Menu:

MATLAB-tehtäviä liittyen lineaarialgebraan.

Käytön idea: kun löydät mieleisesi tehtävän, sen alapuolella on linkki tex-tiedostoon. Lataa tiedosto, ja liitä se pääsivulta löytyvään harjoituspohjaan.

1.
mlLi001.tex
Ohjetiedosto, poimi mukaan tehtäväpaperiin tarpeen mukaan.
Matlab-ohjeita
- Komennon suorittama tulos tulee ruudulle ENTER-painalluksen jälkeen (kuvat erilliseen ikkunaan). Jos haluat estää tulostuksen, päätä komento puolipisteeseen. Jos myöhemmin haluat katsoa muuttujan sisällön, kirjoita sen nimi (ilman puolipistettä). Jos muuttuja on suuri matriisi, kannattaa ensin katsoa sen koko size(A) tai sen jotain osaa, esim. A(1:10,1:10)
- Edellisen komennon tulos on muuttujassa ans. Yleensä on suositeltavaa antaa tulokselle oma nimi tyyliin nimi= ...
- format long : Tulostetaan enemmän numeroita (n. 16). Laskutarkkuuteen tämä ei vaikuta.
  format rational laskee rationaaliluvuilla.
  format short: Paluu oletustulostukseen.
- Matriisin A transpoosi: A’
- Kokonaislukuvektori: Esim 1:10 tai 1:2:20. Myös linspace. Pystyvektoriksi transponoimalla.
- A(i,j) A:n alkio (i,j).
  A(2,:) A:n 2. rivi
  A(:,3) A:n 3. sarake
  A(1:4,1:4) osamatriisi
  Matriisin osaa voi päivittää, vaikkapa:
  A(1:4,1:4)=ones(4,4) tai
  A(2,:)=A(2,:)-2*A(:,1) (Gaussin rivioperaatio).
- Matriisien liittäminen: Jos A:lla ja B:llä on yhtä monta riviä, ne voidaan liittää peräkkäin: [A b] (tai [A, b])
  Jos yhtä monta saraketta, niin allekkain: [A;B]
- Laskutoimitukset tarkoittavat matriisilaskua. Siis esim.
  A*B, A^p
- Vektorien ja matriisien (samankokoisten) pisteittäinen eli alkioittainen laskenta tapahtuu lisäämällä eteen piste. Esim:
  u=[1 2 3], v=[-2 -2 -2], u.*v.
  Toinen operandi voi olla skalaari.
  Siten esim. vektorin u kaikki komponentit voidaan korottaa toiseen komennolla u.^2
Avainsanat:
Ohjetiedosto, Harjoitusohjeita, Lineaarialgebra, Matlabperusteet,
Tehtava
2.
mlLi002.tex
Olkoon $⌊ ⌋ 5 − 13 − 13 − 2 7 || 18 − 4 30 − 1 − 12|| A = || − 23 3 7 15 7 || || 9 36 − 1 14 16 || ⌈ ⌉ 3 28 7 14 5$
ja
$⌊ ⌋ | − 196 | || 435 || b = || 11 ||. |⌈ 111 |⌉ 195$
Ratkaise yhtälösysteemi Ax = b ja tarkista tulos matriisikertolaskulla.
Avainsanat:
Lineaarinen yhtälöryhmä, Matlabperusteet, Matlabalkeet,perusmatriisilaskenta

Tehtava
Ratkaisu
3.
mlLi003.tex [myös Maple, Mathematica]
- Ratkaise lineaarinen yhtälöryhmä ja tarkista tulos kertolaskulla. $({ 4x − 5y = 11 (2x + y = 9$
  Vihje: Matlab: ”Matriisijako”: A∖b
- Tiedetään, että Celsius-asteiden ja Fahrenheit-asteiden välillä on lineaarinen yhteys:
  
  $C = aF + b.$
  Lisäksi tiedetään, että vesi jäätyy 32 F:ssa ja -40 on sama kummassakin asteikossa. Johda kaava. Tarkoitus on kirjoittaa kertoimien a ja b määräämiseksi lineaarinen yhtälösysteemi, joka ratkaistaan Matlab:n takakenolla (“).
- Muodosta matriisi, jonka 1. sarake on C-asteet −50:sta 5:n asteen välein 100 :aan ja toinen sisältää vastaavat F-asteet.
Vihje: Tarkan rationaalilukukaavan saat komentamalla format rat. Tee m-tiedosto kommentteineen.
Huomaa, että taulukkoa ei ole mukavaa katsoa koknaisuutena, esim. 10 ekaa riviä näet näin: taulukko(1:10,:) (eikö vain?).
Hivelevää on myös mennä “Workspace-ikkunaan” ja kaksoisklikata taulukko-ikonia.
Kokeile sen ajamista myös pdf:ksi publish(Fahrenheit,pdf)-komennolla (jos skripti on Fahrenheit.m), kunhan ensin testailet sen kuntoon.
Tehtava
Ratkaisu
4.
mlLi0035.tex Matlab/Maple/Mathematica
Hilbertin matriisi koostuu alkioista h(i,j) = 1∕(i + j − 1).
Tällaisia syntyy mm. PNS-sovituksessa.
Tarkastellaan 4 × 4 Hilbertin matriisia
$⌊ 1 1 ∕2 1∕3 1∕4 ⌋ | | || 1∕2 1 ∕3 1∕4 1∕5 || H = || || |⌈ 1∕3 1 ∕4 1∕5 1∕6 |⌉ 1∕4 1 ∕5 1∕6 1∕7$
ja yhtälöryhmää Hx = b, missä b = b₁ = ja b = b₂ = , ts b₂ = b₁ +
Tarkoitus on tutkia, mitä pieni muutos systeemin datassa vaikuttaa ratkaisuihin.
- Ratkaise molemmat systeemit.
  Mitä nämä pienet häiriöt vaikuttavat ratkaisuihin?
- Lineaarisen yhtälösysteemin herkkyyttä pienille virheille sanotaan häiriöalttiudeksi (“ill-conditioned “). Laske kummankin matriirin häiriöalttius.
  Suhteellisen virheen suurtenemisypäyhtälö:
  
