \\
Ominaisarvoon $\lambda=0$ liittyv� ominaisavaruus on 
sama kuin A:n nolla-avaruus. Koska A:lla on yksi tukisarake, t�m�n dimensio
on $2-1=1$. Ominaisvektorit m��r�ytyv�t yht�l�st�

$0\,x_1 + x_2 =0,$ eli $x_1$ mielivaltainen (voidaan ottaa $x_1=1$), $x_2 = 0.$

Siten ominaisavaruuden viritt�� vektori $\lbrack 1,0\rbrack^T$.\\ 
Ominaisarvon $0$ geometrinen kertaluku  $ m_0 =1$. 
Siis $m_0 < M_0.$ 
Sanotaan, ett� matriisi on \emph{defektiivinen}. Ominaisvektoreita
ei ole "tarpeeksi", jotta niist� voitaisiin muodostaa $\R^2:$n kanta.
\end{esim}
Miss��n esimerkiss�mme ei ole esiintynyt ep�yht�l�� toisinp�in, eli geometrinen
on ollut aina korkeintaan algebrallinen. T�m� onkin yleinen ominaisuus:

\begin{lause}
Yleisesti p�tee: $m_\lambda \leq M_\lambda$. Aito $ < $ on mahdollinen.

\begin{proof}

Edellinen on jossain m��rin syv�llinen asia, perustelu on pakko sivuuttaa.
J�lkimm�isen perustelee edellinen esimerkki.
\end{proof}
\end{lause}


\begin{esim} KRE esim. 4 s. 375. Reaalinen matriisi, jolla on kompleksiset ominaisarvot (ja -vektorit)


$$A=
\left[ \begin {array}{cc} 0&1\\\noalign{\medskip}-1&0\end {array}
 \right] .
$$

Kyseess� on kiertomatriisi 
$ \left[ \begin {array}{cc} \cos \left( \alpha \right) &-\sin \left( 
\alpha \right) \\\noalign{\medskip}\sin \left( \alpha \right) &\cos
 \left( \alpha \right) \end {array} \right] 
,$ kun kiertokulmana on $\alpha=\pi/2 .$

 \quad Nyt det$(A-\lambda\,I) = \left| \begin {array}{cc} -\lambda&1\\\noalign{\medskip}-1&-\lambda\end {array} \right| =  \lambda^2 +1,$ joten ominaisarvot ovat 
$\lambda=\pm i.$ \\

Lasketaan ominaisvektorit, ensin ominaisarvolle $\lambda=i$

Ratkaistavaksi tulee yht�l� $-ix_1 + x_2 = 0. $ Jos valitaan $x_2=1,$ on $x_1 = 1/i = -i.$
Saadaan ominaisvektoriksi $\lbrack -i, 1\rbrack^T$. \\
Huomaa, ett� kompleksisella skalaarilla kertominen on nyt sallittua. 
N�in saadaan vektoreita, jotka eiv�t ensi silm�yksell� n�yt� lineaarisesti riippuvilta.
Niinp�, jos
kerromme vaikka $i$:ll�, saamme yht� hyv�n kantavaktorin:
$\lbrack 1,i\rbrack^T$.

Ominaisarvoa $\lambda=-i$ vastaava ominaisvektori saadaan samalla tavalla. Itse asiassa sit� ei tarvitse
laskea, koska se on edell� lasketun ominaisvektorin liittovektori.
T�ll� tarkoitamme vektoria, jonka koordinaatit ovat edellisen liittolukuja.
\end{esim}


Todistetaan viimeksi todettu oikein lauseena.

\begin{lause}
Reaalisen matriisin kompleksiset ominaisarvot ovat pareittain liittolukuja.
Liittolukuja vastaavat ominaisvektorit ovat toistensa liittovektoreita.

\begin{proof}
Ominaisarvoja koskeva johtop��t�s voidaan tehd� kompleksiprujussa 
olevasta lauseesta: reaalikertoimisen polynomin kompleksiset juuret
ovat toistensa liittolukuja. \\
Itse asiassa t�t�k��n ei tarvita, kun huomataan, ett�
edellisen
perustana olevasta, liittolukujen laskutoimituksia koskevasta lauseesta
saadaan my�s
v�litt�m�sti s��nt� $\overline{A \vec{v}} = \overline{A}\overline{\vec{v}}.$

Niinp�, jos $A \vec{v} = \lambda\, \vec{v}$, niin 
$A\overline{\vec{v}} \underbrace{=}_{A \ \ \textrm{on reaalinen}}\overline{A}\overline{\vec{v}} =\overline{A\, \vec{v}} \underbrace{=}_
{A \vec{v}=\lambda \vec{v} }
 \overline{\lambda \vec{v}} =  \overline{\lambda} \overline{\vec{v}}. $

Johtop��t�s seuraa siten suoraan ominaisarvon/-vektorin m��ritelm�st�.

\end{proof}
\end{lause}

\begin{teht}
Laske yleisen kiertomatriisin 
$ A=\left[ \begin {array}{cc} \cos \left( \alpha \right) &-\sin \left( 
\alpha \right) \\\noalign{\medskip}\sin \left( \alpha \right) &\cos
 \left( \alpha \right) \end {array} \right] 
$ ominaisarvot ja -vektorit. Mill� kiertokulman arvoilla ovat reaaliset?
\end{teht}


%1. $D(\lambda)$ on reaalikertoiminen polynomi, joten v�ite seuraa kompleksilukujen peruslauseesta
%(kts. vaikka kompleksilukupruju).

%2. Olkoon $\vec{u}$ ominaisarvoon $\lambda=\alpha+i\beta$ liittyv� ominaisvektori. Kirjoitetaan
%$\vec{u}$ muodossa $\vec{x} + i \vec{y}$.

%$A \vec{u} = (\alpha + i \beta)\vec{u} = 
%(\alpha + i \beta)(\vec{x} + i \vec{y})=
%\alpha \vec{x} - \beta \vec{y} + i(\beta \vec{x} + \alpha \vec{y}).$


%$A \overline{\vec{u}} = \overline{A \vec{u}} = 
%(\alpha x - \beta y)(\vec{x} - i \vec{y})=
%\overline{\lambda}\overline{\vec{u}}.$
%\end{proof}
%\end{lause}




%\subsubsection*{Havainnollisesti}

%Ominaisvektori osoittaa suuntaan, jonka matriisin edustama lineaarikuvaus
%pit�� paikallaan. Ominaisarvo kuvaa sit�, miten paljon tapahtuu
%venym��/kutistumaa ko. suunnassa (negatiivisuus merkitsee
%vastakkaisuuntaisuutta).

%{\bf Kysymys.} Voiko kiertokuvauksella olla ominaisarvoja/vektoreita? 
%{\bf Vastausehdotus}: Jos kiertokulma on 0 tai $\pi$, niin kyll�, mutta muuten ei?

%{\bf Mutta:} Algebran peruslauseen mukaan jokaisella polynomiyht�l�ll� on
%ratkaisu kompleksitasossa.
%Siten kiertokuvauksellakin on ominaisarvoja, mutta ne ovat kompleksisia.
%Itse asiassa kompleksiluvulla kertominen merkitsee kiert�mist� tasossa.



