\documentclass[finnish,11pt,twocolumn]{article}
%\documentclass[11pt,a4paper,finnish]{amsart}
%\usepackage{amsmath}
\usepackage{/home/apiola/tex/KP3harj}
%\usepackage{KP3harj}
\usepackage[dvips]{epsfig}

\def\Ln#1{\textit{Ln #1}}
\def\Log#1{\textit{Log #1}}
\def\Re {\textit{Re}}
\def\Im {\textit{Im}}
\def\Arg {\textit{Arg}}
\def\arg {\textit{arg}}


\begin{document}
%\input{/home/apiola/tex/AmsLTXfiMacro.tex}
%\input{AmsLTXfiMacro.tex}

\subsection*{Mat-1.433/443/131 Peruskurssit K3/P3/KeTeMa } 

 
\hfill Apiola/Bingham

\subsection*{Tentti- ja uusintavälikoetehtävät, 30.1.2006}

Samassa nipussa ovat tammikuun 2006 tenttitehtävät ja kaikki 
uusintavälikoetehtävät. 

Voit päättää, suoritatko jonkin välikoeuusinnan vai tentin, 
molempia et voi tehdä, etkä useampaa välikoetta. (Jos {\bf luovutat 
useamman} koesuorituksen, niin {\bf suorituksiasi ei arvostella} lainkaan.)
Kussakin välikokeessa on normaaliin tapaan 4 tehtävää, arvostelu normeerataan kertomalla 3/4:lla, eli max=18. Voimaan jää se välikoepistemäärä, joka on korkeampi.
Hyväksyttävän poissaolosyyn esittäneiden oppilaiden 
välikoesuoritukset arvostellaan ilman yo. normeerausta, 
eli max = 24.

Kurssin {\bf Mat-1.131 (KeTeMa)} suorittaminen on Ke-osastolaisille 
myös mahdollista tentillä, tällöin valitaan tenttitehtävät 1,2,3 ja uusintavälikokeen 2 tehtävä 4.
Välikokeen 1 tai 2 voi uusia myös KeTeMa-suoritusta varten.

{\bf Funktiolaskin sallittu}, {\bf kaikilla 4:n tunnin koeaika}


\subsubsection*{Tentti}

\begin{enumerate}
\item %1
(a) Piirrä z-tasoon suorakulmio\\
$-1 < x <  1,\ \ -\pi/2 < y < \pi/3$\quad ($z=x+i\,y$) ja
$w$-tasoon sen kuva kuvauksessa $w=e^z$.

(b) Osoita, että $f(z)=e^z$ on derivoituva kaikissa kompleksitason
pisteissä $z$, ja määritä derivaatta $f'(z)$.

\item %2
Ratkaise Laplace-muunnosta käyttäen alkuarvotehtävä

$$y''  +5\,y'+6\,y =r \left( t \right),
\ \ y(0)=0,\ \ y'(0)=0, $$
missä $r(t)=\begin{cases}
2, \ \ \textrm{kun}\ \ 0\leq t < 4\\
0, \ \ \textrm{kun}\ \ t\geq 4
\end{cases}
$

\item %3
Presidentinvaalin toinen kierros käydään ehdokkaiden H ja N välillä.
Tarkastellaan niitä äänestäjiä, jotka käyvät äänestämässä varsinaisena
vaalipäivänä $29.1.06$ \footnote{Tehtävä on laadittu ennen vaaleja}.
Oletetaan, että mainittujen äänestäjien joukossa ehdokkaiden kannatusprosentit
muuttuvat päivittäin siirtymämatriisin 

$P=\left[ \begin {array}{cc}  0.91& 0.1\\\noalign{\medskip} 0.09& 0.9\end {array} \right]$ osoittamalla tavalla. Tässä ensimmäinen rivi ja sarake viittaavat 
ehdokkaaseen H ja toinen ehdokkaaseen N .

(a) Laske $P:$n ominaisarvot ja suurempaa vastaava ominaisvektori sekä
perustele ominaisvektorien lineaarinen riippumattomuus. 

