Mat-1.433/443 Matematiikan peruskurssit K3/P3

Apiola/Bingham

2. välikoe 14.11. 2005

Muistathan kirjoittaa nimesi ja muut vaadittavat jokaiseen vastauspaperiin!

Sallittu: funktiolaskin

1. Määritä matriisin

A = [ \begin{matrix}1 & 0 & −1 & 2 \\ 0 & −1 & 1 & −2 \\ 4 & −5 & 1 & −2 \end{matrix} ]

rivi-, sarake- ja nolla-avaruuksille kannat ja totea “lineaarialgebran peruslauseen”^{1} voimassaolo.

2. Olkoon A n × n-matriisi, ja olkoon sillä erilliset ominaisarvot λ_{1}, λ_{2}, λ_{3}. Olkoot v_{1}, v_{2}, v_{3} (jotkin) näitä vastaavat ominaisvektorit. Osoita, että {v_{1}, v_{2}, v_{3}} on lineaarisesti riippumaton. (Tarkoitus on tietysti käyttää LRT:n määritelmää, eikä vedota lauseeseen :-))

3. Erään asutuskeskuksen alueella on kiristyneen kilpailutilanteen johdosta jäljellä vain kaksi matkapuhelinoperaattoria E ja F. (Jälkimmäinen muodostettiin erään öljy-yhtiön johtajien optiopääomien turvin.)

Liittymien vaihtoa kuukaudessa edustakoon siirtymämatriisi

P = [ \begin{matrix}0.6 & 0.3 \\ 0.4 & 0.7 \end{matrix} ] .

Olkoot liittymäosuudet marraskuun lopussa F = 10 ja E = 90 prosenttia. Mitä tasapainojakaumaa lähenevät liittymäosuudet, kun kuukausien lukumäärä kasvaa rajatta? Vaikuttaako alkujakauma asiaan?

4. Muodosta ortogonaalinen diagonalisointi matriisille

A = [ \begin{matrix}4 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \end{matrix} ] ,

ts. sanoen määritä ortogonaalinen matriisi U ja diagonaalimatriisi D siten, että A = U D U^{T} .

1Yhtälö, jossa esiintyy nulliteetti n(A) ja rangi r(A)