\subsection*{Yhteenveto k�sitteist� ja m��ritelmist�}

\begin{enumerate}
  \item Ominaisavaruus $E_\lambda$ on  ominaisarvoon $\lambda$ kuuluvien 
ominaisvektorien joukko t�ydennettyn� 0-vektorilla.
 
 \item Spektri = ominaisarvojen joukko (kompleksitason osajoukko).

  \item Spektraalis�de: itseisarvoltaan suurimman ominaisarvon itseisarvo.
       Se antaa ympyr�n s�teen, jonka sis�ll� kaikki ominaisarvot (eli spektrin
       pisteet) ovat.

  \item Karakteristinen polynomi : $D(\lambda)= \det(A-\lambda I),$ tasan astetta $n$.

  \item Ominaisarvon $\lambda_k$ {\bf algebrallinen kertaluku} = $p_k$,
       kun karakteristinen polynomi esitet��n tekij�ihin jaetussa muodossa:
       
 $$D(\lambda)=(-1)^{n}(\lambda-\lambda_1)^{p_1}  \dotsb (\lambda-\lambda_n)^{p_n} $$

   Ominaisarvon $\lambda_k$ algebrallinen kertaluku $M_{\lambda_k}$ on
  siis potenssi $p_k$, jossa tekij� $(\lambda-\lambda_k)$ esiintyy.  

\item
  {\bf Geometrinen kertaluku} $m_\lambda$ tarkoittaa vastaavan
	ominaisavaruuden dimensiota.

   \item P�tee: $m_\lambda  \leq  M_\lambda$

   \item Matriisi A on {\bf defektiivinen}, 
 jos jollain ominaisarvolla
	$\lambda$ p�tee aito pienemmyys:  
$m_\lambda < M_\lambda$. T�ll�in matriisin ominaisvektoreita "puuttuu", niit�
ei ole tarpeeksi, jotta niist� saataisiin $\R^n$:n (tai $\C^n:$n) kanta.

\end{enumerate}




%\begin{lause}
%Eri ominaisarvoihin liittyv�t ominaisvektorit ovat LRT.


%\tod Helppo induktiotodistus  [QED]
%\end{lause}



%{\large

\subsection{Sovellutusesimerkkej�}


\subsubsection{Joustavan kalvon venytys, lineaarikuvauksen p��akselit}

Yksikk�kiekko olkoon joustava kalvo, jota muotoilee "siirtym�matriisi"

$A=
\left[ \begin {array}{cc} 5&3\\\noalign{\medskip}3&5\end {array} \right].
$


M��rit� p��suunnat, eli vektorit, joille venym� on mahdollsimman suuri/pieni.
Tai: Suunnat, joissa siirtym� s�ilyy yhdensuuntaisena paikkavektorin kanssa.
Matemaattisesti ilmaistuna: M��rit� matriisin m��r��m�n lineaarikuvauksen
\emph{p��akselit}.

\textbf{Ratkaisu}

Lasketaan ominaisarvot ja -vektorit, lukija tarkistakoon, ett� saadaan $\lambda_1=8, \lambda_2=2$ ja ett�
vastaavat ominaisvektorit ovat $\vec{u}_1=\lbrack 1,1\rbrack^T$,
$\vec{u}_2=\lbrack -1,1\rbrack^T$
%(Laskettu my�s Matlabilla alla.)

Ominaisvektorien k�ytt�kelpoisuus n�kyy nyt t�ss�:
Saamme {\bf ongelmaamme (matriisiin A) liittyen optimaalisen kannan} siin� 
mieless�,
ett� $A$:n m��r��m� lineaarikuvaus saa mahdollisimman yksinkertaisen esityksen.

Ominaisvektorit ovat varmasti {\tt LRT} (ne ovat jopa ortogonaaliset), joten
ne muodostavat $\R^2:$n kannan.

Esitet��n nyt mielivaltainen tason vektori $\vec{u}$ ominaisvektorikannassa:
$\vec{u}= \xi_1 \vec{u}_1 +\xi_2 \vec{u}_2. $

T�ll�in 

$$\vec{z}= A\vec{u} = \xi_1 A\vec{u}_1 +\xi_2\,A\, \vec{u}_2=
\xi_1 \lambda_1\vec{u}_1 + \xi_2 \lambda_2 \vec{u}_2=
8 \xi_1\vec{u}_1 + 2\xi_2\vec{u}_2.
$$

Koordinaattien v�linen kuvaus on ``ihana'': $\lbrack\xi_1,\xi_2 \rbrack
\mapsto \lbrack 8\xi_1,2\xi_2\rbrack$. Kumpikin kuvakoordinaatti riippuu vain
omasta l�ht�koordinaatistaan, ts. se saadaan diagonaalimatriisilla 
kertomalla. Jos kuvapisteen koordinaatteja (ominaisvektorikannassa) merkit��n
$(\eta_1, \eta_2),$ saadaan
$$
 \left[ \begin {array}{c} \eta_{{1}}\\\noalign{\medskip}\eta_{{2}}
\end {array} \right] =
 \left[ \begin {array}{cc} 8&0\\\noalign{\medskip}0&2\end {array}
 \right] 
\left[ \begin {array}{c} \xi_{{1}}\\\noalign{\medskip}\xi_{{2}}\end {array} \right] .
$$

T�ss� tapauksessa sattuu viel� niin onnellisesti, ett� ominaisvektorit
ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa 
\footnote{Jos osaisimme teoriaa enemm�n, tiet�isimme jo matriisin
ulkon��st�, ett� n�in k�y, koska matriisi on symmetrinen.}
, jolloin meill� on uusi luonteva
suorakulmainen koordinaatisto, johon voimme astua ja esitt�� pisteiden
koordinaatit normaalissa napakoordinaatistossa $\vec{u}_1 \vec{u}_2$-akselien
suhteen.
Otetaanpa siis jokin yksikk�ympyr�n piste: 
$(\cos\, \phi) \vec{u}_1 +(\sin\, \phi) \vec{u}_2 . $
Sen kuvapiste on siis $ (8\cos\, \phi) \vec{u}_1 + (2\sin\, \phi) \vec{u}_2 . $

Kuvapisteet piirt�v�t siten ellipsin, jonka esitys p��akselikoordinaatistossa
$\vec{u}_1 \vec{u}_2$ on 

$$
\begin{cases}
 \eta_1= 8\cos \phi \\
\eta_2= 2\sin \phi 
\end{cases},
$$
Toisin sanoen $$\left(\frac{\eta_1}{8}\right)^2 +
\left(\frac{\eta_2}{2}\right)^2 = 1.$$ 



\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=60mm]{img/paakseli1.eps}
%\includegraphics[width=70mm]{img/paakseli1.eps}
\caption{Yksikk�ympyr� ja sen kuva}\label{paakseli1}
%\includegraphics[width=70mm]{img/paakseli2.eps}
%\caption{Kuvaellipsi peruskoordinaatistossa ja kierrettyn� p��akseleille}\label{paakseli2}
\end{figure}

Esimerkkiin liittyv� \textbf{Matlab-ajo} on
tiedostossa \\
{\tt http://math.tkk.fi/teaching/k3/03/L/paakseli.m}