(b)
Olkoon $\x_0 (= \lbrack H_0,N_0 \rbrack^T)$ jokin prosenttilukuvektori 
ja 
olkoon $\x_k=P\,\x_{k-1},k=1,2,\ldots.$
Olkoot $P:$n ominaisvektorit $\v_1$ ja $\v_2.$ Kohdan (a) perusteella mielivaltainen lähtövektori $\x_0$ voidaan esittää muodossa $\x_0=c_1\,\v_1 + c_2\,\v_2 .$\\
Osoita tästä esityksestä lähtemällä, että jono $(\x_k)_{k=1,2,\ldots}$ lähenee 
rajavektoria, kun $k\to \infty .$ 

(c) Määritä tämä rajavektori (joka on hyvä approksimaatio ``oikealle'' vaalivektorille $x_{14}$).\\
(Huom: Kertoimia $c_1$ ja $c_2$ ei tarvitse laskea. Se, joka rajankäynnin 
jälkeen jää määrättäväksi, saadaan sillä perusteella, että vektorin komponentit 
ovat prosenttilukuja.) 

(d) Vapaaehtoinen (ei pisteitä): Vertaa tulosta oikeaan vaalitulokseen ja 
hämmästy (suuntaan tai toiseen)!

%Vapaaehtoisena pohdintana voit helposti arvioida virhettä, joka vallitsee 
%"todellisen" vaalivektorin $\x_{14}$ ja rajavektorin välillä ja todeta 
%sen mitättömän pieneksi, jos alkuarvo on "kohtuullinen".


\item %4
Ratkaise alkuarvotehtävä 
$\y' = A \y$,  $\y(0)=\left[-1,-1\right]^T$, kun

$A=
\left[ \begin {array}{cc} -2&-5\\\noalign{\medskip}1&4\end {array}
 \right].
$

Selvitä kriittisen pisteen $\vec{0}$ luonne (noodi, satula, spiraali, tms.) ja 
stabiilisuuskäytös,
sekä piirrä
kuvaan ominaisvektorit ja edellä saatu
ratkaisutrajektori (muutaman lasketun pisteen avulla) suuntanuolineen. 
(Siis suuntanuolet myös ominaisvektoreille.)


\item  % 5
Kuparia muistuttava sauva ($c=1$), jonka pituus $L=10$ cm, 
upotetaan kiehuvaan 
veteen, kunnes sen l\"amp\"otila on kauttaaltaan $100^\circ$C.
Hetkell\"a $t=0$ sauva otetaan vedest\"a, l\"amp\"oeristet\"a\"an 
pituussuunnassa
ja sen p\"a\"at ty\"onnet\"a\"an j\"a\"avesis\"aili\"oihin ($0^\circ$C).

(a)
Määritä sauvan lämpötilafunktio $u(x,t).$
         
%(b)
%Totea sijoittamalla vuorotellen $x=0,\ \ x=10,\ \ t=0,$ että $u(x,t)$
%todellakin toteuttaa annetut alku- ja reunaehdot.

(b)
Kuinka pitk\"an ajan kuluttua sauvan keskipisteen l\"amp\"otila on 
$20^\circ$C?  Riitt\"a\"a käyttää approksimaationa sarjan ensimm\"aistä termiä. 
  

\end{enumerate}


\subsubsection*{Uusintavälikoe 1}

\begin{enumerate}




\item% 1
%Laske ja piirrä kaikki juuret $\root 6 \of {1+i}$,
Määritä yhtälön $z^6 = 1+i\sqrt{3}$ kaikki ratkaisut $\C:$ssä.
Ilmoita sekä tarkat arvot että likiarvot ja piirrä kuva, johon merkitset
nuo arvot.\\
(Huomaa, että saat tarvitsemasi argumentin tarkan arvon,
kunhan piirrät itsellesi tasasivuisen kolmion ja sille sivun 
keskinormaalin.)

\item % 2
Tenttitehtävä 1

\item % 3
(a) Johda Laplace-muunnos ${\cal L}\lbrace \sin\, t\rbrace $  derivoimalla
kaksi kertaa ja käyttämällä hyväksi (toisen) derivaatan Laplace-muunnoksen
kaavaa.