  $||Δx || ||Δb || ------≤ κ------ ||x|| ||b||$
  Pahimmillaan ratkaisun suhteellinen virhe voi olla luokkaa κ× (datan suhteellinen virhe) (κ = cond(A))
Luokittelu:
mplteht/mplLinis/mplLixx.tex, matlabteht/mlLinis/mlLixx.tex
Avainsanat:
Numeerinen lineaarialgebra, matriisit, lineaariset yhtälöryhmät, häiriöalttius
Tehtava
5.
mlLi004.tex Matlab/Maple/Mathematica

Tarkastellaan yhtälösysteemejä:
$( ||| 10x1 + 7x2 + 8x3 + 7x4 = 32 ||{ 7x1 + 5x2 + 6x3 + 5x4 = 23 |||| 7x1 + 6x2 + 10x3 + 9x4 = 33 |( 7x1 + 5x2 + 9x3 + 10x4 = 31$ ja $( ||2x + x + 5x + x = 9 |||{ 1 2 3 4 x1 + x2 − 3x3 − x4 = − 5 |||3x1 + 6x2 − 2x3 + x4 = 8 ||( 2x1 + 2x2 + 2x3 − 3x4 = 3$
- Ratkaise molemmat systeemit.
- Muuttamalla vähän yhtälön dataa (oikeaa puolta ja/tai kerroinmatriisia), voidaan tutkia systeemin herkkyyttä pienille virheille (datassa ja pyöristyksessä).
  Ratkaise 1. systeemi oikean puolen vektoreilla
  [32.1, 22.9, 32.9,31.1]’ ja [32.01, 22.99,32.99,31.01]’
  ja 2. systeemi vektoreilla
  [9.1 -5.1, 7.9, 3.1]’ ja [9.01, -5.01, 7.99, 3.01]’ .
  Mitä nämä pienet häiriöt vaikuttavat ratkaisuihin?
- Muuta kerroinmatriiseja lisäämällä matriisien kuhunkin alkioon pieni satunnaisluku
  0.1*rand . Ratkaise systeemit alkuperäisillä oikeilla puolilla. Mitä nämä muutokset vaikuttavat ratkaisuihin.
- Lineaarisen yhtälösysteemin herkkyyttä pienille virheille sanotaan häiriöalttiudeksi (“ill-conditioned “). Laske kummankin matriirin häiriöalttius.
  Suhteellisen virheen suurtenemisypäyhtälö:
  
  $||Δx || ||Δb || ------≤ κ------ ||x|| ||b||$
  Pahimmillaan ratkaisun suhteellinen virhe voi olla luokkaa κ× (datan suhteellinen virhe) (κ = cond(A))
Luokittelu:
mplteht/mplLinis/mplLixx.tex, matlabteht/mlLinis/mlLixx.tex
Avainsanat:
Numeerinen lineaarialgebra, matriisit, lineaariset yhtälöryhmät, häiriöalttius
Tehtava
Ratkaisu
PDF ratkaisusta
6.
mlLi005.tex
Olkoon $⌊ ⌋ ⌊ ⌋ 5 1 1 10 A = |⌈1 5 1 |⌉,b = |⌈14 |⌉. 1 1 5 18$
Varmista ensin, että matriisi A on kääntyvä laskemalla det(A).
Tutki, mitä muita keinoja on matriisin ei-singulaarisuuden tarkistamiseen. Kokeile vaikka rank,rref,lu,cond,rcond (katso helpillä).
(Huomaa, että “oikeissa tehtävissä” tärkeämpi käsite on “lähes singulaarisuus”, tähän det ei ole yleispätevä työkalu.)
Ratkaise yhtälöryhmä Ax = b käyttämällä
a)
Käänteismatriisia inv
b)
MATLABin matriisijakoa x = A∖b.

Opetus: Huomaa, että “matriisijako” on numeerisen tarkkuuden ja laskentatehon kannalta yleensä parempi tapa (mikä ei pienissä, hyvänlaatuisissa tehtävissä tule ilmi).
Opettajalle: Tehtävään voidaan lisätä myös A-matriisin muodostaminen diagonaaleittain diag-funktiolla (vaikkei mene hyödyn puolelle näin pienessä tehtävässä).

Tehtava
7.
mlLi006.tex
Tasapainolämpötilajakauma metallilevyssä.
Kuva esittää metallilevyä, joka on ylä- ja alapinnoiltaan lämpöeristetty ja jonka reunojen lämpötilat on kiinnitetty. (Lämpöä virtaa vain reunojen kautta.) Tasapainolämpötilajakauma saadaan Laplacen yhtälön Δu = 0 ratkaisuna. Numeerinen approksimaatio voidaan laskea ns. diﬀerenssimenetelmällä: Jaetaan levy sopivilla hilaviivoilla osiin ja numeroidaan näin muodostuvat solmupisteet. Menetelmä: Kunkin hilasolmun lämpötila on naapurisolmujen lämpötilojen keskiarvo. (Johdetaan kurssin lopulla.)
Muodosta 4 × 4− yhtälösysteemi solmujen 1, 2, 3, 4 lämpötilojen likiarvoille u₁,u₂,u₃,u₄. Ohje: Aloitetaan solmusta 1: u₁ = (30 + u₂ + u₃ + 10). Vastaavasti muut kolme solmua.

