u1[x_] = a1*x^3 + b1*x^2 + c1*x + d1
u2[x_] = a2*x^3 + b2*x^2 + c2*x + d2

sol = 
      Solve[
{u1[0] == 0, 
          u2[L] == 0, u1'[0] == 0, u2'[L] == 
            0, 
u1[s] == 
            u2[s], u1'[s] == u2'[s], u1''[
              s] == u2''[
              s], 
-u1'''[s] + u2'''[s] == 
            1/EI}, 
{a1, a2, b1, b2, c1, c2, d1, 
          d2}]

u1[x] /. sol[[1]]
u2[x] /. sol[[1]]