\documentclass[finnish,12pt,twocolumn]{article}
\usepackage{/home/apiola/tex/KP3harj}
%usepackage{KP3harj}
\usepackage{ae,aecompl} 
\usepackage[dvips]{epsfig}
%\include{/home/apiola/tex/defs}
\def\norm#1{\Vert #1\Vert} 
\def\phi{{\varphi}}


\begin{document}

%\input{/home/apiola/tex/AmsLTXfiMacro.tex}

\subsection*{Mat-1.433/443 Matematiikan peruskurssit K3/P3} 
\hfill Apiola

\subsubsection*{Tentti 30.8. 2005}

\textbf{Muistathan kirjoittaa nimesi ja muut vaadittavat 
jokaiseen vastauspaperiin!}
\vspace{0.5cm}

{\bf Sallittu: funktiolaskin }

\textbf{Huomaa}, että tehtäväpaperin lopussa on kaavakokoelma.

\begin{enumerate}

\item %1
Olkoon $f(z)=\frac{1}{z}.$ Osoita {\em Cauchy--Riemannin} yhtälöiden avulla,
että $f$ on analyyttinen koko kompleksitasossa, josta $0$ on poistettu
(eli joukossa $\C\backslash \{0\}$).

%Muodosta derivaatta $f'(z)$ lausuttuna pelkän $z:$n avulla käyttämällä
%Cauchy--Riemannin yhtälöiden yhteydessä johdettua osittaisderivaattakaavaa.
%$f'(z)=u_x + i\,v_x$.



\item
Matriisin 
$$A=
\left[ \begin {array}{ccc} 1&0&0\\\noalign{\medskip}1&3&2
\\\noalign{\medskip}1&2&3\end {array} \right]
$$

karakteristinen polynomi $D(\lambda)=\det(A-\lambda I)$ 
voidaan kirjoittaa muotoon
$D(\lambda)=\left(1 -\lambda \right)  \left( {\lambda}^{2}-6\,
\lambda+5 \right).$

(a)
Määritä ominaisarvot (algebrallisine) kertalukuineen.

(b)
Määritä ominaisvektorit ja perustele matriisin diagonalisoituvuus.

(c)
Muodosta ja perustele matriisikaava, jolla lasket $A^{20}$ siten, että 
aritmetiikkaa on olennaisesti
vähemmän kuin suorassa matriisipotenssin laskussa.
Käänteismatriisia ei tarvitse laskea.


\item
Ratkaise Laplace-muunnosta käyttäen alkuarvotehtävä

$${\frac {d^{2}}{d{t}^{2}}}y \left( t \right) +5\,{\frac {d}{dt}}y
 \left( t \right) +6\,y \left( t \right) =r \left( t \right),
\ \ y(0)=0,\ \ y'(0)=0, $$
missä $r(t)=\begin{cases}
2, \ \ \textrm{kun}\ \ 0\leq t < 4\\
0, \ \ \textrm{kun}\ \ t\geq 4
\end{cases}
$

\item %4
Olkoon  $f(x)=\begin{cases} 0,\ \ \textrm{kun}\ \ 0<x<1 \\
                            1,\ \ \textrm{kun}\ \ 1 < x < 2
               \end{cases}.$ 
Piirrä $f:$n parillinen laajennus ja 
muodosta sen Fourier-sarja (eli $f$:n (4-jaksoinen) kosinisarja). 
Kirjoita erikseen näkyviin sarjan $3$
ensimmäistä nollasta poikkeavaa termiä.



\item %5
Olkoon  sivuiltaan lämpöeristetyn sauvan pituus $=1$ ja olkoot yksiköt valittu
niin, että lämpöyhtälön vakio $c=1.$ Sauvan päät olkoot lämpötilassa $0$ ja
olkoon sauvan alkulämpötila 


$$u(x,0)=f(x)=
4\,\sin \left( \pi \,x \right) - 0.5\,\sin \left( 4\,\pi \,x \right) +
 0.1\,\sin \left( 7\,\pi \,x \right)$$

Johda muuttujanerottelulla ratkaisu $u(x,t).$

Suorita johtaminen vaiheittain. Riittää, kun päädyt ratkaisuun, joka toteuttaa
reunaehdot ja alkuehdon, ei tarvitse välttämättä koluta ``yhteisen vakion''
merkkivalintoja, jos muistat/arvaat sen oikein. Muita ulkoa muistettuja oikaisuja
(varsinkaan valmiiseen loppukaavaan sijoittamista) ei sitten sallitakaan.

Vihje: Mieti, onko tarpeen kehittää jotain Fourier-sarjaksi, jos ei ole, niin 
älä tuhlaa aikaasi turhaan työhön.