               20      20
        —----- o  ----  o ------—
        —                       —
        —                       —
     10 o      o 3      o 4     o  40
        —                       —
        —                       —
     10 o      o 1      o 2     o  40
        —                       —
        —                       —
        —----- o ------ o ------—
               30       30

(a)
Ratkaise yhtälösysteemi ja sijoita ratkaisulämpötilat ao. hilapisteisiin.
(b)
Muodosta 4 × 4− matriisi, jossa on reunalämpötilat ja ratkaisemasi sisäpistelämpötilat sekä nurkissa lähinnä olevien kahden reunasolmun keskiarvot tähän tapaan: U=[5 20 20 30;10 u3 u4 40; 10 u1 u2 40; 20 30 30 35]; Piirrä ratkaisupinnan approksimaatio: mesh(U) tai surf(U).

Opettajalle: Hilakokoa voidaan kasvattaa. Jos annetaan tehtäväksi ilman kerroinmatriisin struktuurihavaintoa, 4 × 4 lienee suurin ajateltavissa oleva (16 × 16 yhtälösysteemi), joka sekin saattaa jo hipoa joidenkin kärsivällisysrajaaa.
Avainsanat:Lämpötilamatriisi, Laplacen yhtälön diskretointi, diﬀerenssimenetelmän alkeellisin perustehtävä, lineaarinen yhtälöryhmä.

Tehtava
8.
mlLi006a.tex, [Maple:mplLinis/mplLi010.tex]
(Kynä-paperitehtävä)
Tarkastellaan lämmönjohtumista ohuessa metallilevyssä. Oletetaan, että johtumista tapahtuu vain levyn suunnassa, ja levyn reunoilla on annetut (ajan suhteen) vakiolämpötilat. Levyn lämpötilat eri pisteissä asettuvat ajan kuluessa arvoihin, jotka ovat ajan suhteen vakioita, tällöin puhutaan lämpötilajakauman tasapainotilasta (”steady state”). Tehtävänä on määrittää lämpötilajakauma levyssä tasapainotilan vallitessa.
Tarkastellaan kuvan mukaista tilannetta: (Klikkaa oikealla olevaa pdf-linkkiä, niin kuva näkyy kunnolla.)

               --- 20----20---20----
              —    —     —     —    —
             10----*-----*-----*---40
              —    —     —     —    —
             10----*-----*-----*----40
              —    —     —     —    —
               ----20----20----20---

Kuvassa näkyvät annetut vakioreunalämpötilat (reunaehdot). Tehtävänä on laskea ratkaisuapproksimaatiot *:llä merkityissä sisäsolmupisteissä käyttäen seuraavaa periaatetta: Lämpötila levyn solmupisteessä on naapurisolmujen lämpötilojen keskiarvo.
Jos indeksoidaan solmupisteiden lämpötilat vaakarivijärjestyksessä: T₁,…T₆, voidaan ryhtyä kirjoittamaan yhtälöitä tyyliin:
T₁ = ,….
Kirjoita koko 6 × 6- yhtälösysteemi ”standardimuodossa”.
Huom: Tasapainotilaratkaisu saadaan ns. Laplacen yhtälön ∇²T = 0 ratkaisuna. Tässä esitettyyn likimääräismenettelyyn ns. diﬀerenssimenetelmään
Ratkaisua pyydetään seuraavassa tehtävässä.

Tehtava
9.
mlLi006b.tex, [Maple:mplLinis/mplLi011.tex]
Ratkaise edellisen tehtävän yhtälösysteemi Maplea (tai Matlabia) käyttäen. (Tässä Maple-ohjeet.) Muodosta sitten edellisen tehtävän kuvan mukainen 4 × 5 matriisi, jossa on annetut reunalämpötilat sekä lasketut sisälämpötilat oikeilla kohdillaan. Ota nurkkapisteiden lämpötiloiksi kahden naapurisolmun lämpötilojen keskiarvo. Piirrä kuva, pyörittele hiirellä.
Vihje: Maplevihje
(Matlabissa et tarvitse vihjettä, vaan teet suoraan todella “matlabmaisesti”.)
Tehtävässä riittää käytellä LinearAlgebra-kirjaston funktiota LinearSolve.
Ratkaisuvektorin muokkaaminen matriisiksi onnistuu mukavasti, kun leikkaat/liimaat alla olevan funktiomäärityksen Maple-työarkillasi. (Suorita leikkaus pdf-tehtävätiedostosta.)
Reshape:=(vek,m,n)->Matrix(linalg[matrix](m,n,convert(vek,list)));
Funktio on tehty vastaamaan Matlabin funktion reshape käytöstä siinä tapauksessa, jossa vektori muutetaan annetun kokoiseksi matriisiksi.
Lämpötilamatriisin rakentelu kannattaa hoidella (Matlabinomaiseen) tyyliin:

Tsisa:=Reshape(T,2,3); # vektorissa T on ratkaisulampotilat.
Tiso:=Matrix(4,5,0);
vaaka:=¡15—20—20—20—30>;
pysty:=...;
Tiso[2..3,2..4]:=Tsisa;
...

Piirtäminen komennolla matrixplot (muista with(plots):)
matrixplot(Tiso,axes=boxed);
Pyörittele kuvaa hiirellä.
Huom: Sanomattakin on selvää, että tehtävä sopii erikoisen hyvin Matlab:lle. Tässä pikemminkin näytetään, että Maplen LinearAlgebra-työkaluilla voidaan matkia Matlab-työtapaa ja päästä lähelle samaa käsittelymukavuutta.
Lisätehtävä: Tee ratkaisu Matlabilla!
Palataan asiaan perusteellisemmin Matlab-tehtävien yhteydessä, jolloin käsitellään lähemmin diﬀerenssimenetelmää.

