\documentclass[finnish,12pt,twocolumn]{article}
%\documentclass[11pt,a4paper,finnish]{amsart}
%\usepackage{amsmath}
\usepackage{/home/apiola/tex/KP3harj}
%\usepackage{KP3harj}
\usepackage[dvips]{epsfig}

\def\Ln#1{\textit{Ln #1}}
\def\Log#1{\textit{Log #1}}
\def\Re {\textit{Re}}
\def\Im {\textit{Im}}
\def\Arg {\textit{Arg}}
\def\arg {\textit{arg}}


\begin{document}
%\input{/home/apiola/tex/AmsLTXfiMacro.tex}
%\input{AmsLTXfiMacro.tex}

\subsection*{Mat-1.433/443 Matematiikan peruskurssit K3/P3} 
\hfill Apiola/Bingham

\subsubsection*{2. v�likoe 14.11. 2005}

\textbf{Muistathan kirjoittaa nimesi ja muut vaadittavat 
jokaiseen vastauspaperiin!}
\vspace{0.5cm}

{\bf Sallittu: funktiolaskin }


\begin{enumerate}

\item
M��rit� matriisin  
$$A=
 \left[ \begin {array}{cccc} 1&0&-1&2\\\noalign{\medskip}0&-1&1&-2
\\\noalign{\medskip}4&-5&1&-2\end {array} \right] 
$$


% \left[ \begin {array}{cccc} 1&0&-1&2\\\noalign{\medskip}1&-1&0&0
%\\\noalign{\medskip}4&-5&1&-2\end {array} \right] 


rivi-, sarake- ja nolla-avaruuksille kannat ja totea ``lineaarialgebran
peruslauseen''\footnote{Yht�l�, jossa esiintyy nulliteetti $n(A)$ ja rangi $r(A)$ } voimassaolo. 


\item
Olkoon $A$ $n \times n$-matriisi, ja olkoon sill� erilliset ominaisarvot
$\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$.
Olkoot $\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3$ (jotkin) n�it� vastaavat ominaisvektorit.
Osoita, ett� $\lbrace \vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3\rbrace$ on lineaarisesti
riippumaton.
(Tarkoitus on tietysti k�ytt�� {\tt LRT}:n m��ritelm��, eik� vedota lauseeseen
:-))





\item  % Jotain t�m�ntyylist�
Er��n asutuskeskuksen alueella on kiristyneen kilpailutilanteen johdosta
j�ljell� vain kaksi matkapuhelinoperaattoria  $E$ ja $F$.
(J�lkimm�inen muodostettiin er��n �ljy-yhti�n johtajien optiop��omien turvin.)

Liittymien vaihtoa kuukaudessa edustakoon
siirtym�matriisi

$$P=
\left[ \begin {array}{cc}  0.6& 0.3\\\noalign{\medskip} 0.4& 0.7
\end {array} \right].
$$

Olkoot liittym�osuudet marraskuun lopussa $F=10$ ja $E=90$ prosenttia.
Mit� tasapainojakaumaa l�henev�t liittym�osuudet, kun kuukausien lukum��r�
kasvaa rajatta? Vaikuttaako alkujakauma asiaan?




\item
Muodosta ortogonaalinen diagonalisointi matriisille
$$
A= \left[ \begin {array}{ccc} 4&0&0\\\noalign{\medskip}0&3&1
\\\noalign{\medskip}0&1&3\end {array} \right], 
$$
ts. sanoen m��rit� ortogonaalinen matriisi $U$ ja diagonaalimatriisi $D$
siten, ett� $A = U\,D\,U^T.$



\end{enumerate}
\end{document}


\item
Matriisin $A$ ominaisarvot ovat $\lambda_1=1, \lambda_2=\lambda_3=2$
ja vastaavat ominaisvektorit $\v_1 =
 \left[ \begin {array}{c} 0\\\noalign{\medskip}-2\\\noalign{\medskip}2
\end {array} \right],\ \ \v_2=
 \left[ \begin {array}{c} 2\\\noalign{\medskip}1\\\noalign{\medskip}1
\end {array} \right], \ \
\v_3=
 \left[ \begin {array}{c} 0\\\noalign{\medskip}1\\\noalign{\medskip}1
\end {array} \right]. $


% ...$, $\v_2 = ..., \v_3=...$
%(Rakenna niin, ett� $\v_1 \perp \lbrace\v_2, \v_3\rbrace$).

