Mat-1.433/443 Matematiikan peruskurssit K3/P3

Apiola/Bingham

1. välikoe 17.10. 2005

Muistathan kirjoittaa nimesi ja muut vaadittavat jokaiseen vastauspaperiin!

Sallittu: funktiolaskin

1. (a) Määritä kaikki arvot log(−1 + i\sqrt{3}) .

(b) Piirrä z-tason alue ln \frac{1}{2} < x < 0, −\frac{π}{2} < y < π ja sen kuva kuvauksessa w = e^{z}.

2. (a) Kirjoita sinh z muotoon u(x, y) + i v(x, y) (u ja v reaaliarvoisia), z = x + i y. (Käytä sinh − funktion määritelmää, tarkoitus ei ole käyttää yhteenlaskukaavaa.)

(b) Osoita Cauchy–Riemannin yhtälöiden (ja lisäehdon) avulla, että sinh z on analyyttinen koko kompleksitasossa.

3. Laske funktion f_{1} Laplace muunnos ja funktion F_{2} käänteismuunnos, kun

f_{1}(t) = \begin{cases}t 0 < t < 1 \\ 1, 1 < t < 2 \\ 0, t > 2. \end{cases}

ja F_{2}(s) = \frac{2 s+7}{s^{2}+2 s+5}.

4. Ratkaise Laplace-muunnosta käyttäen alkuarvotehtävä

y′′ + 2y = r(t), y(0) = 0, y′(0) = 0, missä r(t) = \begin{cases}1, 0 < t < 1 \\ 0, t > 1 \end{cases}

Pari hassua kaavaa

Seuraavassa z tarkoittaa kompleksilukua ja x reaalilukua. sinh z = \frac{1}{2}(e^{z} − e^{−z}), cosh z = \frac{1}{2}(e^{z} + e^{−z}) \frac{d}{dx} cosh x = sinh x, \frac{d}{dx} sinh x = cosh x

Laplace-muunnokset

Määritelmä: Annettu f(t), Lf = F, F (s) = ∫_{0}^{∞} f(t)e^{−st}dt Merk. u(t) = H(t)=yksikköaskelfunktio . (Lf′)(s) = sF (s) − f(0), (Lf′′)(s) = s^{2}F (s) − sf(0) − f′(0), L{∫_{0}^{t} f(τ)dτ} = \frac{1}{s}F (s), L(f ∗ g) = (Lf)(Lg), (f ∗ g)(t) = ∫_{0}^{t} f(t − τ)g(τ)dτ = (g ∗ f)(t)

L{e^{at}f(t)} = F (s − a), L{u(t − a)f(t − a)} = e^{−as}F (s), L{δ(t − a)} = e^{−as}

Laplace-taulukko

f(t) t^{k}  e^{at} cosh at sinh at cos ωt sin ωt
F (s) \frac{k!}{s^{k+1}}  \frac{1}{s−a}  \frac{s}{s^{2}−a^{2}}  \frac{a}{s^{2}−a^{2}}  \frac{s}{s^{2}+ω^{2}}  \frac{ω}{s^{2}+ω^{2}}

Osamurtokehitelmät

Olk. F (s) = \frac{P (s)}{Q(s)}, missä deg(P) < deg(Q)

1) Jos Q(s):llä on yksinkertainen tekijä s − a, otetaan kehitelmään termi \frac{A}{s−a}.

2) Jos Q(s):llä on yksinkertainen tekijä s^{2} + bs + c, tulee kehitelmään termi \frac{Bs+C}{s^{2}+bs+c}, jos halutaan operoida reaalisilla kertoimilla.

3) Jos em. muotoa olevat termit esiintyvät korkeammassa potenssissa, sanokaamme r, otetaan termit \frac{A_{1}}{s−a} + \frac{A_{2}}{(s−a)^{2}} + … + \frac{A_{r}}{(s−a)^{r}} ja vastaavasti toisessa tapauksessa termit \frac{B_{1}s+C_{1}}{s^{2}+bs+c} + … + \frac{B_{r}s+C_{r}}{(s^{2}+bs+c)^{r}}