Tehtava
10.
mlLi007.tex
Oheinen kuva esittää liikenneverkkoa. Kuhunkin solmuun A,B,C,D tulevien ja siitä lähtevien ajoneuvojen lukumäärien summa pysyy samana (solmuun ei häviä eikä siinä synny ajoneuvoja). Kadut ovat yksisuuntaisia nuolien osoittamalla tavalla.
Kuvan saat mukaan tehtävääsi, kunhan kopioit
polku/img/liik.eps-tiedoston omaan img-hakemistoosi. Tässä:
polku=http://www.math.aalto.ﬁ/opetus/Mattie/MattieT/matlabteht/mlLinis/

(a) Muodosta yhtälösysteemi tuntemattomien ajoneuvomäärien x₁,…x₅ suhteen.
(b) Määritä systeemin yleinen ratkaisu.
(c) Jos x₄:llä merkitty katuosuus suljetaan, niin mikä on yleinen ratkaisu?
(d) Määritä kohdan (c) tilanteessa pienin x₁ :n ja suurin x₃ :n arvo (jotta yhdensuuntaisuutta osoittavia liikennemerkkejä ei tarvitse kääntää).
Huom! Porrasmuotoon saattamisessa saat halutessasi käyttää Matlab/Octave-funktiota rref (kts. help rref).
Avainsanat: Liikenneverkko, lineaarinen yhtälöryhmä, (redusoitu)porrasmuoto, rref.

Tehtava
11.
mlLi007a.tex
Muodosta lineaarinen yhtälösyteemi alla olevalle virtapiirille ja ratkaise virrat.
               8 V
             ¡-----              Kirchhofin virtalaki:
        I1    —
    ----¡---- — —---------   Virtapiirin jokaisessa solmussa:
    —         —          —   tulevien virtojen summa =  lähtevien
    ¡                    ¡   summa.
    > 1 Ohmi      1 Ohmi >
    ¡                    ¡       Kirchhofin jännitelaki:
    —      0.5 Ohmia     —   Virtapiirin jokaisessa suljetussa sil-
    ------“/“/“/--->-----—   mukassa ulkoisen jäannitelähteen
    —              I3    —   jännite = jännitehäviöiden summa.
    ¡                    —
    >                    —      Ohmin laki: U=RI
    ¡ 2 Ohmia         I2 “/
    >                    —
    —         —          —
    ----¡---- — —---------
              —
            16 V
          ¡------

Vast.: I₁ = 2,I₂ = 6
Avainsanat: Sähköpiiri, tasavirtapiiri, lineaarinen yhtälöryhmä, (redusoitu)porrasmuoto, rref.

Tehtava
12.
mlLi008.tex
1.
Muodosta 5 × 5-yksikkömatriisi I. (help eye)
2.
Muodosta matriisi E₁, jossa on vaihdettu I:n rivit 2 ja 5.
3.
Muodosta matriisi E₂, joka saadaan kertomalla I:n 4. rivi
luvulla 4.
4.
Muodosta matriisi E₃, joka saadaan I:stä Gaussin rivioperaatiolla: $r ← r + 4r , 4 4 1$ missä r_i tarkoittaa matriisin riviä numero i.
5.
Muodosta matriisit E₁⁻¹, E₂⁻¹, E₃⁻¹ käyttäen komentoa inv ja selitä, mitä rivioperaatiota ne vastaavat.

Avainsanat: Alkeismatriisit, LU-hajotelma, Gaussin rivioperaatio, käänteismatriisi.

Tehtava
13.
mlLi009.tex (KP3-ii, 2008, harj1)
Olkoon $⌊ ⌋ a1,1 a1,2 a1,3 || || A = |⌈ a2,1 a2,2 a2,3|⌉ a3,1 a3,2 a3,3$
ja olkoot
E₀ = E₁ = , E₂ = .
Muodosta matriisitulot E₀A, E₁A, AE₁ ja E₂A ja selvitä, mitä nämä operaatiot tekevät matriisin A riveille/sarakkeille.
Avainsanat: Alkeismatriisit, LU-hajotelma, Gaussin rivioperaatio Vihje: Käsinlasku ja ajattelutehtävä, tarkistukseen voit hyödyntää Matlabin syms-komentoa tai voit tehdä symboliset matriisioperaatiot Maplella/Mathematicalla.

Tehtava
14.
mlLi010.tex
Harjoituksen (KP3-II/s. 2006) ohjetta:
Seuraavissa tehtävissä voitaisiin johonkin johtopäätökseen päästä determinantin avulla. Näissä harjoituksissa ei kelpuuteta tällaisia ratkaisuja, vaan harjoitellaan johtopäätösten tekoa rivioperaatioiden seurauksena.
Osa tehtävistä on käsinlaskuun tarkoitettu, mutta niiden yhteydessä voidaan harjoitella samalla Matlab/Octave/Scilab-työskentelyä (Kts. MattieO).
Annettuna on 3 × 3−systeemin liitännäismatriisi
$⌊ 1 2 3 4 ⌋ || || | 4 5 6 7 |. ⌈ ⌉ 6 7 8 9$ Muodosta rivioperaatioilla porrasmuoto ”ref” — ”row echelon form”. Merkitse tukisarakkeet ja tukialkioiden paikat. Jatka sitten rivioperaatioita alhaalta ylöspäin päästäksesi redusoituun porrasmuotoon ”rref”.
Avainsanat: Lineaarinen yhtälöryhmä, Gaussin rivioperaatio, ref, rref, (redusoitu) porrasmuoto, row echelon form.

Tehtava
15.
mlLi013.tex
Piirretään toisen asteen pintoja. Tätä varten tulee pinnat esittää parametrimuodossa $x1 = x1 (u, v),x2 = x2(u,v),x3 = x3 (u, v),$
missä muuttujat u ja v saava arvoja jostain sopivasta alueesta. Esimerkiksi parametrisointi
$( ||z1 = r1 sin ucos v, ( { { 0 ≤ u ≤ π ||z2 = r2 sin usin v ( 0 ≤ v ≤ 2π (z3 = r3 cosu,$

MATLAB ilmoittaa R²:n muuttujat tietyllä tavalla organisoituhin matriiseihin seuraavasti:

[U,V] = meshgrid(linspace(0,pi,21),linspace(0,2*pi,21));

Nyt ellipsoidin r₁ = r₂ = r₃ parametrisointi tehdään seuraavasti

Z1 = sin(U).*cos(V);
Z2 = sin(U).*sin(V);
Z3 = cos(U);

Kuvan tästä saa piirrettyä komennolla surf(Z1,Z2,Z3). Kokeile miten pintä muuttuu, kun asetat kertoimiksi r_k eri arvoja. Tutustu myös komentoon axis.