\subsubsection{Stokastinen matriisi, Markovin prosessi}

KRE8 s. 318 (``matrix multiplication'')


Oletetaan, ett� vuonna 2005 er��n kaupungin maank�ytt� jakaantuu n�in:

\begin{verbatim}

     I     asuntoalue              30%
     II    kaupallinen k�ytt�alue  20%
     III   teollisuusalue          50%

\end{verbatim}

Oletetaan, ett� siirtym�todenn�k�isyydet 5-vuotisjakson aikana saadaan
matriisista

P=
\begin {tabular}{|ccc|c|}
\hline
 I:\textrm{st�} &II:sta&III:sta& \\ 
\hline
0.8& 0.1&0& I:een\\
\noalign{\medskip} 0.1& 0.7& 0.1&II:een\\
\noalign{\medskip} 0.1& 0.2& 0.9&III:een\\ 
\hline
\end {tabular} 

\footnote{$P$ on sama kuin KRE-kirjan $A^T$, kirjassa kerrotaan matriisilla oikealta rivivektoria, kun taas me kerromme vasemmalta sarakevektoria.}



Tarkemmin sanottuna merkitt�k��n tyyppej� I, II ja III olevia maa-alueita 5-vuotisjakson lopussa vektorilla $\vec{x}_n=\lbrack a_n,k_n,t_n \rbrack^T.$ Seuraavan
 5-vuotisjakson lopussa p�tee
$\begin{cases}
a_{n+1} = 0.8\,a_n + 0.1\,k_n\\
k_{n+1} = 0.1\,a_n + 0.7\,k_n + 0.1\,t_n\\
t_{n+1} = 0.1\,a_n + 0.2\,k_n + 0.9\,t_n.
\end{cases}
$

Sarakesummien on oltava ykk�si�, koska jokainen tyyppi muuttuu joksikin
n�ist� kolmesta tyypist�, eik� miksik��n muuksi. (Rivisummat eiv�t yleens�
ole ykk�si�.)
Matriisin l�vist�j�valtaisuus kertoo sen, ett� kutakin tyyppi� olevasta 
alueesta suurin osa s�ilyy samaa tyyppi� olevana.


Kysymys siit�, mik� on tilanne $m$:n 5-vuotisjakson j�lkeen, ratkeaa pelk�st��n
matriisikertolaskulla.

$$\vec{x}_0 =
\left[ \begin {array}{c} 30\\\noalign{\medskip}20\\\noalign{\medskip}50\end {array} \right],\ \  
 \vec{x_1}= P\,\vec{x}_0 = \left[ \begin {array}{c}  26.0\\\noalign{\medskip} 22.0
\\\noalign{\medskip} 52.0\end {array} \right], \ \ 
\x_2= P\,\x_1 =
 \left[ \begin {array}{c}  23.0\\\noalign{\medskip}
 23.2\\\noalign{\medskip} 53.8
\end {array} \right],\ \ 
 \x_3= P\, \x_2 = \left[ \begin {array}{c}  20.72\\\noalign{\medskip}
 23.92\\\noalign{\medskip} 55.36
\end {array} \right], \ldots
$$


Matlabilla voitaisiin iteroida vaikka t�h�n tapaan. 

\begin{verbatim}
>> P=[0.8 0.1 0;0.1 0.7 0.1;0.1 0.2 0.9]
>> x0=[30;20;50];
>> x0'
ans =
    30    20    50              % v. 2005
>> x=x0                         % x olkoon muuttuja, johon iterointi kohdistuu.
>> x=P*x; x'                    % Tilan s��st�miseksi katsotaan vaakasuorassa.
ans =
    26    22    52              % v. 2010
>> x=P*x; x'
ans =
   23.0000   23.2000   53.8000  % v. 2015
>> x=P*x; x'
ans =
   20.7200   23.9200   55.3600  % v. 2020
\end{verbatim}

T�m� oli siis pelkk�� matriisikertolaskuharjoittelua.

Ominaisarvoteoria tulee mukaan, kun kysell��n, mit� tapahtuu pitk�ll�
aikav�lill�. Voidaan tietysti harrastaa matriisikertolaskua raakaan
voimaan turvautuen, mutta se ei anna ev�it� analysoida tilannetta.

Lasketaanpa ominaisarvot ja -vektorit. Emme uppoudu t�ss� ominaisarvolaskujen
yksityiskohtiin, niit� on jo harjoiteltu. Toisaalta on hyv� n�hd�, miten
laadukkaita numeerisia ohjelmia k�ytet��n ominaisarvoteht�viss�. Siksi n�ytet��n t�m� \matl:lla laskettuna.

\begin{verbatim}
>> P=[0.8 0.1 0;0.1 0.7 0.1;0.1 0.2 0.9]
P =

    0.8000    0.1000         0
    0.1000    0.7000    0.1000
    0.1000    0.2000    0.9000
>> [V,D]=eig(P)

V =
   -0.1826   -0.7071    0.4082    Ominaisvektorit ovat
   -0.3651    0.0000   -0.8165    sarakkeina.
   -0.9129    0.7071    0.4082
D =
    1.0000         0         0    Ominaisarvot ovat
         0    0.8000         0    diagonaalilla.
         0         0    0.6000
>> V*diag(1./V(1,:))          % Ominaisvektorien skaalaus.
ans =                         
    1.0000    1.0000    1.0000
    2.0000    0.0000   -2.0000
    5.0000   -1.0000    1.0000
\end{verbatim}

\matl-komento {\tt [V,D]=eig(P)} paluttaa kaksi matriisia, {\tt V:}n sarakkeina
ovat ominaisvektorit normeerattuna yksikk�vektoreiksi. Matriisi $D$ on
diagonaalimatriisi, jonka l�vist�j�ll� ovat vastaavat ominaisarvot.
Viimeinen  matriisi on tehty jakamalla kukin ominaisvektori ensimm�isell� 
komponentillaan, jolloin p��st��n (t�ss� teht�v�ss�) mukaviin 
kokonaislukukomponentteihin. (Komento sis�lt�� hiukan \matl-ajattelutavan
sis�ist�neen k�ytt�j�n tarjoilemaa eleganssia, toki voi tehd� (salaa) 
k�mpel�mminkin.)

N�hd��n, ett� kaikki ominaisarvot ovat positiivisia, suurin on $1$ ja 
muut ovat pienempi�.
My�hemmin osoitetaan, ett� eri ominaisarvoihin liittyv�t ominaisvektorit
ovat {\tt LRT}. Kun ei sit� viel� ole esitetty, niin ei muuta kuin "gaussataan".  

\begin{verbatim}
>> rref(V)
ans =
     1     0     0
     0     1     0
     0     0     1
\end{verbatim}
Kaikki sarakkeet ovat tukisarakkeita, joten $V:$n sarakkeet ovat varmasti 
{\tt LRT}.


Siisp� ne muodostavat $\R^3$:n kannan.
Aivan, kuten �skeisess� esimerkiss�, saadaan mahdollisimman yksinkertainen
tilanne operoimalla ominaisvektorikannassa.