% Vast: $u(x,t)=3e^{-\pi^2t}\sin \pi t + 5e^{-16\pi^2 t}\sin (4\pi t)$


\end{enumerate}








\begin{center} 
{\sc Käännä}
\end{center}
\vfill\eject

\subsection*{Kaavoja, menetelmiä}


%\subsection*{Perusteita}

%Osittaisintegrointi: $\int_a^b u(x)v'(x)\, dx = \sij{a}{b} u(x)v(x)-
%\int_a^b u'(x)v(x)\, dx $

\subsection*{Laplace-muunnokset}

\textbf{Määritelmä: }
Annettu $f(t)$, ${\cal L}f=F$, $F(s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt$ 
\quad {\bf Merk.} $u(t)=H(t)$=yksikköaskelfunktio . \\
$({\cal L}f')(s)=s F(s)-f(0),\quad ({\cal L}f'')(s)=s^2 F(s)-s f(0)-f'(0),$
${\cal L}\lbrace \int_0^t f(\tau)d\tau \rbrace ={\frac{1}{s}}F(s), \ \ 
{\cal L}(f*g)=({\cal L}f)({\cal L}g), (f*g)(t)=\int_0^t f(t-\tau)g(\tau)d\tau = (g*f)(t)$

${\cal L}\lbrace e^{at} f(t) \rbrace = F(s-a), \ \ 
 {\cal L}\lbrace u(t-a)f(t-a) \rbrace = e^{-as}F(s), \ \
{\cal L}\lbrace \delta(t-a)\rbrace = e^{-as}$

%\vskip 0.25 cm

%\begin{center} 
%{\sc Käännä}
%\end{center}
%\vfill\eject


{\bf Laplace-taulukko}

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$f(t)$ & $t^k$  & $e^{at}$ & $\cosh at$ &  $\sinh at$ &  
 $\cos \omega t$ & $\sin \omega t$  \\ \hline \hline

$F(s)$ & ${\frac{k!}{s^{k+1}}}$  & ${\frac{1}{s-a}}$ & ${\frac{s}{s^2-a^2}}$
& ${\frac{a}{s^2-a^2}}$  & ${\frac{s}{s^2+\omega^2}}$ & 
${\frac{\omega}{s^2+\omega^2}}$
\\ \hline 
\end{tabular}

%\include{/home/apiola/tex/osamurto}
%% Liitä tenttipaperiin, jos tarpeen  tex/osamurto.tex %% 29.8.02



\subsection*{Osamurtokehitelmät}

Olk. $F(s)={\frac{P(s)}{Q(s)}}$, missä $\textit{deg}(P) < \textit{deg}(Q)$
\\
1) Jos $Q(s)$:llä on yksinkertainen tekijä $s-a$, otetaan kehitelmään termi
${\frac{A}{s-a}}.$
\\
2) Jos $Q(s)$:llä on yksinkertainen tekijä $s^2+b s+c$, tulee kehitelmään termi
${\frac{Bs+C}{s^2+b s+c}}$, jos halutaan operoida reaalisilla kertoimilla.
\\
3) Jos em. muotoa olevat termit esiintyvät korkeammassa potenssissa, sanokaamme
$r$, otetaan termit
${\frac{A_1}{s-a}}+{\frac{A_2}{(s-a)^2}}+\hdots +{\frac{A_r}{(s-a)^r}}$
ja vastaavasti toisessa tapauksessa termit
${\frac{B_1s+C_1}{s^2+b s+c}}+\hdots + \frac{B_rs+C_r}{(s^2+b s+c)^r}$


\subsubsection*{Fourier-sarja} 

$2 L$-jaksoisen funktion $f$ Fourier-sarja:

$a_0+\sum_{n=1}^\infty (a_n \cos {\frac{n \pi x}{L}}+
 b_n \sin {\frac{n \pi x}{L}}),$

$a_0={\frac{1}{2L}}\int_{-L}^L f(x)dx,\ \
a_n={\frac{1}{L}}\int_{-L}^L f(x)\cos {\frac{n \pi x}{L}} dx,\ \ 
b_n={\frac{1}{L}}\int_{-L}^L f(x)\sin {\frac{n \pi x}{L}} dx .$


\end{document}





(a) Kirjoita kompleksisen eksponenttifunktion määritelmä 

(b) Piirrä z-tasoon suorakulmio\\  
$-1 < x <  2,\ \ 0 < y < \pi/3$\quad ($z=x+iy$) ja
$w$-tasoon sen kuva kuvauksessa $w=e^z$.
 
(c) Osoita, että $f(z)=e^z$ on derivoituva kaikissa kompleksitason
pisteissä $z$, ja määritä derivaatta.


\item %2
Tarkastellaan kompleksitason kuvausta $w=\frac{1}{z}$. Määritä ne
$z-$tason käyrät, jotka kuvautuvat suorille $\re\, w =\frac{1}{2}$
ja $\im\, w =\frac{1}{2}$. Piirrä kummatkin $z-$ tason käyrät, kuten myös
vastaavat $w-$tason suorat ja merkitse, kumpi kuvautuu kummalle.