Tehtava
16.
mlLi014.tex
Tarkastellaan yhtälöryhmää $( { 0.0001x1 + 2x2 = 4 ( x1 + x2 = 3$
Tarkka ratkaisu on [,]^T, joka 5:llä numerolla esitettynä on [1.0001, 1.9999]^T.
(a) Ratkaise yhtälösysteemi niin, että suoritat laskut (järjestystä vaihtamatta) 3:lla merkitsevällä numerolla. (Laske laskimella, Matlabilla tms. ja pyöristä kunkin operaation jälkeen tulos 3:een numeroon.)
(b) Tee samoin kuin (a)-kohdassa, mutta vaihda yhtälöiden järjestys.
Selitä, miksi (a)-tapauksessa tulee suuri suhteellinen virhe ( 100%:n suhteellinen virhe toisessa komponentissa), kun taas (b)-tapauksessa virhe on olematon.
Avainsanat: Lineaarinen yhtälöryhmä, Gaussin rivioperaatio, numeerinen ratkaisu, numeerinen lineaarialgebra, pyöristysvirhe.

Tehtava
17.
mlLi015.tex
Olkoon A = ja =^T. Ratkaise yhtälö Ax = b osittaistuentaa (“partial pivoting”) käyttäen.
Olkoon P permutaatiomatriisi (rivinvaihtomatriisi), joka määräytyy rivien vaihdoista. Muodosta hajotelma PA = LU.
Matlab:lla: help lu, [L,U,P]=lu(A) (Tämä siis vertailun vuoksi, tarkoitus on laskea käsin.)
Avainsanat: Lineaarinen yhtälöryhmä, Gaussin rivioperaatio, LU-hajotelma, numeerinen lineaarialgebra, (osittais)tuenta, “(partial) pivoting”. Vihje: Osittaistuenta tarkoittaa itseisarvoltaan suurimman tukialkion valitsemista pienen tukialkion aiheuttamien numeeristen ongelmien välttämiseksi. Matlab saattaa käyttää esim. ns. skaalattua osittaistuentaa, jolloin rivinvaihtostrategia voi olla erilainen.

Tehtava
18.
mlLi017.tex
Muodosta “ylimääräytyvälle” yhtälöryhmälle $( ||{ x + 3y = 5 x − y = 1 ||( x + y = 0$ normaaliyhtälöt ja ratkaise pienimmän neliösumman (PNS,LSQ) mielessä. Piirrä suorat ja ratkaisupiste tasoon.
Vastaustarkistuskeino: Huomaa, että Matlab:n yhtälösysteemin ratkaisija: x = A∖b on niin älykäs, että se ymmärtää ylimääräytyvässä tapauksessa suorittaa PNS-ratkaisun.
Avainsanat: Lineaarinen yhtälöryhmä, PNS,LSQ, pienimmän neliösumman menetelmä, LU-hajotelma, numeerinen lineaarialgebra, (osittais)tuenta, “(partial) pivoting”. Vihje:

Tehtava
19.
mlLi018.tex
Huom: Käsinlasku täydennettynä pikku Matlab-osuudella.
Eräässä mittauksessa saatiin seuraava data:

xdata 1 2 3 4 5
ydata 1.8 2.7 3.4 3.8 3.9

Dataa mallinnetaan polynomilla p(x) = c₁x + c₂x².
(a) Muodosta PNS-tehtävän matriisi X ja vektori y siten, että tehtävä saadaan ylimääräytyväksi yhtälöryhmäksi Xc = y.
(b) Ratkaise kerroinvektori c. Piirrä data ja PNS-polynomi samaan kuvaan.
Vihje: (b)-kohdassa saat mieluusti käyttää Matlab:ia. Tee kuitenkin vaiheittain matriikertolaskut, transpoosit ym., lopuksi toki voit tarkistaa “takakenolla”. Piirrä samaan kuvaan datapisteet ja polynomi.
Piirtäminen käy näin:
xd=1:5; yd=[1.8 ...]; plot(xd,yd,’x’); hold on; kertoimet=[c2 c1 0]; x=linspace(1,5); y=polyval(kertoimet,x); plot(x,y,’r’); xlim([0 6]); grid on
Huomaa, että polyval haluaa kertoimet korkeimmasta potenssista alkaen.
Vast: p(x) = 1.76x − 0.2x²
Avainsanat: PNS,LSQ, pienimmän neliösumman menetelmä, käyrän sovitus, curve ﬁtting, data ﬁtting.

Tehtava
20.
mlLi019.tex
Määritä PNS-ratkaisu tehtävälle Ax = b, kun A = ja
b = ^T. Hyödynnä QR-hajotelmaa, jonka voit muodostaa seuraavilla komennoilla: (Huom: Yleensä ei lasketa rationaaliaritmetiikalla, mutta opettelussa voi olla hyödyksi.)
>> format rational
>> A=[...] % Jos kirjoitat [...], olet TONTTU!
>> [Q,R]=qr(A)

Vihje: Matlab muodostaa ns. täyden QR-hajotelman. Kuten huomaat, riittää ottaa Q:n kaksi ensimmäistä saraketta ja R:n 2 ensimmäistä riviä, miten nyt vain haluat. Huomaa siis, että Q on ortogonaalinen ja R on yläkolmiomatriisi.
Avainsanat: PNS,LSQ, pienimmän neliösumman menetelmä,QR-hajotelma.