(b)
Muodosta käänteismuunnos $${\cal L}^{-1}\lbrace \frac{3\,s +4}{s^2+4\,s + 13}\rbrace. $$


\item % 4
Tenttitehtävä 2

\end{enumerate}

\subsubsection*{Uusintavälikoe 2}

\begin{enumerate}

\item  %1 %Lay 4.3 s. 243 exe 9.
Määritä matriisin
$A=
\left[ \begin {array}{cccc} 1&0&-3&2\\\noalign{\medskip}0&1&-5&4
\\\noalign{\medskip}3&-2&1&-2\end {array} \right] $

nolla-avaruuden {\em Nul(A)}, sarakeavaruuden {\em Col(A)}
ja riviavaruuden {\em Row(A)}
kannat. Esitä käsitteiden {\em rangi} ja {\em nulliteeti} määritelmät ja 
totea, että laskusi tukee niiden välillä vallitsevaa yhteyttä.

\item %2
Tenttitehtävä 3

\item %3
(a)
Osoita, että vektorit $
    	\v_1=\left[1,-2,1\right]^T, \v_2=\left[0,1,2\right]^T, 
v_3=\left[-5,-2,1\right]^T$ muodostavat ortogonaalisen kannan $\R^3$:ssa.

(b)
Määritä vektorin $\v=\left[1,0,1\right]^T$ esitys tässä kannassa.


\item %4
%Olkoon $$
%A= \left[ \begin {array}{ccc} 1/2&-1&-1/2\\\noalign{\medskip}-1&1&-1
%\\\noalign{\medskip}-1/2&-1&1/2\end {array} \right] 
%$$
Olkoon
$A= \left[ \begin {array}{ccc} 1&-2&-1\\\noalign{\medskip}-2&2&-2
\\\noalign{\medskip}-1&-2&1\end {array} \right] $
Tiedetään, että $A:n$ eräs ominaisarvo on $2$ ja eräs 
ominaisvektori $=\left[1,1,1\right]^T.$\\
(a) Määritä $A:$n muut ominaisarvot ja -vektorit.\\
(b) Muodosta A:lle ortogonaalinen diagonalisointi.
\end{enumerate}

\subsubsection*{Uusintavälikoe 3}

\begin{enumerate}
\item %1
Tenttitehtävä 4
\item %2
Tarkastelun kohteena on vaimennettua heiluria kuvaava yhtälö
$\Theta'' + c\,\Theta' + k\,\Theta = 0,$
missä vakioilla on arvot $k=1,\ \ c=0.5$.
Kuvassa näkyy suuntakenttä ja mm. pisteen $(0,2)$ kautta kulkeva trajektori (alkupoikkeutus $=0,$ alkukulmanopeus $=2 (\textrm{rad/s})$).

(a) Kirjoita yhtälö 1. kertaluvun systeemiksi.\\
(b) Linearisoi systeemi kriittisen pisteen $\vec{0}$ ympäristössä ja
päättele ominaisarvojen perusteella, että tyyppi on sopusoinnussa kuvan kanssa.\\
(c) Suorita kolme askelta Eulerin menetelmällä lähtien ajanhetkellä $t=0$ 
pisteestä $(0,2)$ käyttäen (aika-)askelpituutta $h=0.5 .$ Piirrä pisteet
ja niitä yhdistävä murtoviiva faasitasoon ja arvioi kuvasta, minkälainen virhe
loppupisteessä syntyy.\\
\begin{center}
\includegraphics[height=8cm, width=8cm]{vheii.eps}\\
%\textsc{Välikokeen 3 tehtävään 2 liittyvä kuva} 
\end{center}

\item %3
Olkoon $f(x)=\begin{cases}
1,\ \ \textrm{kun}\ \ 0 < x < 1 \\
-1,\ \ \textrm{kun}\ \ 1 < x < 2 \\
\end{cases}.$

(a) Piirrä $f:$n parillinen ja pariton $4-$jaksoinen jatke 
välillä $\left[-4,4\right]$\\
(b) Muodosta parillisen jatkeen Fourier-sarja (siis jaksona $4$), ja kirjoita 
auki sarjan neljä ensimmäistä nollasta poikkevaa termiä.

\item %4
Tenttitehtävä 5
\end{enumerate}

\subsection*{Kaavoja, ohjeita}

Kaikkia kaavoja sinun ei tarvitse tarvita.