(a) Perustele, miksi matriisille voidaan muodostaa 
ortogonaalinen diagonalisointi.

(b) Suorita asianmukaiset laskut. 

(c) Osoita, ett� $A$ on symmetrinen 
(T�t� varten ei tarvitse suorittaa kertolaskuja, mutta ellet muuta keksi, niin
k�yh�n sekin.)

%Huom! Kohta (a) on l�hinn� siksi, ett� ajattelet ensin





\item
(a) Todista, ett� neli�matriisin $A$ eri ominaisarvoja vastaavat ominaisvektorit ovat {\tt LRT}. \footnote{{\tt LRT} $=$ {\em lineaarisesti riippumaton}}\\
(b) Olkoon $6 \times 6-$matriisilla $A$ eri ominaisarvot $\lambda_1, \lambda_2$ ja $\lambda_3$ , 
ja olkoot niiden geometriset kertaluvut: $m_{\lambda_1}=1$, 
$m_{\lambda_2}=2$, $m_{\lambda_3}=3$.
Osoita, ett� jos valitaan kullekin ominaisavaruudelle kanta, saadaan
LRT vektorijoukko ja siis $\R^6:$n kanta. \\

Ohje (a) Riitt�� osoittaa ensin $2:$ lle ja sitten $3:$lle vektorille
tarvitsematta tehd� yleist� askelta $k \to k+1$. (Toki mahd. muunkinlaiset 
oikeat tavat hyv�ksyt��n, kuin se, joka esitettiin luennolla.) \\
(b) K�yt� (a)-kohdan tulosta (todistitpa sen tai et) ja LRT:n m��ritelm��.






\item % 1
(a) M��rit� kaikki arvot  $\log(-1+i\sqrt{3})$ . \\
(b) Piirr� z-tason 
alue  $\ln\,\frac{1}{2} < x < 0,\ \ -\frac{\pi}{2} < y < \pi$
ja sen kuva kuvauksessa $w=e^z.$  



\item %2
(a) Kirjoita $\sinh\,z$ muotoon $u(x,y)+i\,v(x,y)$ ($u$ ja $v$ reaaliarvoisia),
$z=x+i\,y.$ (K�yt� $\sinh-$ funktion m��ritelm��, tarkoitus {\bf ei ole} k�ytt�� yhteenlaskukaavaa.)\\
(b)
Osoita \emph{Cauchy--Riemannin} yht�l�iden (ja lis�ehdon) avulla, 
ett� $\sinh \, z$ on 
analyyttinen koko kompleksitasossa.



\item %{[t-joulu96]}
 Laske funktion $f_1$ Laplace muunnos ja funktion 
$F_2$ k\"a\"anteismuunnos, kun
\[
f_1(t)=\begin{cases}
t\, \ \ 0 < t < 1\\
1,\ \ 1 < t < 2\\
0,\ \ t > 2.
\end{cases}
\]
ja $F_2(s)={\frac {2\,s+7}{{s}^{2}+2\,s+5}}.$



%    f_1(t)=\left\{ \begin{array}{rl}
%             0\ ,&0\le t<2\\
%             t\ ,&2<t<3\\
%             -2\ ,&3<t<4\\
%             0\ ,&t>4
%           \end{array}\right\}.  \hspace{1.5cm}
%           F_2(s)={\frac{1}{s^2(s^2+\omega^2)}} %f_2(t)=t\sin(at)\cos(at)


\item %{[vk2-95]}
Ratkaise Laplace-muunnosta k�ytt�en alkuarvoteht�v�

$y''  + 2y = r(t),\ \ y(0)=0, \ \ y'(0)=0$, miss�
$r(t)=\begin{cases}
             1,\ \ 0<t<1 \\
             0, \ \ t>1 
\end{cases}
$