Merkit��n ominaisvektoreita: $\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3,$ ja 
esitet��n:

$\vec{x}_0=c_1\vec{v}_1 + c_2\vec{v}_2 + c_3\vec{v}_3. $
Koska $P\,\v_k = \lambda_k\,\v_k, \ \ k=1,2,3,$ on \\
$\vec{x}_1=P \vec{x}_0=c_1 \lambda_1 \vec{v}_1 + c_2 \lambda_2 \vec{v}_2 + 
c_3\lambda_3 \vec{v}_3, $ miss� $\lambda_1=1.$

Jatkamalla iterointia, saadaan:

$\vec{x}_k=c_1 \vec{v}_1 + c_2 \lambda_2^k \vec{v}_2 + 
c_3\lambda_3^k \vec{v}_3. $ 

Koska $0 < \lambda_j < 1,$ kun $j=2,3$, l�henev�t 2 viimeist� termi� kohti
 $0$:aa, kun $k$ kasvaa. Siten prosessia dominoi ykk�st� (suurinta)
ominaisarvoa vastaava ominaisvektori.

Rajalla p��dyt��n vektoriin $\x = c_1 \vec{v}_1. $
Kerroin $c_1$ voidaan m��r�t� lausumalla alkupistevektori $\x_0$ 
ominaisvektorikannassa. Helpompaa on kuitenkin todeta, ett� kaikki vektorit
$\x_k$ ovat prosenttilukuja (johtuen ehdosta: sarakesummat $=1$), joten
my�s rajavektorin $\x$ komponenttien summan on oltava $100.$

Siisp� $c_1 = \frac{100}{1+2+5} = 12.5$ ja siis $x=\left[12.5,25,62.5\right]^T.$

Merkillepantavaa on, ett� tulos ei riipu alkujakaumasta lainkaan, vaan m��r�ytyy pelk�st��n matriisin $P$ dominoivasta ominaisvektorista.


%T�ss� tapauksessa:

%\begin{verbatim}

%>> Vx0=[V x0]    % Edell�h�n tehtiin [V,D] = eig(P);
%Vx0 =
%   -0.1826   -0.7071    0.4082   30.0000
%   -0.3651    0.0000   -0.8165   20.0000
%   -0.9129    0.7071    0.4082   50.0000
%>> rref(Vx0)
%ans =
%    1.0000         0         0  -68.4653
%         0    1.0000         0  -21.2132
%         0         0    1.0000    6.1237
%\end{verbatim}
%Niinp� $c_1=-68.4653$, joten pitk�ll� aikav�lill� tilanne stabiloituu
%jakaumaan:

%\begin{verbatim}
%>> -68.4653*V(:,1)
%ans =
%   12.5000
%   25.0000
%   62.5000
%\end{verbatim}

%Maagista!! Siten saadaan (l�ht�pisteest� riippumatta) sellainen ominaisarvoa
%$1$ vastaavan ominaisvektorin suuntainen tulos, jonka koordinaattien summa
%$= 100.$ 

%Maagiselta tuntuu kenties se, ett� $c_1$-kerroin on sama riippumatta
%alkupisteest�. Se selittyy lis�ehdosta $x_1+x_2+x_3 = 100$. T�m�
%ominaisuus s�ilyy $P$-matriisilla kerrottaessa, joten rajavektorilla
%on sama ominaisuus. Siten raja-vektori on sellainen dominoivan ominaisvektorin
%suuntainen vektori, jonka koordinaatit $\ge 0$ ja $x_1+x_2+x_3 = 100$.
%Taatusti siis riippumaton alkupisteen valinnasta.

%(Koordinaattisumma s�ilyy sill�: $\sum_i p_{i,j} = 1 \forall j$. Olkoon
%$y_i=\sum p_{ij} x_j.$ 

%$\sum_i y_i = \sum_i \sum_j p_{ij} x_j = \sum_j (\sum_i p_{ij})x_j=
%\sum_j x_j .$ )

\subsubsection{Populaatiodynamiikkaa}

\begin{esim}[T�pl�p�ll�jen henkiinj��mistaistelu Kaliforniassa]

Vuonna 1990 oli vastakkainasettelu puuteollisuuden ja ymp�rist�nsuojelijoiden v�lill�.
Vanhojen ikimetsien hakkuut ja sen seurauksena mm. t�pl�p�ll�jen tuhoutuminen, vastaan
$30 000 \ldots 100 000$ ty�paikan menetys puuteollisuudessa.

Matemaatikot ryhtyiv�t viile�n objektiivisesti tutkimaan.

T�pl�p�ll�n elinkaari voidaan jakaa kolmeen luokkaan: \\
1. Lapsuus, $0 - 1$ v., 2. esiaikuisuus, $1-2$ v., 3. aikuisuus, yli $2$ v.\\
Keskim��r�inen elinik� n. $20$ v.

Kriittinen ajanjakso on silloin, kun lapsip�ll� l�htee pes�st��n, jolloin sen on l�ydett�v� uusi
kotialue ja pari.

Mallinnetaan tilannetta tarkastelemalla populaatiota vuoden v�lein ja jakamalle se n�ihin kolmeen luokkaan.
Oletetaan, ett� naaraita ja  uroita on samanverran, jolloin tarvitsee tarkastella vain naisv�ke�.

Populaatiovektori vuonna $k$ olkoon $\vec{x}_k = \lbrack l_k,e_k,a_k \rbrack$
("lapsi", "esiaikuinen", "aikuinen").



$$
\left[ \begin {array}{c} l_{{k+1}}\\\noalign{\medskip}e_{{k+1}}
\\\noalign{\medskip}a_{{k+1}}\end {array} \right] = \left[ 
\begin {array}{ccc} 0&0& 0.33\\\noalign{\medskip} 0.18&0&0
\\\noalign{\medskip}0& 0.71& 0.94\end {array} \right] 
 \left[ \begin {array}{c} l_{{k}}\\\noalign{\medskip}e_{{k}}
\\\noalign{\medskip}a_{{k}}\end {array} \right] 
$$


1. rivi: Kukin aikuinen naaras synnytt�� keskim��rin $0.33$ tytt�lapsip�ll�� vuonna $k$ (vuoden k+1 alkuun menness�). \\
2. rivi: Keskim��rin $0.18$ tytt�lasta selviytyy esiaikuiseksi vuoden $k+1$ alkuun.  \\
3. rivi: Vuoden $k$ esiaikuisista $0.71$ selviytyy aikuisuuteen ja aikuisista $0.94$ jatkaa aikuisel�m��
vuonna $k+1$. 

Yll� olevaa matriisia $A$ voidaan kutsua "vaihematriisiksi" ("stage matrix"). T�m� on per�isin oikeasta
tutkimusaineistosta: 

Lamberson et. al: Dynamic analysis of the viability of the Northern spotted owl in a fragmented
forest environment, julkaisussa: Conservation biology vuodelta $1992.$

T�ss� matriisissa alkio $a_{2,1}=0.18$ on  
kriittisin ymp�rist�tekij�iden vaikutuksille.
%joihin ymp�rist�tekij�t eniten vaikuttavat. 
Jos ikimets�t hakataan aukeiksi,
niin t�m� arvo k�y liian pieneksi. Arvo $0.18$ on jo liian pieni, 
kuten n�hd��n, jos analyysi vied��n p��t�kseen.