\subsubsection*{Laplace-muunnokset}


\textbf{Määritelmä: }
Annettu $f(t)$, ${\cal L}f=F$, $F(s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt$ 
\quad {\bf Merk.} $u(t)=H(t)$=yksikköaskelfunktio . \\
$({\cal L}f')(s)=s F(s)-f(0),\quad ({\cal L}f'')(s)=s^2 F(s)-s f(0)-f'(0),$
${\cal L}\lbrace \int_0^t f(\tau)d\tau \rbrace ={\frac{1}{s}}F(s), \ \ 
{\cal L}(f*g)=({\cal L}f)({\cal L}g), (f*g)(t)=\int_0^t f(t-\tau)g(\tau)d\tau = (g*f)(t)$

${\cal L}\lbrace e^{at} f(t) \rbrace = F(s-a), \ \ 
 {\cal L}\lbrace u(t-a)f(t-a) \rbrace = e^{-as}F(s), \ \
{\cal L}\lbrace \delta(t-a)\rbrace = e^{-as}$

\subsubsection*{Laplace-taulukko}

%\hrule 

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$f(t)$ & $t^k$  & $e^{at}$ & $\cosh at$ &  $\sinh at$ &  
 $\cos \omega t$ & $\sin \omega t$  \\ \hline \hline

$F(s)$ & ${\frac{k!}{s^{k+1}}}$  & ${\frac{1}{s-a}}$ & ${\frac{s}{s^2-a^2}}$
& ${\frac{a}{s^2-a^2}}$  & ${\frac{s}{s^2+\omega^2}}$ & 
${\frac{\omega}{s^2+\omega^2}}$
\\ \hline 
\end{tabular}

%\include{/home/apiola/tex/osamurto}
%% Liitä tenttipaperiin, jos tarpeen  tex/osamurto.tex %% 29.8.02

\subsubsection*{Osamurtokehitelmät}

Olk. $F(s)={\frac{P(s)}{Q(s)}}$, missä $\textit{deg}(P) < \textit{deg}(Q)$
\\
1) Jos $Q(s)$:llä on yksinkertainen tekijä $s-a$, otetaan kehitelmään termi
${\frac{A}{s-a}}.$
\\
2) Jos $Q(s)$:llä on yksinkertainen tekijä $s^2+b s+c$, tulee kehitelmään termi
${\frac{Bs+C}{s^2+b s+c}}$, jos halutaan operoida reaalisilla kertoimilla.
\\
3) Jos em. muotoa olevat termit esiintyvät korkeammassa potenssissa, sanokaamme
$r$, otetaan termit
${\frac{A_1}{s-a}}+{\frac{A_2}{(s-a)^2}}+\hdots +{\frac{A_r}{(s-a)^r}}$
ja vastaavasti toisessa tapauksessa termit
${\frac{B_1s+C_1}{s^2+b s+c}}+\hdots + \frac{B_rs+C_r}{(s^2+b s+c)^r}$

\textbf{Fourier-kertoimet, $f$ määritelty välillä $(-L,L)$}

$$f(x)\sim a_0+\sum_{n=1}^\infty (a_n \cos {\frac{n \pi x}{L}}+
b_n \sin {\frac{n \pi x}{L}}),\ \ \textrm{missä} $$
$a_0={\frac{1}{2L}}\int_{-L}^L f(x)dx, \\
a_n={\frac{1}{L}}\int_{-L}^L f(x)\cos {\frac{n \pi x}{L}} dx ,\ \
b_n={\frac{1}{L}}\int_{-L}^L f(x)\sin {\frac{n \pi x}{L}} dx,\ \ n\in\N$

%\textbf{Differentiaaliyhtälöiden numeriikkaa}

\textbf{Diffyht. numeriikkaa, Eulerin menetelm\"a } 

$\y(t_0)=\y_0,\ \ t_{n+1}=t_n+h,\ \ \y_{n+1}=\y_n+h \f(t_n,\y_n),\ \ 
n=0,1,\ldots$