Tehtava
21.
mlLi020.tex
Suorita Matlab-komento eigshow. Opiskele helppiteksti ja suorita joitakin kokeiluja kuljettamalla x-vektoria läpi koko yksikköympyrän. (Tämä vain lämmittelyksi.)
Valitse erityisesti matriisit A=[1 3;4 2]/4, B=[3 1;-2 4]/4 ja
C=[2 4;2 4]/4. Määritä kuvan perusteella kunkin ominaisarvot ja -vektorit. Saat vektorit tarkemmin komentamalla grid on.
Mitä, jos kuvan perusteella ominaisarvoja/vektoreita ei näyttäisi olevan?
Määritä kuvan perusteella myös ominaisavaruuden dimensio matriisin C tapauksessa.
Laske kunkin matriisin ominaisarvot ja -vektorit eig-komennolla. (help eig)
Huom: Jos näitä matriiseja ei sattuisi olemaan valmiina valikossa, voit ne sinne lisätä helppiruudun “View code for eigshow”-linkistä. Hae koodista kohta mats = .... Siitä näet, miten matriiseja voi lisätä. Jos editoit koodia, tallenna se omaan hakemistoosi vaikkapa nimelle ominashow, ja sitten vaan ominashow.
Tee joitakin omia kokeiluja erilaisilla matriiseilla oman “ominashow”:n avulla.
Avainsanat: Ominaisarvot, ominaisvektorit, ominaisarvojen graaﬁnen havainnollistaminen, ominaisvektorien graaﬁnen havainnollistaminen, Matlab: eigshow, eig

Tehtava
22.
mlLi020a.tex
Ohjeita, ominaisarvo-oppia (Liitettäväksi aiheen tehtäväpaperiin)
Yleistä
- Ominaisarvo on luku, se voi olla kompleksiluku, vaikka matriisi olisi reaalinen.
- Ominaisvektori on (reaalisen matriisin tapauksessa) ℝⁿ:n tai ℂⁿ:n vektori sen mukaan, onko vastaava ominaisarvo reaalinen vai kompleksinen.
- Ominaisarvo saa aivan mainiosti olla 0, ominaisvektoriksi emme hyväksy nollavektoria.
- Ominaisarvoon λ liittyvä ominaisavaruus E_λ koostuu kaikista λ:aan liittyvistä ominaisvektoreista ja lisäksi nollavektorista. Tällöin kyseessä on vektori(ali)avaruus, nimittäin matriisin A−λI nolla-avaruus, N(A−λI).
- Ominaisarvon λ_j algebrallinen kertaluku M_{λ_j} on karakteristisen polynomin det(A − λI) juuren kertaluku. Geometrinen kertaluku m_{λ_j} on dim(E_{λ_j}).
  Pätee: m_{λ_j} ≤ M_{λ_j}
- Jos reaalisella matriisilla A on kompleksinen ominaisarvo λ = α + iβ, niin myös λ = α−iβ on A :n ominaisarvo. Jos v on λ :aa vastaava ominaisvektori, niin liittolukua λ vastaava ominaisvektori on v. (Tarkoittaa vektoria, jonka koordinaatit ovat v :n koordinaattien liittolukuja.)
- Jos on määrättävä diagonaalimatriisin ominaisarvot ja -vektorit, niin laskentatyötä ei jää lainkaan. Älä siis suotta ryhdy veivaamaan det(A − λI):n kautta. (Koko ominaisarvohomman perustavoite on saattaa lineaarikuvauksen matriisi diagonaalimuotoon. Jos se jo on, niin mitään ei tarvitse enää tehdä, kunhan osaat siitä lukea.)
- Kolmiomatriisin (ylä- tai ala-) ominaisarvot ovat diagonaalialkiot. (Siis yleistys edelliselle, tässä tapauksessa ominaisvektoreista ei voida sanoa mitään yleistä.)
- Kun pyydetään laskemaan johonkin ominaisarvoon liittyvät ominaisvektorit, on sopivaa antaa vastaukseksi ominaisavaruuden kanta. Helpoimmin se saadaan antamalla ratkaisun vapaille muuttujille vuorollaan arvot ( 1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (0, 0, 1) (jos kyseessä on 3-ulotteinen ominaisavaruus). Tässähän on kyse nolla-avaruuden kannan määräämistehtävästä.
- Eri ominaisarvoihin liittyvät ominaisvektorit ovat LRT.
- Diagonalisointi: Annettu A. Etsittävä, jos mahdollista, matriisit V ja D, V kääntyvä ja D diagonaalimatriisi siten, että A = V DV ⁻¹.
  Jos tehtävänä on diagonalisoida A, etsitään matriisit V ja D ja perustellaan V :n kääntyvyys. (Yleensä ei vaadita V ⁻¹:n laskemista ilman eri kehoitusta, tai jatkotehtävän asettamaa tarvetta.)
Matlab-ohjeita
- [V,D]=eig(A) antaa suoraan diagonalisointimatriisit: V :n sarakkeina ominaisvektorit ja D :n diagonaalilla (samassa järjestyksessä) ominaisarvot. Jos A on diagonalisoituva, niin V :n sarakkeet ovat LRT, jolloin voidaan muodostaa V ⁻¹; Matlab/Octavella: inv(V).
  ... [ help eig, doc eig]
  Esim:
  
  >> A=[3 -3 2;-1 5 -2;-1 3 0];
  >> [V,D]=eig(A)
  
  Nyt V :n sarakkeina ovat A :n ominaisvektorit, D on diagonaalimatriisi, jossa vastaavilla kohdilla ovat A :n ominaisarvot.
  Mikäli V on kääntyvä, saadaan suoraan A :n diagonalisointi, kun lasketaan vielä VI = inv(V). (V on kääntyvä ⇔ A on diagonalisoituva.)
  Matlab normeraa ominaisvektorit yksikkövektoreiksi. Jos haluat mukavammannäköisiä lukuja, saatat saada sen aikaan (näissä pikkulelutehtävissä) jakamalla esim. ko. vektorin ensimmäisellä komponentilla, vaikka tähän tapaan:
  
  >> v1=V(:,1); v1=v1/v1(1)
  >> v2=V(:,2); v2=v2/v2(1)
  >> v3=V(:,3); v3=v3/v3(1) % Nyt ei auta.
  