\end{enumerate}

\vfill\eject

\subsubsection*{Pari hassua kaavaa}

Seuraavassa $z$ tarkoittaa kompleksilukua ja $x$
reaalilukua.\\
%$\sin(z_1\pm z_2)=\sin\,z_1 \,\cos\,z_2 \pm \cos\,z_1\,\sin\,z_2,$\\
%$\cos(z_1\pm z_2)=\cos\,z_1 \,\cos\,z_2 \mp \sin\,z_1\,\sin\,z_2,$ \\%(z_1, z_2\in \C$)\\
%T�ss� on kokoelma yleishy�dyllist� matematiikkaa. K�yt�, jos tunnet tarvetta.
%$$\sin(x+iy)=\sin \left( x \right) \cosh \left( y \right) +i\cos \left( x \right) 
%\sinh \left( y \right) $$
%$$\cos(x+iy)=\cos \left( x \right) \cosh \left( y \right) -i\sin \left( x \right) 
%\sinh \left( y \right) 
%$$
%%%%
$\sinh\,z = \frac{1}{2}(e^z - e^{-z}),\ \
\cosh\,z = \frac{1}{2}(e^z + e^{-z}) $\\
%$\sin(i\,z) = i\,\sinh\,z,\ \ \cos(i\,z)= \cosh \,z .$\\
$\frac{d}{dx}\cosh\, x = \sinh\, x,\ \  \frac{d}{dx}\sinh\, x = \cosh\, x$ 
 %x\in \R.$

\subsubsection*{Laplace-muunnokset}


\textbf{M��ritelm�: }
Annettu $f(t)$, ${\cal L}f=F$, $F(s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt$ 
\quad {\bf Merk.} $u(t)=H(t)$=yksikk�askelfunktio . \\
$({\cal L}f')(s)=s F(s)-f(0),\quad ({\cal L}f'')(s)=s^2 F(s)-s f(0)-f'(0),$
${\cal L}\lbrace \int_0^t f(\tau)d\tau \rbrace ={\frac{1}{s}}F(s), \ \ 
{\cal L}(f*g)=({\cal L}f)({\cal L}g), (f*g)(t)=\int_0^t f(t-\tau)g(\tau)d\tau = (g*f)(t)$

${\cal L}\lbrace e^{at} f(t) \rbrace = F(s-a), \ \ 
 {\cal L}\lbrace u(t-a)f(t-a) \rbrace = e^{-as}F(s), \ \
{\cal L}\lbrace \delta(t-a)\rbrace = e^{-as}$

\vskip 0.25 cm

{\bf Laplace-taulukko}

%\hrule 

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$f(t)$ & $t^k$  & $e^{at}$ & $\cosh at$ &  $\sinh at$ &  
 $\cos \omega t$ & $\sin \omega t$  \\ \hline \hline

$F(s)$ & ${\frac{k!}{s^{k+1}}}$  & ${\frac{1}{s-a}}$ & ${\frac{s}{s^2-a^2}}$
& ${\frac{a}{s^2-a^2}}$  & ${\frac{s}{s^2+\omega^2}}$ & 
${\frac{\omega}{s^2+\omega^2}}$
\\ \hline 
\end{tabular}

%\include{/home/apiola/tex/osamurto}
%% Liit� tenttipaperiin, jos tarpeen  tex/osamurto.tex %% 29.8.02

\subsection*{Osamurtokehitelm�t}

Olk. $F(s)={\frac{P(s)}{Q(s)}}$, miss� $\textit{deg}(P) < \textit{deg}(Q)$
\\
1) Jos $Q(s)$:ll� on yksinkertainen tekij� $s-a$, otetaan kehitelm��n termi
${\frac{A}{s-a}}.$
\\
2) Jos $Q(s)$:ll� on yksinkertainen tekij� $s^2+b s+c$, tulee kehitelm��n termi
${\frac{Bs+C}{s^2+b s+c}}$, jos halutaan operoida reaalisilla kertoimilla.
\\
3) Jos em. muotoa olevat termit esiintyv�t korkeammassa potenssissa, sanokaamme
$r$, otetaan termit
${\frac{A_1}{s-a}}+{\frac{A_2}{(s-a)^2}}+\hdots +{\frac{A_r}{(s-a)^r}}$
ja vastaavasti toisessa tapauksessa termit
${\frac{B_1s+C_1}{s^2+b s+c}}+\hdots + \frac{B_rs+C_r}{(s^2+b s+c)^r}$