\textbf{Osittaisdifferentiaaliyhtälöitä}

Aaltoyhtälö (1-ulotteinen): $u_{tt}=c^2\,u_{xx}$ \\%(hyperbolinen)\\
Lämpö/diffuusioyhtälö (1-ulotteinen): $u_{t}=c^2\,u_{xx}$\\% (parabolinen)\\
Laplacen yhtälö: $\nabla^2 u = u_{xx}+u_{yy}= 0$  (2-ulotteinen)\\% (elliptinen)\\
%Poissonin yhtälö: $\nabla^2 u = f$  (2- tai 3-ulotteinen).\\
%(Vaihtoehtoinen merkintä: $\Delta = \nabla^2$)

Lämpöyhtälön ratkaisu, kun sauvan pituus $L$, reunat $0^\circ:$ssa ja alkuehtona 
$u(x,0)=f(x):$

$$u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty B_n \sin\frac{n\,\pi\,x}{L}e^{-\lambda_n^2\,t},
\ \ \lambda_n=\frac{c\,n\,\pi}{L}, $$
missä kertoimet $B_n$ määrätään niin, että alkuehto toteutuu.

\vskip 0.5cm
\hrule

Toivotan hyvää koemenestystä ja matematiikan peruskurssien jälkeistä
elämää. Minun osaltani tässä ovat ``vier letzte Lieder''.
({\verb= http://dana.ucc.nau.edu/~avj2/vier_letzte_lieder.htm}=)

$${\cal HEIKKI}$$

\end{document}



\begin{enumerate}


\item {[t-tammi96]}
Ratkaise vaimennettu v\"ar\"ahtelyteht\"av\"a:
$y''+2y'+y=r(t),\ \ y(0)=0,y'(0)=0,$ missä %\delta(t)-H(t-2\pi)
her\"atteen\"a (ulkoisena voimana) on yksikköimpulssin suuruinen vasaranisku
hetkell\"a $t=0$ ja vakiovoima $-1$ ajanhetkest\"a $t=2\pi$ alkaen.
(Vasaraniskua mallinnetaan (\emph{Dirac'n}) $\delta(t)$:llä.)
Hahmottele ratkaisufunktion kuvaaja v\"alill\"a $\lbrack 0,10 \rbrack$.\\
Vihje: Lausu $r(t)$ $\delta(t):$n ja sopivan porrasfunktion summana.



\item  {[t-touko96]}
Ratkaise alkuarvotehtävä $\ddot y + 2\dot y = H(t-1), 
\ \ y(0)=0, \dot y(0)=1$.

Tässä $H$ on Heavisiden funktio, eli yksikköaskelfunktio, jota usein myös 
$u$:lla merkitään.





\item %1
(a) Määritä $\textit{Re}\, z$, $\textit{Im}\, z$, $\vert z \vert $, 
$\textit{Arg}(z)$
(argumentin päähaara),
% lausuttuna ${\overline{\arctan}$-funktion päähaaran avulla),
kun  
$$z=\frac{3+2 i}{1+i}.$$
%$z=\frac{{2-i(3-2i)^2}{2+i(1+i)}}.$

(b) Laske 
 $(\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2})^{2003}.$ Anna tulos muodossa $x+i y.$ 

Huom! Pelkkä (laskimelta kysytty?) tulos ilman yhtään laskennan periaatetta valaisevaa
välivaihetta antaa $0$ pistettä.


%a) Laske (kaikki luvut) $z^2$, joilla $|z| = 5$ ja $Im z=-3$.



%M\"a\"ar\"a\"a  $Re\, z$, $Im\, z$, $\vert z \vert $, $arg(z)$, kun \quad
%b1) \quad
%   $z={{2-i(3-2i)^2}\over{2+i(1+i)}}$
%\quad b2) \quad
%  $z=(1/2 + i \sqrt{3}/2)^{1995}$



\item %2
(a) Määritä $\Ln(-1+i\sqrt{3})$ (päähaara). \\
Yllä oleva huomautus pätee tässäkin.

(b) Määritä ja hahmottele z-tason 
alue  $$\frac{1}{2} \leq |z| \leq 20,\ \ -\frac{\pi}{2} \leq \Arg\, 
z \leq \frac{\pi}{2}$$
ja sen kuva ($w$-tasossa) kuvauksessa $w = \Ln\, z$ (edelleenkin päähaara).

