Riemann-Finsler-geometrian jatkokurssi (4ov), kevät 2004

Mat-1.166 Differentiaaligeometria (4 ov) L/V

Bernhard Riemann (1826-1866) esitteli klassisena Riemannin geometriana tunnetun matematiikan alan väitöstilaisuudessaan vuonna 1854 erikoistapauksena tutkimastaan geometriasta. Siinä yleisen avaruuden metrinen struktuuri perustuu muotoa

olevaan kaarielementtiin kun normifunktio F on annettu. Laskujen yksinkertaistamiseksi Riemann keskittyi neliömuotoa

oleviin metriikoihin. Historiallinen kehitys vakiinnutti nimen 'Riemannin geometria' koskemaan tätä erikoistapausta.

Vasta vuonna 1918 Paul Finsler (1894-1970) otti yleisemmän asetelman tarkasteltavaksi väitöskirjassaan. Hänen kunniakseen tapaus tunnetaan nimellä 'Finsler-geometria'. Systemaattista Finsler-geometrian tutkimusta edisti Lugwig Berwald (1883-1942) vuonna 1926 löytämillään aidosti Finsler-geometriaan liittyvillä ilmiöillä. Myöhemmin alan kehitykseen ovat vaikuttaneet mm. Élie Cartan (1869-1951), Herbert Busemann (1905-1994), Hanno Rund (1925-1993), Shiing-Shen Chern (1911-) ja Mikhail Gromov (1943-).

Finsler-geometrialla on laajat sovellukset monilla luonnontieteiden aloilla, erityisesti kontrolliteoriassa, optiikassa sekä matemaattisessa biologiassa ja ekologiassa. Kurssia suositellaankin esimerkiksi inversio-ongelmista ja numeriikasta kiinnostuneille opiskelijoille.

Kevään 2004 kurssilla tutustutaan klassiseen Finsler-geometriaan modernista näkökulmasta. Useimmilla Riemannin geometrian tuloksilla on luonnolliset vastineensa Finsler-asetelmassa. Geodeesit, konnektiot, kaarevuudet, eksponenttifunktio, Jacobin kentät jne. esitetellään Finsler-geometrian näkökulmasta ja Riemannin geometria saadaan erikoistapauksena.

Esitiedoiksi riittää differentiaaligeometrian perusolioiden, sileiden monistojen ja differentiaalimuotojen tuntemus. Erityisesti viime keväänä luennoitua Finsler-geometrian peruskurssia ei edellytetä, vaan tarvittavat peruskäsitteet tullaan kertaamaan kurssin kuluessa.

Kurssin voi suorittaa esimerkiksi laskuharjoituksilla tai aiheeseen liittyvän harjoitustyön avulla. Luennot 14.1.2004 alkaen keskiviikkoisin klo 12-14 ja perjantaisin 10-12 Teknillisen korkeakoulun matematiikan laitoksella (Otakaari 1M, 3.krs) seminaarihuoneessa U356. Laskuharjoitukset perjantaisin 12-14 samassa paikassa. Tervetuloa!

Yhteystietoja

Assistentti Matias Dahl.