\item %3
Ratkaise Laplace-muunnosta käyttäen alkuarvotehtävä

$$y'' + 5y' + 6y = \begin{cases}3,\ \ \textrm{kun}\ \ 0 \leq t < 6 \\
                                                0,\ \ \textrm{kun}\ \ t\ge 6 \end{cases},
\ \ y(0)=0, y'(0)=2 .$$



\item %4
Ratkaise matriisitekniikkaa käyttäen alkuarvotehtävä

$$\begin{cases} 
y_1'=-y_1+y_2\\
y_2'=-y_1-y_2
\end{cases} y_1(0)=2,\ \ y_2(0)=0.$$

Kirjoita lopputulos reaaliseen muotoon.

\item %5
Olkoon 
$$ f(x)=\begin{cases}
x, \ \ 0 \leq x < 5\\
10-x, \ \ 5 \leq x \leq 10
\end{cases}
$$

(a)
Piirrä $f$:n parillinen ja pariton laajennus ja kummankin $20-$jaksoinen jatke
välillä $\left[-20,20\right]$.\\
(b)
Muodosta parittoman laajennuksen Fourier-sarja ja kirjoita sen osasumma, jossa
on $3$ ensimmäistä nollasta poikkeavaa termiä.






%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item %2  Lay s. 228
%Määritä matriisin 

%$$A=
%\left[ \begin {array}{ccccc} -3&6&-1&1&-7\\
%\noalign{\medskip}1&-2&2&3&-1\\
%\noalign{\medskip}2&-4&5&8&-4\end{array} \right] 
%$$

%rivi- ja sarakeavaruuksien kannat sekä 
%nolla-avaruuden $N(A)$ dimensio.







\end{enumerate}




%\subsubsection*{Osittaisdifferentiaaliyhtälöitä} 

%Lämpöyhtälö: $u_t = c^2 u_{xx}.$

\end{document} 



\item %4
Olkoon  $f(x)=\begin{cases} 0,\ \ \textrm{kun}\ \ 0<x<1 \\
                            1,\ \ \textrm{kun}\ \ 1 < x < 2
               \end{cases}.$ 
Piirrä $f:$n parillinen laajennus ja 
muodosta sen Fourier-sarja (eli $f$:n (4-jaksoinen) kosinisarja). 
Kirjoita näkyviin sarjan $4$
ensimmäistä nollasta poikkeavaa termiä.



\item %5
Olkoon  sivuiltaan lämpöeristetyn sauvan pituus $=10$ ja olkoot yksiköt valittu
niin, että lämpöyhtälön vakio $c=1.$ Sauvan päät olkoot lämpötilassa $0$ ja
olkoon sauvan alkulämpötila 

$$u(x,0)=f(x)=\sin (\frac{\pi x}{10})- 0.5\sin(\frac{3\pi x}{10})+
0.04 \sin(\pi x).$$

Johda muuttujanerottelulla ratkaisu $u(x,t).$

Suorita johtaminen vaiheittain. Riittää, kun päädyt ratkaisuun, joka toteuttaa
reunaehdot ja alkuehdon, ei tarvitse välttämättä koluta ``yhteisen vakion''
merkkivalintoja, jos muistat/arvaat sen oikein. Muita ulkoa muistettuja oikaisuja
(varsinkaan valmiiseen loppukaavaan sijoittamista) ei sitten sallitakaan.

Vihje: Mieti, onko tarpeen kehittää jotain Fourier-sarjaksi, jos ei ole, niin 
älä tuhlaa aikaasi turhaan työhön.

% Vast: $u(x,t)=...$





Muodosta kuvan neliöalueella Laplacen yhtälön $\Delta u=0$ 
differenssimenetelmäratkaisun 
yhtälösysteemi $A u = b$. Tämän ratkaisuvektori $u=\left[u_1,u_2,u_3,u_4\right]^T$ 
antaa siis approksimaatiot ratkaisufunktion arvoille näissä hila(sisä)pisteissä.

Reuna-arvoina ovat vektorit $o,y,v,a$ (oikea, ylä, vasen, ala).
%\vfill\eject
\begin{verbatim}
               y1      y2
        |----- o  ----  o ------|
        |                       |
        |                       |
     v2 o      u3      u4       o  o2
        |                       |
        |                       |
     v1 o      u1      u2       o  o1
        |                       |
        |                       |
        |----- o ------ o ------|
               a1       a2
\end{verbatim}

Ratkaise tehtävä, kun reunaehdot ovat ... (symmetriset).
Käytä symmetriaa hyväksesi ...

%Millaisista $2\times 2$-lohkomatriiseista $A$-matriisi koostuu?
%Mikä on yleinen neliöalueen Laplace-yhtälön diskretoinnista syntyvän 
%matriisin $A$ muoto,
%kun kummassakin koordinaattisuunnassa jaetaan $n$:ään osaväliin.