%\end{document}
\item %3
Määritä matriisin 

$$A=
\left[ \begin {array}{cccc} -2&4&-2&-4\\
\noalign{\medskip}2&-6&-3&1\\
\noalign{\medskip}-3&8&2&-3\end{array} \right] 
$$

rivi- ja sarakeavaruuksien kannat sekä 
nolla-avaruuden $N(A)$ dimensio.


\item
Matriisin 

$$A=
\left[ \begin {array}{ccc} 1&0&0\\\noalign{\medskip}1&3&2
\\\noalign{\medskip}1&2&3\end {array} \right]
$$

karakteristinen polynomi $D(\lambda)=\det(A-\lambda I)$ 
voidaan kirjoittaa muotoon
$D(\lambda)=\left(1 -\lambda \right)  \left( {\lambda}^{2}-6\,
\lambda+5 \right).$

(a)
Määritä ominaisarvot (algebrallisine) kertalukuineen.

(b)
Laske kaksinkertaista ominaisarvoa vastaavan ominaisavaruuden kanta ja osoita,
että matriisi on diagonalisoituva.

(c)
Lähtien diagonalisointikaavasta, johda kaava, jolla voit
laskea $A^p$:n $3$:lla potenssiinkorotuksella ja similariteettimuunnoksen 
vaatimalla aritmetiikalla. (Tässä ei siis ole tarkoitus laskea mitään.)

\end{enumerate}

%\end{document}

%kahdella matriisikertolaskulla ja käänteismatriisin
%muyodostuksella.


\subsection*{Ohjeita}


\begin{itemize}

\item
Jos et satu muistamaan, mitä on $\arctan \sqrt{3},$ niin piirrä itsellesi tasasivuinen
kolmio ja sille sivun keskinormaali.

%\item
%{\em Similariteettimuunnos} tarkoittaa annetun neliömatriisin $A$ muuntamista
%muotoon $X A X^{-1}.$

\end{itemize}

\end{document}

\item  % Jotain tämäntyylistä
Ajatellaan, että erään asutuskeskuksen asukkailla on kahden operaattorin,
R ja S matkapuhelinliittymiä. 
%\footnote{Laskutyön rajoittamiseksi joudumme jättämään 
%mm. operaattorin T pois.}
Liittymien vaihtoa kuukaudessa edustakoon
siirtymämatriisi

$$P=
\left[ \begin {array}{cc}  0.6& 0.3\\\noalign{\medskip} 0.4& 0.7
\end {array} \right].
$$

(a)
Laske matriisin ominaisarvot ja suurempaa ominaisarvoa vastaava
ominaisvektori $\V{v}_1$ ja kerro, miksi ominaisvektorit muodostavat 
$\R^2$:n kannan.

(b) 
Tarkastellaan iteraatiota $\V{x}_{k+1}=P \V{x}_k, k=0,1,\ldots$.
Olkoon alkupiste $\V{x}_0$ esitetty ominaisvektorikannassa:
$\V{x}_0=c_1 \V{v}_1+ c_2 \V{v}_2$.

Mitä rajavektoria lähestyy jono $\V{x}_k$, kun $k\to \infty$ ?


%Esitä sitten alkupistevektori (vaikkapa)
%$\V{x}_0=
% \left[ 
%    \begin {array}{c} 0.5\\
%    \noalign{\medskip}0.5
%\end {array} 
%\right]$ 
%ominaisvektorikannan avulla, ja selvitä, mihin tilanne asettuu, kun monta
%kuukautta on kulunut.

%(Olkoon tässä kaikki, jotta välikoealuerajaa ei kenenkään tulkinnan mukaan 
%ylitetä, vaikka tarina jääkin jännittävimpään kohtaan.)

%$%$V=
% \left[ 
%    \begin {array}{c} p\\
%    \noalign{\medskip}1-p
%\end {array} 
%\right] 
%$
% ja selvitä, mikä on kantakaupunki/esikaupunki-
%jakauma pitkän ajan kuluttua (riippumatta alkujakaumasta, ts. $p$:stä).