\end{esim}

Muotoa $\vec{x}_{k+1}=A \vec{x}_k$ olevaa systeemi� sanotaan {\bf differenssiyht�l�ksi}, usein puhutaan
my�s diskreetist� {dynaamisesta systeemist�}.

Yll� oleva esimerkki on per�isin kirjasta [{\tt Lay}] 
KRE-kirjassa [{\tt KRE}]  vastaavanlainen esimerkki
%~\cite{Lay}, ~\cite{KRE8:AEM}-
esiintyy nimell� {\em Leslie model} s. 378, Example 3

Palattaneen t�h�n esmerkkiin my�hemmin.

%{\large

\textbf{Maailman suurin ominaisarvoteht�v� -- Googlen "Page rank"}

Vuonna 2002 toukokuussa $2.7$ miljardia webbisivua.
The World's Largest Matrix Computation
Google's PageRank is an eigenvector of a matrix of order 2.7 billion.
(Huom: amerikkalaisille biljoona on sama kuin meille miljardi ($10^9$).)

\verb= www.mathworks.com/company/newsletters/news_notes/clevescorner/oct02_cleve.html=


\subsection{Matriisin diagonalisointi, ominaisvektorien {\tt LRT}} 
(KRE 7.5)

Edellisiss� esimerkeiss� n�imme, miten riemukasta oli, kun LRT 
ominaisvektoreita oli riitt�v�sti, avaruuden kannaksi saakka.
T�ss� kohdassa todetaan, ett� LRT ominaisvektoreita on ainakin yht�
monta kuin on erillisi� ominaisarvoja. 

Esit�mme my�s yleisess� matriisimuodossa saman asian, jonka esimerkeiss�mme
laskimme tapauksessa, jossa ominasivektoreita on riitt�v�sti.
T�t� sanotaan matriisin diagonalisoinniksi.

%T�ss� kohdassa ollaan jo
%Tutkitaan erityisesti ominaisvektorien ominaisuuksia. Jos ominaisvektoreita
%on tarpeeksi (n lineaarisesti riippumatonta, kun matriisin koko on 
%$n \times n$, saadaan ``herkkup�yt� katetuksi''.


\begin{maarit}
Neli�matriisit $A$ ja $B$ ovat {\em similaariset}, jos on olemassa s��nn�llinen
(k��ntyv�) $P$ siten, ett�

$B = P^{-1} A P.$ Merkit��n $A \sim B .$
\end{maarit}

\begin{lause}{[Similaarisuus s�ilytt�� ominaisarvot, KRE Thm 1]}

\begin{proof}  
Olkoon annettu $A$ ja olkoon $B = P^{-1} A P.$

Tapa 1)
Olkoon $\vec{x}$ matriisin $A$ ominaisarvoon $\lambda$ liittyv� ominaisvektori.
Siis $A\,\x = \lambda\,\x,\ \ \x\neq \vec{0}$, joten
$P^{-1}A\,\x = \lambda\,P^{-1}\x.$
Kirjoitetaan $A:$n ja $\x:$n v�liin $I=P\,P^{-1}$ ja merkit��n $\y=P^{-1}\x .$
Siis

$\underbrace{P^{-1}A\,P}_B\,\underbrace{P^{-1}\x}_\y =  P^{-1}A\,\x =  
\lambda\,\underbrace{P^{-1}\x}_\y,$ eli $B\,\y = \lambda\,\y.$
Kaiken lis�ksi $\y \neq \00,$ sill� muutenhan olisi $\x = P\,\y = P\,\00 = \00,$
vastoin $\x:$n ominaisvektoriutta.\\
Niinp� $\lambda$ on my�s $B:$n ominaisarvo (ja $\y$ on vastaava $B:$n 
ominaisvektori).


 

Tapa 2)
$D_B(\lambda) = \det(B - \lambda I) = \det(P^{-1}(A-\lambda\,I)P) = 
\det(P^{-1})\det(A - \lambda I)\det(P) =  \det(A - \lambda I) = 
D_A(\lambda). $ (T�ss� k�ytettiin determinanttien kertos��nt��.)

\end{proof}
\end{lause}



Nyt tulemme mainittuun ominaisvektorien LRT-lauseeseen.

%\begin{verbatim}
%\end{verbatim}

\begin{lause}\label{LRTomvekt}[KRE s. 392]
Olkoot $\lambda_1,\ldots, \lambda_k$ matriisin $A$ erillisi� ominaisarvoja.
T�ll�in vastaavat ominaisvektorit ovat {\tt LRT}
\end{lause}

\begin{proof}
1) Todistetaan ensin $2$:n ominaisvektorin tapauksessa. Olk. 
$\lambda_1 \neq \lambda_2$, ja olkoot $\vec{v}_1$ ja $\vec{v}_2$ vastaavat ominaisvektorit.

Kirjoitetaan vektoriyht�l� $c_1 \vec{v}_1 + c_2 \vec{v}_2 = \vec{0}.$

Sovelletaan siihen $A$:ta (eli kerrotaan vasemmalta $A$:lla) ja k�ytet��n
ominaisuutta $A \vec{v_j}= \lambda_j \v_j, j=1,2. $

N�in saadaan vektoriyht�l�pari:
$\begin{cases}
 $c_1 \vec{v}_1 + c_2 \vec{v}_2 = \vec{0}\\
 $\lambda_1\,c_1 \vec{v}_1 + \lambda_2\,c_2 \vec{v}_2 = \vec{0}
\end{cases}$

Kerrotaan $1.$ yht�l� $\lambda_1:$ll� ja v�hennet��n alemmasta ylempi, niin 
saadaan: $c_2 (\lambda_2-\lambda_1)\vec{v}_2 = \vec{0}.$
koska $\lambda_2 - \lambda_1 \neq 0,$ on oltava $c_2 = 0$ ja siten
 my�s $c_1 = 0.$

%Gaussin eliminaatiolla saadaan $\vec{v}_1$-osuus nollatuksi, jolloin
%ehdosta $c_2 (\lambda_2-\lambda_1)\vec{v}_2 = \vec{0}$ seuraa: $c_2 = 0,$
%koska $\lambda_2 - \lambda_1 \neq 0$ ja $\v_2 \neq \vec{0}.$ 
Siten my�s $c_1 = 0.$

2) Askel tapauksesta $k=2$ tapaukseen $k=3$ saadaan l�htem�ll�
vektoriyht�l�st�

$$c_1 \vec{v}_1 + c_2 \vec{v}_2 + c_3 \vec{v}_3 = \vec{0}.$$

Aivan samanlaisella eliminaatioaskeleella kuin edell�, p��st��n
jo todistettuun tapaukseen $k=2.$ 
Tarkemmin sanottuna kerrotaan yht�l� $A:$lla ja otetaan huomioon
$A\,\v_k = \lambda_k\,\v_k, k=1,2,3.$ Saadaan yht�l�pari:

$$
\begin{cases}
c_1 \vec{v}_1 + c_2 \vec{v}_2 + c_3 \vec{v}_3 = \vec{0}\\
\lambda_1\,c_1 \vec{v}_1 + \lambda_2\,c_2 \vec{v}_2 + \lambda_3\,
c_3 \vec{v}_3 = \vec{0}.
\end{cases}
$$

Kerrotaan $1.$ yht�l� $\lambda_1:$ll� ja v�hennet��n toisesta $\implies$
$c_2(\lambda_2-\lambda_1)\v_2 + c_3(\lambda_3 -\lambda_1)\v_3= \vec{0}.$

Edell� todistetun perusteella $\v_2$ ja $\v_3$ ovat {\tt LRT}, joten
$c_2 = c_3 = 0,$ koska $\lambda_2 - \lambda_1 \ne 0$ ja $\lambda_3 - \lambda_1 \ne 0$. 
T�st� seuraa yht�l�n $1.$ perusteella: $c_1=0$. Niinp� $\lbrace \v_1,\v_2,\v_3
\rbrace$ on {\tt LRT}.