\item %2 KRE 21 s. 579
Olkoon $f(x)=\begin{cases}
1, \ \ -1 < x < 0 \\
0, \ \ 0 < x < 1.
\end{cases}
$
jatkettuna $2$-jaksoisena koko reaaliakselille. 

%Piirrä (näin jatketun) $f$:n kuvaaja välillä $[-2,2]$ ja 
Muodosta $f$:n 
Fourier-sarja.


%Olkoon $s_N(x)$ Fourier-sarjan osasumma, joka koostuu $N$:stä ensimmäisestä
%$0$:sta poikkeavasta termistä.

%Laske arvot $s_N(0.5), N=1, \ldots, 3$ ja $s_N(-0.5), N=1, \ldots, 3$.
%Katsele näin muodostuvia jonoja ja kerro, vahvistavatko laskusi
%käsitystä Fourier-sarjan suppenemislauseen antamasta johtopäätöksestä.

 

\item
%$b_n=200/(n\pi)(1-\cos(n\pi/2))$   GRE vastauskirja s. 424

Tarkastellaan $10$:n pituusyksikön mittaista sauvaa, jonka materiaali on
sellainen, että lämpöyhtälön vakio $c^2=1$.
% ts. lämpöyhtälö on $u_t=u_{xx}$.

Katkaistaan sauva keskeltä kahtia, sijoitetaan vasen puolisko
kiehuvaan vesisäiliöön $100^\circ C$ 
ja oikea puolisko jääveteen ($0^\circ C$) riittävän pitkäksi aikaa, jotta puoliskot
saavuttavat kauttaaltaan ympäristönsä lämpötilan.

Ajanhetkellä $t=0$, sauvanpuolikkaat sujautetaan
lämpöeristeeseen, liitetään
yhteen, ja ulommaiset päät sijoitetaan 
jäävesisäiliöön ($0^\circ C$).

Ratkaise lämpötilafunktio $u(x,t)$ sijoittamalla aluksi yrite $u(x,t)=F(x)G(t)$
lämpöyhtälöön ja jatkamalla siitä tavanomaisen 
muuttujanerotteluprosessin kautta sarjamuotoiseen ratkaisuun. 

Laske sarjan $3$:n ensimmäisen termin avulla likiarvo lämpötilalle kiehuvassa vedessä
olleen puolikkaan puolivälissä hetkellä $t=1.$




%(Annetaan
%lämmönjohtumiskertoimen $c$ olla symbolisessa muodossa.)

Huom: Riittää, että saat aikaan ratkaisun, joka toteuttaa lämpöyhtälön
ja annetut reuna- ja alkuehdot. 
Jos satut muistamaan/arvaamaan oikein yhteisen vakion merkin, ei tarvitse erikseen
perusteella, miksi toinen merkki ei johtaisi tulokseen.




%(Aikaa mitattakoon sekunneissa.)

%Suorita vaiheittain muuttujanerotteluprosessi sauvan lämpötilafunktion 
%määrittämiseksi.

%(Valmiiseen kaavaan sijoittaminen ei riitä.)

%Kuinka pitkän ajan kuluttua pakkasessa olleen sauvan puolikkaan keskellä
%lämpötila tulee  $0^\circ C$:ksi ? Käytä tässä sarjan ensimmäistä termiä.
%(Aikaa mitattakoon sekunneissa.)



\item %4
%Kr.5 s. 854->  7, 12
a)
M\"a\"arit\"a differenssimenetelmällä likiarvot s\"ahk\"ostaattiselle potentiaalille (ota rauhallisesti ja lue tehtävä loppuun) suorakulmioalueen
$[0,2]\times [0,4]$
pisteiss\"a $(1,1),
(1,2),(1,3)$ alueessa, jota rajoittavat johtavat metallilevyt kuvan osoittamalla tavalla.

%\vskip 0.5 cm
%\vfill\eject

Yläreunan potentiaali on $u(x,4)=\sin {\frac{\pi}{2}} x$, muut on
``maadoitettu'', ts. $u=0.$

\begin{verbatim}

     4 |-------|
       |   |   |
       |--1,3--|
       |   |   |
     2 |--1,2--| u=0
 u=0   |   |   |
       |--1,1--|
       |   |   |
     0 |-------| 
       0   1   2
         u=0
\end{verbatim}

b) Osoita, ett\"a funktio 
$u(x,y)=A \sin {\frac{\pi x}{2}} \sinh {\frac{\pi y}{2}} $ toteuttaa 
differentiaaliyhtälön ja kolme reunaehtoa, ja määrää vakio $A$ niin, että
neljäskin reunaehto toteutuu.

Vertaa 
a)-kohdan tuloksia tarkan ratkaisun antamiin
(äläkä hämmästy, vaikka tarkkuus ei olisi kovin hyvä).