Jotta voisit laskea taas 
historiallisen potenssin $A^{2006},$ kirjoita
ja perustele kaava, jolla sen voit laskea kolmella
potenssiinkorotuksella ja similariteettimuunnoksen vaatimalla aritmetiikalla.
Tässä ei tarvitse laskea mitään, kunhan selvität, miten matriisit ja 
laskukaava muodostetaan. Siis potenssiinkorotuskaavan perustelua 
pyydetään, mutta
matriisihajotelman osien rakentamisperustelua (diagonalisointilauseen johtoa) 
ei vaadita.




\subsubsection*{Uusintavälikoe 2}
\begin{enumerate}

\item
Olkoon $\left{\u_1,\ldots,\u_m}$ ortonormaali vektorijoukko.
Osoita, että se on lineaarisesti riippumaton.

\end{enumerate}


\subsubsection*{Uusintavälikoe 3}
\begin{enumerate}

\end{enumerate}



\end{document}


\item %2
(a) Kirjoita $\sinh\,z$ muotoon $u(x,y)+i\,v(x,y)$ ($u$ ja $v$ reaaliarvoisia),
$z=x+i\,y.$ (Käytä $\sinh-$ funktion määritelmää, tarkoitus {\bf ei ole} käyttää yhteenlaskukaavaa.)\\
(b)
Osoita \emph{Cauchy--Riemannin} yhtälöiden (ja lisäehdon) avulla, 
että $\sinh \, z$ on 
analyyttinen koko kompleksitasossa.



\item %{[t-joulu96]}
 Laske funktion $f_1$ Laplace muunnos ja funktion 
$F_2$ k\"a\"anteismuunnos, kun
\[
f_1(t)=\begin{cases}
t\, \ \ 0 < t < 1\\
1,\ \ 1 < t < 2\\
0,\ \ t > 2.
\end{cases}
\]
ja $F_2(s)={\frac {2\,s+7}{{s}^{2}+2\,s+5}}.$



%    f_1(t)=\left\{ \begin{array}{rl}
%             0\ ,&0\le t<2\\
%             t\ ,&2<t<3\\
%             -2\ ,&3<t<4\\
%             0\ ,&t>4
%           \end{array}\right\}.  \hspace{1.5cm}
%           F_2(s)={\frac{1}{s^2(s^2+\omega^2)}} %f_2(t)=t\sin(at)\cos(at)


\item %{[vk2-95]}
Ratkaise Laplace-muunnosta käyttäen alkuarvotehtävä

$y''  + 2y = r(t),\ \ y(0)=0, \ \ y'(0)=0$, missä
$r(t)=\begin{cases}
             1,\ \ 0<t<1 \\
             0, \ \ t>1 
\end{cases}
$






\end{enumerate}

\vfill\eject

\subsubsection*{Pari hassua kaavaa}

Seuraavassa $z$ tarkoittaa kompleksilukua ja $x$
reaalilukua.\\
%$\sin(z_1\pm z_2)=\sin\,z_1 \,\cos\,z_2 \pm \cos\,z_1\,\sin\,z_2,$\\
%$\cos(z_1\pm z_2)=\cos\,z_1 \,\cos\,z_2 \mp \sin\,z_1\,\sin\,z_2,$ \\%(z_1, z_2\in \C$)\\
%Tässä on kokoelma yleishyödyllistä matematiikkaa. Käytä, jos tunnet tarvetta.
%$$\sin(x+iy)=\sin \left( x \right) \cosh \left( y \right) +i\cos \left( x \right) 
%\sinh \left( y \right) $$
%$$\cos(x+iy)=\cos \left( x \right) \cosh \left( y \right) -i\sin \left( x \right) 
%\sinh \left( y \right) 
%$$
%%%%
$\sinh\,z = \frac{1}{2}(e^z - e^{-z}),\ \
\cosh\,z = \frac{1}{2}(e^z + e^{-z}) $\\
%$\sin(i\,z) = i\,\sinh\,z,\ \ \cos(i\,z)= \cosh \,z .$\\
$\frac{d}{dx}\cosh\, x = \sinh\, x,\ \  \frac{d}{dx}\sinh\, x = \cosh\, x$ 
 %x\in \R.$