  Kaiken voit hoitaa yhdellä kertaa kertomalla oikealta diagonaalimatriisilla, jossa ovat diagonaalilla ao. käänteisluvut, kas näin:
  V*diag(1./V(1,:))
Avainsanat: Ominaisarvo-opin perus(lasku)ohjeita, Matlab-ohjeita ominaisarvotehtäviin
Tehtava
23.
mlLi020b.tex
Määritä seuraavien lineaarikuvausten ominaisarvot ja -vektorit laskematta, pelkän geometrisen kuvailun perusteella.
- Peilaus y-akselin suhteen tasossa ℝ²,
- Matriisilla A = kertominen.
- Peilaus yz-tason suhteen ℝ³:ssa.
- Kohtisuora projektio y-akselille ℝ²:ssa.
Tarkista sitten laskemalla, osa käsin ja kaikki Matab:n eig-komennolla. Huomaa, että eig normeeraa ominaisvektorit yksikkövektoreiksi. (Ja ymmärräthän, että erityisesti moninkertaisen ominaisarvon tapauksessa ominaisvektorit ovat kaikkea muuta kuin yksikäsitteiset muutenkin kuin vain skaalauksen suhteen.)
Avainsanat: mlLinis, Lineaarikuvaus, geometrinen luonnehdinta, ominaisarvot, ominaisvektorit Vihje:
Tehtava
24.
mlLi021.tex (käsinlasku, Matlab sopii avuksi/opiksi)

Muodosta matriisin A = ortogonaalinen diagonalisointi (tarkoittaa ortonormaalia).
Laskutyön vähentämiseksi annetaan (tai pyydetään oppilasta komentamaan):

>> eig(A)
ans =
         -2.00
          7.00
          7.00

Avainsanat: Ominaisarvot, ominaisvektorit, ortogonaalinen diagonalisointi. Vihje: Muista, että ominaisvektorit eivät automaattisesti ole yksikkövektoreita, ja useampikertaista ominaisarvoa vastaavat ominaisvektorit eivät automaattisesti ole ortogonaaliset.
Jos olet saanut samaan ominaisavaruuteen kuuluvat LRT ominaisvektorit v₁ ja v₂, niin ortonormaalin kannan saat
1) geometrisen ajattelun avulla: Muodosta v₂:n kohtisuora projektio v₁:llä ja vähennä se v₂:sta. Tai
2) algebrallisesti: Määritä kerroin kerroin c siten, että (v₁ + cv₂) ⊥ v₁.

Tehtava
25.
mlLi022.tex [Käsinlasku-/päättelytehtävä]
Stokastinen matriisi P tarkoittakoon sellaista, jonka alkiot ovat ei-negatiivisia ja sarakesummat = 1. (KRE-kirjassa otetaan rivisummat = 1.)
Osoita, että 1 on aina P:n ominaisarvo.

Vihje: Väite on helppo osoittaa transposille P^T, ajattele ominaisvektorin määritelmää ja mitä saat, jos kerrot P^T:llä vektorin [1,1,…,1].
Avainsanat: mlLinis, Lineaarikuvaus, ominaisarvot, ominaisvektorit, stokastinen matriisi

Tehtava
26.
mlLi023.tex
Eräässä valtiossa pidettiin parlamenttivaalit kolmen puolueen P₁, P₂, P₃ kesken. Puolueiden kannatusosuuksien viikoittaista muutosta vaaleja edeltävän puolen vuoden aikana kuvaa siirtymämatriisi $⌊ 0.7 0.1 0.1 ⌋ | | P = || 0.2 0.8 0.2 || . ⌈ ⌉ 0.1 0.1 0.7$
(a) Määritä matriisin suurinta ominaisarvoa vastaava ominaisvektori ja päättele, mitä rajaosuuksia kannatusluvut lähestyvät, kun viikkomäärä kasvaa (tässä ei päästä äärettömyyteen, mutta raja-arvo antaa riittävän tarkan approksimaation).
(b) Kokeile joillain alkujakaumilla x₀ (siis ”todennäköisyysvektoreilla”, eli sellaisilla, joiden summa = 1 (tai 100)) ja laske x₁ = Px₀ , x₂ = Px₁, …, Käytä ihmeessä Octavea/Matlabia! Miten nopeasti pääset lähelle raja-arvoa?
Avainsanat: mlLinis, Lineaarikuvaus, ominaisarvot, ominaisvektorit, stokastinen matriisi

Tehtava
27.
mlLi024.tex [Päättelytehtävä]
(a) Osoita, että jos λ on A:n ominaisarvo ja x vastaava ominaisvektori, niin λ^k on A^k:n ominaisarvo, ja samainen x on vastaava ominaisvektori.
(b) Oletetaan, että A on kääntyvä. Osoita, että λ⁻¹ on A⁻¹:n ominaisarvo ja x siihen liittyvä ominaisvektori (yhtä hyvin Ax). Mistä tiedät, että λ≠0?
Avainsanat: mlLinis, Lineaarikuvaus, ominaisarvot, ominaisvektorit, perusominaisuuksia

Tehtava
28.
mlLi025.tex
Ajatellaan, että erään asutuskeskuksen asukkailla on kahden operaattorin, R ja S matkapuhelinliittymiä. Liittymien vaihtoa kuukaudessa edustakoon siirtymämatriisi