Vihje: Kyseessähän on Laplacen yhtälö %$\nabla^2 u = 0$.

% Differenssimenetelmä
%on muotoa $U_{j,k}=(1/4)(L+E+I+P)$, missä kirjaimet viittaavat ilmansuuntiin.
%b)-kohdassa on tarpeetonta koluta kaikkia muuttujanerotteluprosessin
%koukeroita.





\end{enumerate}



\section*{Kaavoja, ohjeita}

\subsubsection*{Diffyhtälöiden numeriikkaa}

Annettu diff. yhtälösysteemi:
$\V{y}'=\V{f}(t,\V{y}),\ \ \V{y}(t_0)=\V{y}^{(0)}$ %\rv

(Merkitään vektorijonon indeksit yläindekseiksi, jotta koordinaateille jää tilaa alas.)

%\paragraph*{Eulerin menetelm\"a}
%$x_{n+1}=x_n+h f(t_n,x_n),\ \ x(t_0)=x_0$
%GKV $=O(h)$ (GKV={\bf G}lobaali {\bf k}atkaisu{\bf v}irhe) 


\paragraph*{Heunin menetelm\"a}
$\V{y}^{(n+1)}_{*}=\V{y}^{(n)}+h \V{f}(t_n,\V{y}^{(n)}),\ \ \V{y}(t_0)=\V{y}^{(0)}$ \\
$\V{y}^{(n+1)}=\V{y}^{(n)}+{\frac{1}{2}}h(\V{f}(t_n,\V{y}^{(n)})+
\V{f}(t_{n+1},\V{y}^{(n+1)}_*))$. \\
GKV $=O(h^2)$ 


\subsubsection*{Fourier-sarja} 

$2 L$-jaksoisen funktion $f$ Fourier-sarja:

$A_0+\sum_{n=1}^\infty a_n \cos {\frac{n \pi x}{L}}+
\sum_{n=1}^\infty b_n \sin {\frac{n \pi x}{L}},$

$A_0={\frac{1}{2L}}\int_{-L}^L f(x)dx,\ \
a_n={\frac{1}{L}}\int_{-L}^L f(x)\cos {\frac{n \pi x}{L}} dx,\ \ 
b_n={\frac{1}{L}}\int_{-L}^L f(x)\sin {\frac{n \pi x}{L}} dx .$


\subsubsection*{Osittaisdifferentiaaliyhtälöitä}


Lämpö(diffuusio)yhtälö: $u_{t}=c^2 u_{xx}.$

Laplacen yhtälö: $\Delta u = \nabla^2 u = 0.$

(Tasossa: $\Delta u = u_{xx}+ u_{yy}$ )

\subsubsection*{Pikku-pikku-Maol}


$\cosh t = \frac{1}{2}(e^t + e^{-t})$

$\sinh t = \frac{1}{2}(e^t - e^{-t})$



\end{document}

Heunin menetelmässä otetaan ensin (kokeeksi) yksi $h$:n pituinen Euler-askel
ja sen avulla päästään käsiksi derivaattavektoriin (tangentin suuntaan) 
askeleen lopussa.
Edetään sitten alkupisteestä alku- ja loppupistederivaattojen
keskiarvovektorin suuntaan askeleen $h$ verran %($h$ kertaa suuntavektori).
Suorita yksi Heun-askel samasta alkupisteestä lähtien askeleella $h=1/4.$




% GRE vastauskirja s. 424  $b_n=200/L(1-\cos(n\pi/2))$
1)
clear; close all
f=inline('[y(1)-y(1)*y(2)/2;-2*y(2)+y(1)*y(2)/4]','y')
y0=[8;3]; h=0.25;
y1=y0+h*f(y0)
y2=y1+h*f(y1)
y3=y2+h*f(y2)
y4=y3+h*f(y3)
Y=[y0 y1 y2 y3 y4]
plot(Y(1,:),Y(2,:))

y0=[8;3]; h=0.125;
y1=y0+h*f(y0)
y2=y1+h*f(y1)
y3=y2+h*f(y2)
y4=y3+h*f(y3)
y5=y4+h*f(y4)
y6=y5+h*f(y5)
y7=y6+h*f(y6)
y8=y7+h*f(y7)
YY=[y0 y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8]
hold on
plot(YY(1,:),YY(2,:),'r--')

F=inline('[y(1)-y(1)*y(2)/2;-2*y(2)+y(1)*y(2)/4]','t','y')

T=0:h:1;
[T,Y]=ode45(F,T,y0);
plot(Y(:,1),Y(:,2),'k-.')
axis equal; axis square
ylim([2.1 3.1])
legend('Euler h=1/4','Euler h=1/8','ODE45')
grid on
shg

%Heun:

