Mat-1.433/443 Matematiikan peruskurssit K3/P3

Apiola

Tentti 30.8. 2005

Muistathan kirjoittaa nimesi ja muut vaadittavat jokaiseen vastauspaperiin!

Sallittu: funktiolaskin

Huomaa, että tehtäväpaperin lopussa on kaavakokoelma.

1. Olkoon f(z) = \frac{1}{z}. Osoita Cauchy–Riemannin yhtälöiden avulla, että f on analyyttinen koko kompleksitasossa, josta 0 on poistettu (eli joukossa ℂ\{0}).

2. Matriisin

A = [ \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix} ]

karakteristinen polynomi D(λ) = det(A − λI) voidaan kirjoittaa muotoon D(λ) = (1 − λ) (λ^{2} − 6 λ + 5) .

(a) Määritä ominaisarvot (algebrallisine) kertalukuineen.

(b) Määritä ominaisvektorit ja perustele matriisin diagonalisoituvuus.

(c) Muodosta ja perustele matriisikaava, jolla lasket A^{20} siten, että aritmetiikkaa on olennaisesti vähemmän kuin suorassa matriisipotenssin laskussa. Käänteismatriisia ei tarvitse laskea.

3. Ratkaise Laplace-muunnosta käyttäen alkuarvotehtävä

\frac{d^{2}}{dt^{2}} y (t) + 5 \frac{d}{dt}y (t) + 6 y (t) = r (t) , y(0) = 0, y′(0) = 0,

missä r(t) = \begin{cases}2, kun 0 ≤ t < 4 \\ 0, kun t ≥ 4 \end{cases}

4. Olkoon f(x) = \begin{cases}0, kun 0 < x < 1 \\ 1, kun 1 < x < 2 \end{cases} . Piirrä f :n parillinen laa-

jennus ja muodosta sen Fourier-sarja (eli f:n (4-jaksoinen) kosinisarja). Kirjoita erikseen näkyviin sarjan 3 ensimmäistä nollasta poikkeavaa termiä.

5. Olkoon sivuiltaan lämpöeristetyn sauvan pituus = 1 ja olkoot yksiköt valittu niin, että lämpöyhtälön vakio c = 1. Sauvan päät olkoot lämpötilassa 0 ja olkoon sauvan alkulämpötila

u(x, 0) = f(x) = 4 sin (π x) − 0.5 sin (4 π x) + 0.1 sin (7 π x)

Johda muuttujanerottelulla ratkaisu u(x, t).

Suorita johtaminen vaiheittain. Riittää, kun päädyt ratkaisuun, joka toteuttaa reunaehdot ja alkuehdon, ei tarvitse välttämättä koluta “yhteisen vakion” merkkivalintoja, jos muistat/arvaat sen oikein. Muita ulkoa muistettuja oikaisuja (varsinkaan valmiiseen loppukaavaan sijoittamista) ei sitten sallitakaan.

Vihje: Mieti, onko tarpeen kehittää jotain Fourier-sarjaksi, jos ei ole, niin älä tuhlaa aikaasi turhaan työhön.

Käännä

Kaavoja, menetelmiä

Laplace-muunnokset

Määritelmä: Annettu f(t), Lf = F, F (s) = ∫_{0}^{∞} f(t)e^{−st}dt Merk. u(t) = H(t)=yksikköaskelfunktio . (Lf′)(s) = sF (s) − f(0), (Lf′′)(s) = s^{2}F (s) − sf(0) − f′(0), L\{∫_{0}^{t} f(τ)dτ\} = \frac{1}{s}F (s), L(f ∗ g) = (Lf)(Lg), (f ∗ g)(t) = ∫_{0}^{t} f(t − τ)g(τ)dτ = (g ∗ f)(t)

L{e^{at}f(t)} = F (s − a), L{u(t − a)f(t − a)} = e^{−as}F (s), L{δ(t − a)} = e^{−as}

Laplace-taulukko

f(t) t^{k} e^{at} cosh at sinh at cos ωt sin ωt
F (s) \frac{k!}{s^{k+1}}  \frac{1}{s−a}  \frac{s}{s^{2}−a^{2}}  \frac{a}{s^{2}−a^{2}}  \frac{s}{s^{2}+ω^{2}}  \frac{ω}{s^{2}+ω^{2}}

Osamurtokehitelmät

Olk. F (s) = \frac{P (s)}{Q(s)}, missä deg(P) < deg(Q)

1) Jos Q(s):llä on yksinkertainen tekijä s−a, otetaan kehitelmään termi \frac{A}{s−a}.

2) Jos Q(s):llä on yksinkertainen tekijä s^{2} + bs + c, tulee kehitelmään termi \frac{Bs+C}{s^{2}+bs+c}, jos halutaan operoida reaalisilla kertoimilla.

3) Jos em. muotoa olevat termit esiintyvät korkeammassa potenssissa, sanokaamme r, otetaan termit \frac{A_{1}}{s−a} + \frac{A_{2}}{(s−a)^{2}} + … + \frac{A_{r}}{(s−a)^{r}} ja vastaavasti toisessa tapauksessa termit \frac{B_{1}s+C_{1}}{s^{2}+bs+c} + … + \frac{B_{r}s+C_{r}}{(s^{2}+bs+c)^{r}}

Fourier-sarja

2L-jaksoisen funktion f Fourier-sarja:

a_{0} + ∑_{n=1}^{∞}(a_{n} cos \frac{nπx}{L} + b_{n} sin \frac{nπx}{L}),
a_{0} = \frac{1}{2L} ∫_{−L}^{L} f(x)dx, a_{n} = \frac{1}{L} ∫_{−L}^{L} f(x) cos \frac{nπx}{L}dx, b_{n} =
\frac{1}{L} ∫_{−L}^{L} f(x) sin \frac{nπx}{L}dx.