Yleinen induktioaskel $k \to k+1$ on aivan samanlainen.

\end{proof}



T�st� seuraa v�litt�m�sti:

\begin{lause}
Jos $n\times n$-matriisilla $A$ on $n$ erillist� ominaisarvoa, niin
$\R^n$:ll� (kompl. tap. $\C^n$:ll�) on $A$:n ominaisvektoreista koostuva
kanta.
\end{lause}

T�t� k�ytt�en oltaisiin {\em Markov-prosessi}-teht�v�ss� voitu v�ltty�
ei-dominoivien ominaisvektoreiden laskemiselta.

\begin{huom} Ominaisvektorikanta voi olla, vaikka esiintyisi moninkertaisia ominaisarvoja, kuten on n�hty. Toisaalta olemme n�hneet esimerkkej� (ainakin yhden), 
jossa k�y huonosti: $2\times 2$-matriisilla on vain yksi ominaissuora.
\end{huom}

\begin{lause}
$\R^n$:ll� ($\C^n$:ll�) on $A$:n ominaisvektorikanta, jos ja vain jos
$A$:n jokaisen ominaisarvon algebrallinen ja geometrinen kertaluku yhtyv�t, 
ts. kaikilla ominaisrvoilla $\lambda$ on $m_\lambda = M_\lambda$.
\end{lause}

\begin{proof}
Muistamme, ett� aina p�tee $m_\lambda \leq M_\lambda$. Olkoot erilliset ominaisarvot $\lambda_1,\ldots,\lambda_p,$ ja niiden algebralliset kertaluvut
$k_1,\ldots,k_p.$ Siis $k_1 + \ldots + k_p = n.$

1) Jos kertaluvut eiv�t yhdy, niin jollain ominaisarvolla $\lambda_j$ on
$m_\lambda_j  < M_\lambda_j.$  Koska jokainen ominaisvektori kuuluu johonkin
ominaisavaruuteen, ei LRT ominaisvektoreita voi olla enemp�� kuin ominaisavaruuksien dimensioiden summa, joka nyt on aidosti pienempi kuin algebrallisten
kertalukujen summa $=n.$ Siten ominaisvektorikantaa varten ei ole tarpeeksi
LRT vektoreita.
(T�ss� emme tarvitse edes lausetta \ref{LRTomvekt}(s. \pageref{LRTomvekt}).)

2) Oletetaan, ett� $m_{\lambda_j} = M_{\lambda_j} $ kaikilla $j=1,\ldots,p$ .

Nyt lause \ref{LRTomvekt} on kaiken avain.
Kyse on yksinkertaisesti siit�, ett� jos niputetaan kutakin erillist�
ominaisarvoa vastaavien ominaisavaruuksien kannat omiksi nipuikseen,
saadaan yhteens� $n$ vektoria, jotka ovat LRT.

Otetaan havainnollisuuden vuoksi vaikka kolme ominaisarvoa
$\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$, joiden kertaluvut olkoot $1,2,3$
vastaavasti.
Olkoot ``vektoriniput'' $\lbrace \vec{u}\rbrace$, 
$\lbrace\vec{v}_1,\vec{v}_2\rbrace$,
$\lbrace\vec{w}_1,\vec{w}_2,\vec{w}_3\rbrace$.

Olkoon $(c_1\vec{u})+(c_2\vec{v}_1+c_3\vec{v}_2)+
(c_4\vec{w}_1+c_5\vec{w}_2+c_6 \vec{w}_3) = 0.$

Suluissa olevat vektorilausekkeet ovat kaikki nollavektoreita. 
Jos nimitt�in joku ei olisi,
niin otettaisiin summaan kaikki nollasta erilliset sulkulausekkeet. 
N�m� ovat eri ominaisarvoihin
liittyvi� ominaisvektoreita, ja siis LRT. Niiden summa = $\vec{0},$ 
joten ristiriita LRT:n kanssa on valmis.


%Suluissa olevat vektorit ovat kesken��n LRT (eri ominaisarvoihin liittyvin�
%ominaisvektoreina), joten niiden summa voi olla nolla vain siten, ett� kukin
%sulkulauseke on nolla.

Kussakin sulkulausekkeessa esiintyv�t vektorit ovat ao. ominaisavaruuden
kantavektoreita (siis LRT), joten on oltava:
$(c_1=0),(c_2 = c_3=0),(c_4=c_5=c_6=0).$\\
Yleinen "niputus" menee pariaatteessa aivan vastaavasti.
\end{proof}



\begin{huom}
Olennainen asia tuossa "niputusp��ttelyss�" on tieto, ett� otettiinpa
mitk� tahansa vektorit eri nipuista, niin ne ovat {\tt LRT}.
\end{huom}


Erilaisten matriisityyppien (kuten symmetristen, ortogonaalisten ym.)
ominaisvektorik�yt�st� selvitet��n jatkossa.



\textbf{Ominaisvektorikannan merkitys, diagonalisointi}

Olkoon $n\times n$- matriisilla $A$
$n$ LRT ominaisvektoria $\u_1,\ldots,\u_n$, jotka siis muodostavat 
$\R^n$:n (tai $\C^n:$) kannan.
Suoritetaan yleisesti sama lasku, joka tehtiin sovellusesimerkkien tapauksessa.

Olkoon $\x\in \R^n,$ esitet��n se t�m�n kannan avulla: 
$\x=c_1\,\u_1 + \ldots + c_n\,\u_n$
Samoin kuin edell� olleissa esimerkiss� (p��akseliesitys, Markovin prosessi)
voidaan silloin laskea: 
$A\,\x=c_1\,A\,\u_1 + \ldots + c_n\,A\,\u_n=\lambda_1\,c_1\,\u_1 + \ldots 
+ \lambda_n\,c_n\,\u_n.$

Jos ajatellaan matriisia $A$ lineaarikuvauksena $T=T_A,$ niin vektorin
$\x = \left[x_1,\ldots,x_n\right]$ kuvan $\y=A\,\x$ koordinaatit avaruuden 
peruskannassa saadaan matriisikertolaskulla: $y_j=\sum_{j=1}^n a_{i\,j}x_j.$
Siis kukin kuvapisteen koordinaatti riippuu "mutkikkaan" kaavan v�lityksell�
kaikista l�ht�pisteen koordinaateista.