F=inline('[y(1)-y(1)*y(2)/2;-2*y(2)+y(1)*y(2)/4]','y')
y0=[8;3]; h=0.25;
ytahti=y0+h*F(y0)
k1=F(y0)
k2=F(ytahti)
k=(k1+k2)/2
y1=y0+h*k
Z=[y0 y1]
plot(Z(1,:),Z(2,:))
grid



v1=y0+h*k1
v2=y0+h*k2
v=y0+h*(k1+k2)/2
V1=[y0 v1];V2=[y0 v2];V3=[y0 v];

figure(2)
clf
plot(V1(1,:),V1(2,:));
hold on
plot(V2(1,:),V2(2,:));plot(V3(1,:),V3(2,:));

ylim([2.8 3.01]);grid on

yhdjana=[v1 v2];
plot(yhdjana(1,:),yhdjana(2,:),'--')

2)
Vast: $s(x)=1/2+2/\pi(\sin \pi x + 1/3 \sin 3\pi x + 1/5 \sin 5 \pi x + \ldots)$





\item %3
Sivuiltaan lämpöeristetyn sauvan, pituus $L=10$, %($c^2=1.14$) 
päät 
pidetään $0^\circ$C:ssa. Sauvan alkulämpötila noudattaa funktiota
$f(x)=\begin{cases} 100, \ \ 0 < x < 5\\
                     0, \ \ 5 < x < 10 .
\end{cases}
$

Ratkaise lämpötilafunktio $u(x,t)$ sijoittamalla aluksi yrite $u(x,t)=F(x)G(t)$
lämpöyhtälöön $u_t=c^2 u_{xx},$ missä $c=1$, ja jatkamalla siitä tavanomaisen 
muuttujanerotteluprosessin kautta sarjamuotoiseen ratkaisuun. 

%(Annetaan
%lämmönjohtumiskertoimen $c$ olla symbolisessa muodossa.)


Huom: Riittää, että saat aikaan ratkaisun, joka toteuttaa lämpöyhtälön
ja annetut reuna- ja alkuehdot. 
Jos satut muistamaan/arvaamaan oikein yhteisen vakion merkin, ei tarvitse erikseen
perustella, miksi toinen merkki ei johtaisi tulokseen.

Kirjoita erityisesti näkyviin ratkaisusarjan 3:n ensimmäisen 
%(nollasta poikkevan) 
termin summa.


%Ei siis tarvitse koluta läpi sellaisia
%yksityiskohtia kuin ``yhteisen vakion'' eri merkit, jos satut heti
%muistamaan/
%arvaamaan, mikä merkki johtaa perille.







\section*{Kaava- ja ohjekokoelma}

Tarkoitus ei ole, että kaikkia kaavoja pitäisi käyttää tässä kokeessa. 
Olkoon tämä ``pikkuMAOL''.

%(Älä huolestu, vaikka et tarvitsisi kaikkia tällä kertaa!)


Vektorinormeja:\\
$\norm{\V{x}}_1=\sum_{k=1}^n |x_k|$ ("taksikuskin normi")\\
$\norm{\V{x}}_2= \sqrt{\inprod{\V{x},\V{x}}}=(\sum_{k=1}^n |x_k|^2)^{1/2}$ ("euklidinen normi")\\
$\norm{\V{x}}_\infty=\max_{1 \leq k \leq n}|x_k|$ 


Matriisinormi:
$\norm{A}=\max_{\norm{x}=1}\norm{A x}\ $
Jos vektorinormina on  ${\norm{.}_1}$ tai ${\norm{.}_\infty}$, saadaan
helpot lausekkeet:
\[\norm{A}_1=\max_{1\le j\le n}\ \sum_{i=1}^m |a_{ij}| ,\ \
 \norm{A}_\infty=\max_{1\le i\le m}\ \sum_{j=1}^n |a_{ij}|\]



\subsection*{Laplace-muunnokset}

\textbf{Määritelmä: }
Annettu $f(t)$, ${\cal L}f=F$, $F(s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt$ 
\quad {\bf Merk.} $u(t)=H(t)$=yksikköaskelfunktio . \\
$({\cal L}f')(s)=s F(s)-f(0),\quad ({\cal L}f'')(s)=s^2 F(s)-s f(0)-f'(0),$
${\cal L}\lbrace \int_0^t f(\tau)d\tau \rbrace ={\frac{1}{s}}F(s), \ \ 
{\cal L}(f*g)=({\cal L}f)({\cal L}g), (f*g)(t)=\int_0^t f(t-\tau)g(\tau)d\tau = (g*f)(t)$

${\cal L}\lbrace e^{at} f(t) \rbrace = F(s-a), \ \ 
 {\cal L}\lbrace u(t-a)f(t-a) \rbrace = e^{-as}F(s), \ \
{\cal L}\lbrace \delta(t-a)\rbrace = e^{-as}$

\vskip 0.25 cm


{\bf Laplace-taulukko}

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$f(t)$ & $t^k$  & $e^{at}$ & $\cosh at$ &  $\sinh at$ &  
 $\cos \omega t$ & $\sin \omega t$  \\ \hline \hline