\end{document}

\item %{[t-tammi96]}
Ratkaise vaimennettu v\"ar\"ahtelyteht\"av\"a:
$y''+2y'+y=r(t),\ \ y(0)=0,y'(0)=0,$ miss� %\delta(t)-H(t-2\pi)
her\"atteen\"a (ulkoisena voimana) on yksikk�impulssin suuruinen vasaranisku
hetkell\"a $t=0$ ja vakiovoima $-1$ ajanhetkest\"a $t=2\pi$ alkaen.
(Vasaraniskua mallinnetaan (\emph{Dirac'n}) $\delta(t)$:ll�.)
Hahmottele ratkaisufunktion kuvaaja v\"alill\"a $\lbrack 0,10 \rbrack$.\\
Vihje: Lausu $r(t)$ $\delta(t):$n ja sopivan porrasfunktion summana.



\item  %{[t-touko96]}
Ratkaise alkuarvoteht�v� $\ddot y + 2\dot y = H(t-1), 
\ \ y(0)=0, \dot y(0)=1$.

T�ss� $H$ on Heavisiden funktio, eli yksikk�askelfunktio, jota usein my�s 
$u$:lla merkit��n.





\item %1
(a) M��rit� $\textit{Re}\, z$, $\textit{Im}\, z$, $\vert z \vert $, 
$\textit{Arg}(z)$
(argumentin p��haara),
% lausuttuna ${\overline{\arctan}$-funktion p��haaran avulla),
kun  
$$z=\frac{3+2 i}{1+i}.$$
%$z=\frac{{2-i(3-2i)^2}{2+i(1+i)}}.$

(b) Laske 
 $(\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2})^{2003}.$ Anna tulos muodossa $x+i y.$ 

Huom! Pelkk� (laskimelta kysytty?) tulos ilman yht��n laskennan periaatetta valaisevaa
v�livaihetta antaa $0$ pistett�.


%a) Laske (kaikki luvut) $z^2$, joilla $|z| = 5$ ja $Im z=-3$.



%M\"a\"ar\"a\"a  $Re\, z$, $Im\, z$, $\vert z \vert $, $arg(z)$, kun \quad
%b1) \quad
%   $z={{2-i(3-2i)^2}\over{2+i(1+i)}}$
%\quad b2) \quad
%  $z=(1/2 + i \sqrt{3}/2)^{1995}$



\item %2
(a) M��rit� $\Ln(-1+i\sqrt{3})$ (p��haara). \\
Yll� oleva huomautus p�tee t�ss�kin.

(b) M��rit� ja hahmottele z-tason 
alue  $$\frac{1}{2} \leq |z| \leq 20,\ \ -\frac{\pi}{2} \leq \Arg\, 
z \leq \frac{\pi}{2}$$
ja sen kuva ($w$-tasossa) kuvauksessa $w = \Ln\, z$ (edelleenkin p��haara).

%\end{document}
\item %3
M��rit� matriisin 

$$A=
\left[ \begin {array}{cccc} -2&4&-2&-4\\
\noalign{\medskip}2&-6&-3&1\\
\noalign{\medskip}-3&8&2&-3\end{array} \right] 
$$

rivi- ja sarakeavaruuksien kannat sek� 
nolla-avaruuden $N(A)$ dimensio.