Jos sensijaan esitet��n $\x$ ominaisvektorikannassa, niin kuvapisteen $j:$s 
koordinaatti saadaan kertomalla l�ht�pisteen sama $j:$s koordinaatti luvulla
$\lambda_j.$ Siten kuvan koordinaatti $j$ riippu pelk�st��n l�ht�pisteen
koordinaatista $j.$

Matriisimuodossa kuvavektorin $\y = A\,\x$ esitys ominaisvektorikannassa
saadaan kertomalla $\x:$n koordinaattiesitys $\left[c_1,\ldots,c_n\right]^T$
diagonaalimatriisilla
$\left[ \begin {array}{ccc} \lambda_{{1}}&\cdots&0\\
\noalign{\medskip}0&\ddots&0\\
\noalign{\medskip}0&\cdots&\lambda_{{n}}\end {array}
 \right] 
$

Todetaan siis, ett� $A:$n m��r��m�n 
lineaarikuvauksen matriisi ominaisvektorikannan suhteen on diagonaalimatriisi.

Asia voidaan esitt�� puhtaana matriisiyht�l�n�, matriisin diagonalisointiesityksen�.


\begin{lause}[Diagonalisointi]\label{diagonalisointi}
Olkoon $n\times n-$matriisilla $A$ $n$ kpl LRT ominaisvektoreita (eli $\R^n$:n
tai $\C^n:$n kanta). T�ll�in $A$ voidaan esitt�� muodossa
$A = X D X^{-1},$ miss� $D$ on diagonaalimatriisi.
T�ss� esityksess� $X$:n sarakkeet ovat $A:$n ominaisvektorit ja $D:$n 
diagonaalilla ovat $A:$n ominaisarvot samassa j�rjestyksess�.
\end{lause}
\begin{proof}
Olkoon $\left{\x_1,\ldots,\x_n\right}$ $A:$n ominaisvektorikanta ja 
$\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ $A:$n vastaavat ominaisarvot.
Siis\\ 
$A\,\x_1 = \lambda_1\,\x_1,\ldots,A\,\x_n = \lambda_n\,\x_n.$
N�m� voidaan kirjoittaa matriisiyht�l�n�:
%$$A \left[ \begin {array}{ccc} {\it x11}&{\it x12}&{\it x13}
%\\\noalign{\medskip}{\it x21}&{\it x22}&{\it x23}\\\noalign{\medskip}{
%\it x31}&{\it x32}&{\it x33}\end {array} \right]$$

$$A\,\left[\x_1 | \x_2 | \ldots | \x_n\right] = 
\left[\lambda_1\,\x_1 | \lambda_2\,\x_2 | \ldots | \lambda_n\x_n\right],$$

miss� $X=\left[\x_1 | \x_2 | \ldots | \x_n\right]$ on matriisi, jossa
ominaisvektorit $\x_j$ ovat sarakkeina.

J�lkimm�inen matriisi, jossa $j:$s sarake on kerrottu luvulla $\lambda_j$,
voidaan esitt�� diagonaalimatriisina kertomisena oikealta:

$$\left[\lambda_1\,\x_1 | \lambda_2\,\x_2 | \ldots | \lambda_n\x_n\right]=
X\,D,\ \ \textrm{miss�}\ \ D=\left[ \begin {array}{ccc} {\lambda_1}&\cdots&0\\
\noalign{\medskip}0&\ddots&0\\
\noalign{\medskip}0&\cdots&{\lambda_n}\end {array} \right]$$

N�in saadaan yht�l� $A\,X = X\,D.$ T�ss� ei tehty mit��n muuta kuin 
kirjoitettiin ominaisarvojen ja -vektorien m��ritelm�t yhdeksi 
matriisiyht�l�ksi. (T�h�n saakka olisimme p��sseet olettamatta ominaisvektoreita lineaarisesti riippumattomiksi.)

No nyt, koska ne ovat {\tt LRT}, niin matriisin $X$ rangi on t�ysi $n$ 
(eli kaikki sarakkeet ovat tukisarakkeita). Niinp� on olemassa k��nteismatriisi
$X^{-1}.$
Kun kerrotaan tuo matriisiyht�l� oikealta $X^{-1}:$ll�, saadaan v�itetty esitys: $A = X\,D\,X^{-1}.$
\end{proof}

\begin{maarit}
Matriisia $A$ sanotaan {\em diagonalisoituvaksi}, jos edellisen lauseen
ehto on voimassa.
\end{maarit}

\begin{huom}
Esityksen yksik�sitteisyydest�:\\ 
1) Alkuper�iset yht�l�t voidaan kirjoittaa eri j�rjestyksess�, mik� aiheuttaa sarakkeiden j�rjestyksen vaihdon. T�rke�� on, ett�
ominaisvektorit matriisissa $X$ ja ominaisarvot matriisissa $D$ otetaan samassa
j�rjestyksess�.\\
2) Ominaisvektorit voidaan skaalata mill� tahansa nollasta poikkeavalla 
kertoimella. (Mit��n "luonnollisinta" skaalausta ei edes voida esitt��.)
T�m� kompensoituu k��nteismatriisin muodostamisessa, jossa ao. sarake tulee
jaetuksi vastaavalla skaalauskertoimella.
\end{huom}

\textbf{Matriisin potenssit}

Differenssiyht�l�n $\x_{n+1}=A\,\x_n$ ratkaisu on $\x_n = A^n\,\x_0.$
T�st� syyst� on usein tarvetta laskea matriisin potensseja tehokkaasti.
Samalla voi paljastua seikkoja, jotka mahdollistavat prosessin analysoinnin.

Jos matriisi $A$ on diagonalisoituva, voidaan kirjoittaa $A=X\,D\,X^{-1}.$
Nyt \\
$$A^2 =X\,D\,\underbrace{X^{-1}\,X}_I\,D\,X^{-1}=X\,D^2\,X^{-1}. $$

Jatkamalla samoin n�hd��n, ett� $A^k = X\,D^k\,X^{-1}.$

Koska samankokoisten diagonaalimatriisien tulo on diagonaalimatriisi, jonka
l�vist�j� koostuu tekij�matriisien diagonaalialkioiden tuloista, p�tee 
$ (\textrm{diag}(\left[\lambda_1,\ldots,\lambda_n\right])^k = \textrm{diag}(\left[\lambda_1^k,\ldots,\lambda_n^k \right]).$\\
(K�yt�mme \matl:n tyylist� notaatiota diagonaalimatriisille, se on helppo 
kirjoittaa, s��st�� tilaa ja on itsens� selitt�v�.)





\begin{esim}                                                                    
Laske lauseke $A^k$:lle, kun $A=
\left[ \begin {array}{cc} -2&12\\\noalign{\medskip}-1&5\end {array} \right]. 
$

\end{esim}                                                                
\ratk\/
Diagonalisoidaan:


$A= V D V^{-1},$

$
V=
\left[ \begin {array}{cc} 4&3\\\noalign{\medskip}1&1\end {array} \right],
$
$D=
\left[ \begin {array}{cc} 1&0\\\noalign{\medskip}0&2\end {array} \right],
$
$
V^{-1}=\left[ \begin {array}{cc} 1&-3\\\noalign{\medskip}-1&4\end {array} \right].$

Nyt $A^k = V D^k V^{-1} =\left[ \begin {array}{cc} 4&3\\\noalign{\medskip}1&1\end {array} \right]\left[ \begin {array}{cc} 1&0\\\noalign{\medskip}0&2^k\end {array} \right]\left[ \begin {array}{cc} 1&-3\\\noalign{\medskip}-1&4\end {array} \right]. $

Kun suoritetaan kertolaskut, saadaan:

$$A^k =
 \left[ \begin {array}{cc} -3\,{2}^{k}+4&12\,{2}^{k}-12
\\\noalign{\medskip}-{2}^{k}+1&4\,{2}^{k}-3\end {array} \right] 
$$

T�ss� tapauksessa saatiin jopa yksinkertainen kaava $A^k$:lle.