$F(s)$ & ${\frac{k!}{s^{k+1}}}$  & ${\frac{1}{s-a}}$ & ${\frac{s}{s^2-a^2}}$
& ${\frac{a}{s^2-a^2}}$  & ${\frac{s}{s^2+\omega^2}}$ & 
${\frac{\omega}{s^2+\omega^2}}$
\\ \hline 
\end{tabular}

%\include{/home/apiola/tex/osamurto}
%% Liitä tenttipaperiin, jos tarpeen  tex/osamurto.tex %% 29.8.02

\subsection*{Osamurtokehitelmät}

Olk. $F(s)={\frac{P(s)}{Q(s)}}$, missä $\textit{deg}(P) < \textit{deg}(Q)$
\\
1) Jos $Q(s)$:llä on yksinkertainen tekijä $s-a$, otetaan kehitelmään termi
${\frac{A}{s-a}}.$
\\
2) Jos $Q(s)$:llä on yksinkertainen tekijä $s^2+b s+c$, tulee kehitelmään termi
${\frac{Bs+C}{s^2+b s+c}}$, jos halutaan operoida reaalisilla kertoimilla.
\\

3) Jos em. muotoa olevat termit esiintyvät korkeammassa potenssissa, sanokaamme
$r$, otetaan termit
${\frac{A_1}{s-a}}+{\frac{A_2}{(s-a)^2}}+\hdots +{\frac{A_r}{(s-a)^r}}$
ja vastaavasti toisessa tapauksessa termit
${\frac{B_1s+C_1}{s^2+b s+c}}+\hdots + \frac{B_rs+C_r}{(s^2+b s+c)^r}$

\subsection*{Sekalaisia kaavoja}


$\cosh t = \frac{1}{2}(e^t + e^{-t})$, $\sinh t = \frac{1}{2}(e^t - e^{-t})$.

$\sin(\alpha\pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta.$\\
$\cos(\alpha\pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta.$


\subsection*{$y'=A y$, kompleksiset ominaisarvot}


Yleinen (reaalinen) ratkaisu on muotoa \\ 
$y(t)=[\V{u} | \V{v}] e^{\alpha t}
\left[ \begin {array}{cc} \cos \left( \beta\,t \right) &\sin \left( 
\beta\,t \right) \\\noalign{\medskip}-\sin \left( \beta\,t \right) &
\cos \left( \beta\,t \right) \end {array} \right] 
\left[ \begin {array}{c} {\it A}\\\noalign{\medskip}B\end {array}
 \right],
$
missä $\V{u}$ ja $\V{v}$ liittyvät luonnollisella tavalla ominaisvektoreihin ja
$\alpha$ ja $\beta$ yhtä luonnollisella tavalla ominaisarvoihin.




\end{document}

\item %1
Piirrä "taksikuskin yksikköympyrä" $\R^2$:ssa, ts. joukko 
$\lbrace \V{x}\in \R^2 | \norm{x}_1 = 1 \rbrace$ ja sen kuva lineaarikuvauksessa, 
jonka matriisi on
$A=\left[ \begin {array}{cc} 1&2\\\noalign{\medskip}-2&-2\end {array}
 \right].
$

Laske kuvajoukon nurkkapisteiden normit (1-normit) ja totea, että suurin niistä yhtyy 
matriisin normiin $\norm{A}_1$











------------------------------------------------------------

(a) Määritä $\textit{Re}\, z$, $\textit{Im}\, z$, $\vert z \vert $, 
$\textit{Arg}(z)$
(argumentin päähaara),
% lausuttuna ${\overline{\arctan}$-funktion päähaaran avulla),
kun  
$$z=\frac{3+2 i}{1+i}.$$
%$z=\frac{{2-i(3-2i)^2}{2+i(1+i)}}.$

(b) Laske 
 $(\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2})^{2003}.$ Anna tulos muodossa $x+i y.$ 

Huom! Pelkkä (laskimelta kysytty?) tulos ilman yhtään laskennan periaatetta valaisevaa
välivaihetta antaa $0$ pistettä.


%a) Laske (kaikki luvut) $z^2$, joilla $|z| = 5$ ja $Im z=-3$.



%M\"a\"ar\"a\"a  $Re\, z$, $Im\, z$, $\vert z \vert $, $arg(z)$, kun \quad
%b1) \quad
%   $z={{2-i(3-2i)^2}\over{2+i(1+i)}}$
%\quad b2) \quad
%  $z=(1/2 + i \sqrt{3}/2)^{1995}$



\item %2
(a) Määritä $\Ln(-1+i\sqrt{3})$ (päähaara). \\
Yllä oleva huomautus pätee tässäkin.