\item
Matriisin 

$$A=
\left[ \begin {array}{ccc} 1&0&0\\\noalign{\medskip}1&3&2
\\\noalign{\medskip}1&2&3\end {array} \right]
$$

karakteristinen polynomi $D(\lambda)=\det(A-\lambda I)$ 
voidaan kirjoittaa muotoon
$D(\lambda)=\left(1 -\lambda \right)  \left( {\lambda}^{2}-6\,
\lambda+5 \right).$

(a)
M��rit� ominaisarvot (algebrallisine) kertalukuineen.

(b)
Laske kaksinkertaista ominaisarvoa vastaavan ominaisavaruuden kanta ja osoita,
ett� matriisi on diagonalisoituva.

(c)
L�htien diagonalisointikaavasta, johda kaava, jolla voit
laskea $A^p$:n $3$:lla potenssiinkorotuksella ja similariteettimuunnoksen 
vaatimalla aritmetiikalla. (T�ss� ei siis ole tarkoitus laskea mit��n.)

\end{enumerate}

%\end{document}

%kahdella matriisikertolaskulla ja k��nteismatriisin
%muyodostuksella.


\subsection*{Ohjeita}


\begin{itemize}

\item
Jos et satu muistamaan, mit� on $\arctan \sqrt{3},$ niin piirr� itsellesi tasasivuinen
kolmio ja sille sivun keskinormaali.

%\item
%{\em Similariteettimuunnos} tarkoittaa annetun neli�matriisin $A$ muuntamista
%muotoon $X A X^{-1}.$

\end{itemize}

\end{document}

\item  % Jotain t�m�ntyylist�
Ajatellaan, ett� er��n asutuskeskuksen asukkailla on kahden operaattorin,
R ja S matkapuhelinliittymi�. 
%\footnote{Laskuty�n rajoittamiseksi joudumme j�tt�m��n 
%mm. operaattorin T pois.}
Liittymien vaihtoa kuukaudessa edustakoon
siirtym�matriisi

$$P=
\left[ \begin {array}{cc}  0.6& 0.3\\\noalign{\medskip} 0.4& 0.7
\end {array} \right].
$$

(a)
Laske matriisin ominaisarvot ja suurempaa ominaisarvoa vastaava
ominaisvektori $\V{v}_1$ ja kerro, miksi ominaisvektorit muodostavat 
$\R^2$:n kannan.

(b) 
Tarkastellaan iteraatiota $\V{x}_{k+1}=P \V{x}_k, k=0,1,\ldots$.
Olkoon alkupiste $\V{x}_0$ esitetty ominaisvektorikannassa:
$\V{x}_0=c_1 \V{v}_1+ c_2 \V{v}_2$.

Mit� rajavektoria l�hestyy jono $\V{x}_k$, kun $k\to \infty$ ?


%Esit� sitten alkupistevektori (vaikkapa)
%$\V{x}_0=
% \left[ 
%    \begin {array}{c} 0.5\\
%    \noalign{\medskip}0.5
%\end {array} 
%\right]$ 
%ominaisvektorikannan avulla, ja selvit�, mihin tilanne asettuu, kun monta
%kuukautta on kulunut.

%(Olkoon t�ss� kaikki, jotta v�likoealuerajaa ei kenenk��n tulkinnan mukaan 
%ylitet�, vaikka tarina j��kin j�nnitt�vimp��n kohtaan.)

%$%$V=
% \left[ 
%    \begin {array}{c} p\\
%    \noalign{\medskip}1-p
%\end {array} 
%\right] 
%$
% ja selvit�, mik� on kantakaupunki/esikaupunki-
%jakauma pitk�n ajan kuluttua (riippumatta alkujakaumasta, ts. $p$:st�).




Jotta voisit laskea taas 
historiallisen potenssin $A^{2003},$ kirjoita
ja perustele kaava, jolla sen voit laskea kolmella
potenssiinkorotuksella ja similariteettimuunnoksen vaatimalla aritmetiikalla.
T�ss� ei tarvitse laskea mit��n, kunhan selvit�t, miten matriisit ja 
laskukaava muodostetaan. Siis potenssiinkorotuskaavan perustelua 
pyydet��n, mutta
matriisihajotelman osien rakentamisperustelua (diagonalisointilauseen johtoa) 
ei vaadita.