Yleens� nyt ei ihan n�in pitk�lle p��st�. Joka tapauksessa saadaan valtava
s��st� aritmetiikassa ja usein saadaan selke� n�kemys alunperin sotkuiseen
asiaan.

%\end{esim}

\begin{esim}
Lasketaan yksi esimerkki \matl:lla. T�ss� n�kyy samalla \matl:n k�tevyys
matriisioperaatioissa. Alla oleva {\tt eig}-komento on hyv� esimerkki
tarkoituksenmukaisesta suunnittelusta (``intelligent design'').\\
Esimerkin pit�isi selitt�� hyvin itsens� my�s henkil�lle, joka ei ole
\matl:ia koskaan k�ytt�nyt.
\end{esim}

\begin{verbatim}

>> A=[0 -4 -6;-1 0 -3;1 2 5]   % Muodostetaan matriisi A.
A =

     0    -4    -6
    -1     0    -3
     1     2     5
>> [V,D]=eig(A)               % Ominaisvektorit V:n sarakkeiksi,
V =                           % ominaisarvot D:n diagonaalille�
   -0.8165    0.5774   -0.9269
   -0.4082    0.5774   -0.0850
    0.4082   -0.5774    0.3656
D =
    1.0000         0         0
         0    2.0000         0
         0         0    2.0000

                              % Koska 2 on kaksinkertainen ominaisarvo,
                              % emme tied�, onko V k��ntyv�.
>> VI=inv(V)                  % Voidaan k�ytt�� inv-komentoa k��nteismatriisin
VI =                          % muodostamiseen.(Jos sit� ei ole, tulee ``herja'')

   -2.4495   -4.8990   -7.3485
   -1.7321   -1.2075   -4.6716
         0    3.5634    3.5634
\end{verbatim}
Tarkistetaan, laitetaan A ja $V D V^{-1}$ vierekk�in (ja lis�t��n
rajaviiva editoimalla).

\begin{verbatim}
>> [A V*D*VI]
ans =

         0   -4.0000   -6.0000  |  -0.0000   -4.0000   -6.0000
   -1.0000         0   -3.0000  |  -1.0000   -0.0000   -3.0000
    1.0000    2.0000    5.0000  |   1.0000    2.0000    5.0000
\end{verbatim}
T�st�p� n�hd��n, ett� $A$ ja $V\,D\,V^{-1}$ ovat samat.

\textbf{Matriisin $A$ potensseja}

Lasketaan vaikkapa $A^{16}.$
\begin{verbatim}
>> A^16

ans =

      -65534     -262140     -393210
      -65535      -65534     -196605
       65535      131070      262141

\end{verbatim}
Lasketaan diagonalisoimalla:
\begin{verbatim}
>> D16=D^16   
D16 =

   1.0e+04 *

    0.0001         0         0
         0    6.5536         0
         0         0    6.5536
\end{verbatim}
N�in ei oikeastaan kannattaisi laskea.
Nyt voimme nimitt�in laskea pisteitt�isen potenssin, kun on kyse 
diagonaalimatriisista. Silloin aritmetiikkaa on paljon v�hemm�n.
\begin{verbatim}
>> D16=D.^16   % diag(diag(D).^16) % olisi viel� tehokkaampi (help diag)
D16 =
   1.0e+04 *

    0.0001         0         0
         0    6.5536         0
         0         0    6.5536

>> format bank
>> V*D16*VI   

ans =

     -65534.00    -262140.00    -393210.00
     -65535.00     -65534.00    -196605.00
      65535.00     131070.00     262141.00
>> A^16  % T�ss� taas vertailuksi raakaa voimaa:
ans =
     -65534.00    -262140.00    -393210.00
     -65535.00     -65534.00    -196605.00
      65535.00     131070.00     262141.00
\end{verbatim}

\textbf{Maank�ytt�esimerkki diagonalisoimalla}

Edell� esitettiin l�ht�vektori ominaisvektorikannan avulla. Katsotaan, milt� homma n�ytt�isi diagonalisoimalla.
Esitet��n matriisi $P$ muodossa $P=V D V^{-1}.$
Iteraatiojonon $k$:s termi on $x_k = P^k x_0$. Mutta $P^k = V D^k V^{-1}.$

$D^k=
\left[ \begin {array}{ccc} 1&0&0\\\noalign{\medskip}0&{0.8}^{k}&0
\\\noalign{\medskip}0&0&{0.6}^{k}\end {array} \right] 
$ \quad
Kun $k\to \infty$, niin
$Dlim=
\left[ \begin {array}{ccc} 1&0&0\\\noalign{\medskip}0&0&0
\\\noalign{\medskip}0&0&0\end {array} \right] 
$



\begin{verbatim}
>> P=[0.8 0.1 0;0.1 0.7 0.1;0.1 0.2 0.9]
>> [V,D]=eig(P)

V =

   -0.1826   -0.7071    0.4082
   -0.3651   -0.0000   -0.8165
   -0.9129    0.7071    0.4082


D =

    1.0000         0         0
         0    0.8000         0
         0         0    0.6000
>> VI=inv(V)

VI =

   -0.6847   -0.6847   -0.6847
   -1.0607   -0.3536    0.3536
    0.3062   -0.9186    0.3062


>> Dlim=diag([1,0,0])

Dlim =

     1     0     0
     0     0     0
     0     0     0

>> V*Dlim*VI

ans =

    0.1250    0.1250    0.1250
    0.2500    0.2500    0.2500
    0.6250    0.6250    0.6250

>> Plim=V*Dlim*VI

Plim =

    0.1250    0.1250    0.1250
    0.2500    0.2500    0.2500
    0.6250    0.6250    0.6250

>> Plim*[30 20 50]'

ans =

   12.5000
   25.0000
   62.5000

>> Plim*[99 .5 .5]'

ans =

   12.5000
   25.0000
   62.5000
\end{verbatim}

Samaan p��dyttiin kuin ennen.
%% }  % end huge endlarge




\textbf{Ominaisvektorikanta vai diagonalisointi}

%\begin{verbatim}
%\end{verbatim}

Kyseh�n on samasta asiasta esitettyn� eri muodossa. T�m�ntyyppisiss� teht�viss�
n�ytt�isi aiemmin esitetty ominaisvektorikannalla operointi matriisin 
diagonalisointiesityst� lyhyemm�lt� tavalta. 


%P�ivitetty
%Thu Aug 14 15:47:32 EEST 2003

%</ul></body></html>








%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "pruju"
%%% End: 