(b) Määritä ja hahmottele z-tason 
alue  $$\frac{1}{2} \leq |z| \leq 20,\ \ -\frac{\pi}{2} \leq \Arg\, 
z \leq \frac{\pi}{2}$$
ja sen kuva ($w$-tasossa) kuvauksessa $w = \Ln\, z$ (edelleenkin päähaara).

%\end{document}
\item %3
Määritä matriisin 

$$A=
\left[ \begin {array}{cccc} -2&4&-2&-4\\
\noalign{\medskip}2&-6&-3&1\\
\noalign{\medskip}-3&8&2&-3\end{array} \right] 
$$

rivi- ja sarakeavaruuksien kannat sekä 
nolla-avaruuden $N(A)$ dimensio.


\item
Matriisin 

$$A=
\left[ \begin {array}{ccc} 1&0&0\\\noalign{\medskip}1&3&2
\\\noalign{\medskip}1&2&3\end {array} \right]
$$

karakteristinen polynomi $D(\lambda)=\det(A-\lambda I)$ 
voidaan kirjoittaa muotoon
$D(\lambda)=\left(1 -\lambda \right)  \left( {\lambda}^{2}-6\,
\lambda+5 \right).$

(a)
Määritä ominaisarvot (algebrallisine) kertalukuineen.

(b)
Laske kaksinkertaista ominaisarvoa vastaavan ominaisavaruuden kanta ja osoita,
että matriisi on diagonalisoituva.

(c)
Lähtien diagonalisointikaavasta, johda kaava, jolla voit
laskea $A^p$:n $3$:lla potenssiinkorotuksella ja similariteettimuunnoksen 
vaatimalla aritmetiikalla. (Tässä ei siis ole tarkoitus laskea mitään.)

\end{enumerate}

%\end{document}

%kahdella matriisikertolaskulla ja käänteismatriisin
%muyodostuksella.


\subsection*{Ohjeita}


\begin{itemize}

\item
Jos et satu muistamaan, mitä on $\arctan \sqrt{3},$ niin piirrä itsellesi tasasivuinen
kolmio ja sille sivun keskinormaali.

%\item
%{\em Similariteettimuunnos} tarkoittaa annetun neliömatriisin $A$ muuntamista
%muotoon $X A X^{-1}.$

\end{itemize}

\end{document}

\item  % Jotain tämäntyylistä
Ajatellaan, että erään asutuskeskuksen asukkailla on kahden operaattorin,
R ja S matkapuhelinliittymiä. 
%\footnote{Laskutyön rajoittamiseksi joudumme jättämään 
%mm. operaattorin T pois.}
Liittymien vaihtoa kuukaudessa edustakoon
siirtymämatriisi

$$P=
\left[ \begin {array}{cc}  0.6& 0.3\\\noalign{\medskip} 0.4& 0.7
\end {array} \right].
$$

(a)
Laske matriisin ominaisarvot ja suurempaa ominaisarvoa vastaava
ominaisvektori $\V{v}_1$ ja kerro, miksi ominaisvektorit muodostavat 
$\R^2$:n kannan.

(b) 
Tarkastellaan iteraatiota $\V{x}_{k+1}=P \V{x}_k, k=0,1,\ldots$.
Olkoon alkupiste $\V{x}_0$ esitetty ominaisvektorikannassa:
$\V{x}_0=c_1 \V{v}_1+ c_2 \V{v}_2$.

Mitä rajavektoria lähestyy jono $\V{x}_k$, kun $k\to \infty$ ?


%Esitä sitten alkupistevektori (vaikkapa)
%$\V{x}_0=
% \left[ 
%    \begin {array}{c} 0.5\\
%    \noalign{\medskip}0.5
%\end {array} 
%\right]$ 
%ominaisvektorikannan avulla, ja selvitä, mihin tilanne asettuu, kun monta
%kuukautta on kulunut.

%(Olkoon tässä kaikki, jotta välikoealuerajaa ei kenenkään tulkinnan mukaan 
%ylitetä, vaikka tarina jääkin jännittävimpään kohtaan.)

%$%$V=
% \left[ 
%    \begin {array}{c} p\\
%    \noalign{\medskip}1-p
%\end {array} 
%\right] 
%$
% ja selvitä, mikä on kantakaupunki/esikaupunki-
%jakauma pitkän ajan kuluttua (riippumatta alkujakaumasta, ts. $p$:stä).




Jotta voisit laskea taas 
historiallisen potenssin $A^{2003},$ kirjoita
ja perustele kaava, jolla sen voit laskea kolmella
potenssiinkorotuksella ja similariteettimuunnoksen vaatimalla aritmetiikalla.
Tässä ei tarvitse laskea mitään, kunhan selvität, miten matriisit ja 
laskukaava muodostetaan. Siis potenssiinkorotuskaavan perustelua 
pyydetään, mutta
matriisihajotelman osien rakentamisperustelua (diagonalisointilauseen johtoa) 
ei vaadita.