$⌊ ⌋ 0.6 0.3 P = ⌈ ⌉ . 0.4 0.7$
(Siirtymämatriisi esitetään transponoituna KRE-kirjan vastaavaan nähden.)
Tässä sarakkeet tarkoittavat elatiivia (sta) ja rivit illatiivia (aan). 1. sarake ja 1. rivi viittaavat R:aan, 2. vastaavasti S:aan.
(a) Laske matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit ja totea, että ne muodostavat ℝ²:n kannan.
(b) Olkoon alkuhetkellä liittymien määrät x₀ = [R,S] = [1000, 1500]. Laske määrät vuoden kuluttua (Matlabilla) tai parin kolmen kuukauden kuluttua, jos käsin haluat laskea.
(c) Lausu alkupiste x₀ ominaisvektorikannassa: x₀ = c₁v₁ + c₂v₂.
Mitä rajavektoria lähestyy jono x_k, kun k →∞ ?
Ylimääräinen pohdinta: Riippuuko rajavektorin komponenttien suhde alkuarvosta x₀ ?
Avainsanat: mlLinis, Lineaarikuvaus, ominaisarvot, ominaisvektorit, stokastinen matriisi,

Tehtava
29.
mlLi028.tex
Olkoon $⌊ ⌋ |5 1 1 | A = ⌈1 5 1 ⌉ 1 1 5$

a)
Laske matriisin A diagonalisointiin tarvittavat matriisit P ja D.
b)
Varmista, että P on ortogonaalinen, ja D on diagonaalinen ja diagonaalialkiot suuruusjärjestyksessä.
c)
Osoita, että spektraalikaava $λ u uT + λ u uT + λ u uT = A 1 1 1 2 2 2 3 3 3$
pätee.
Vihje:

Tehtava
30.
mlLi029.tex
Potenssimenetelmä on eräs keino löytää itseisarvoltaan suurin ominaisarvo ja vastaava ominaisvektori. Menetelmä toimii seuraavasti:
- Valitse alkuarvaus b₀. Ainoa vaatimus on, että tällä vektorilla on nollastapoikkeava komponentti ominaisarvon suuntaan – käytännössä kannattaa valita vektori, jonka jokainen alkio on nollasta poikkeava.
- Aseta $-Abk--- bk+1 = ||Ab || k$
- Jatka kunnes jono (b_k) suppenee. Ominaisarvo λ = ||Ab_k|| ja vektori x = b_k.
Toteuta menetelmä MATLABissa, ja laske matriisin gallery(5) suurin ominaisarvo ja vastaava ominaisvektori. Testaa tuloksen oikeellisuus.
Tehtava
31.
mlLi030.tex
Ominaisarvojen laskentamenetelmiä, Power method [KRE⁹] Sec. 20.8
Sovella potenssimenetelmää (3 kierrosta) matriisiin $⌊ ⌋ 3.5 2.0 A = ⌈ ⌉ 2.0 0.5$ alkuarvolla x₀ = [1, 1]^T. Laske Rayleigh-osamäärät q ja virherajat.
Ratkaisu: Vastaus: q = 4,4.493,4.4999;|𝜖|≤ 1.5,0.1849,0.0206
Avainsanat: Potenssimenetelmä, ominaisarvojen laskentamenetelmät, Power method.

Tehtava
32.
mlLi031.tex
Osoita, että jos x on ominaisvektori, niin δ = 0 virhekaavassa (2) Theorem 1 s. 872 (KRE⁹, luvun 20.8, Power Method for Eigenvalues alkusivulla) .
Vihje: Päättelytehtävä, ohjelmistoista ei hyötyä.
Avainsanat: Potenssimenetelmä, ominaisarvojen laskentamenetelmät, Power method.

Tehtava
33.
mlLi032.tex
(a) Päättele Gershgorinin lauseen avulla matriisin $⌊ ⌋ 11 0.4 − 0.5 || || A = |⌈ 0.4 7 a |⌉ − 0.5 a 4$ ominaisarvojen likiarvot ja missä rajoissa ne ovat.
(b) Millä a:n reaaliarvoilla nähdään suoraan, että matriisi on kääntyvä. (Tarkoitus ei ole laskea determinanttia tai ominaisarvoja, korkeintaan halutessasi tarkistukseksi ja varmistuksesi Gershgorinin pätevyydelle.)
Vihje: Käsinlasku, jossa voit harjoitella Matlabin laskinkäyttöä.
Avainsanat: Gershgorinin lause , ominaisarvojen laskentamenetelmät, ominaisarvoarvio.

Tehtava
34.
mlLi040.tex
Olkoot A kompleksinen n × n matriisi, ja olkoot R_i = ∑ _j≠i|a_ij|, eli rivin alkioiden itseisarvojen summa diagonaalia lukuunottamatta. Gershgorinin kiekkolauseen väite on, että jokainen matriisin A ominaisarvo λ_i sijaitsee jossakin kiekossa D(a_ii,R_i), (kompleksitasoon piirretty kiekko, jonka keskipiste on pisteessä a_ii, ja jonka säde on R_i). Totea lauseen väite kokeellisesti, kun A=10*randn(12)+ 5*randn(12)*i; Vihje: Ympyrän, jonka keskipiste on (x,y) ja säde r saa MATLABissa piirrettyä helposti seuraavasti:
x = 0.4; y= -0.34
t = 0:0.02:2*pi;
plot(x+cos(t),y+sin(t));
hold on
%Yksittäinen piste piirretään seuraavasti
plot(x,y,’r.’);

Tehtava
35.
mlLi050.tex
Gram-Schmidtin menetelmä vektorijoukon {v₁,v₂,…,v_n} ortonormalisoimiseksi toimii seuraavasti:
- Ortogonalisoidaan:
  u₁ = v₁
  u₂ = v₂ −u₁
  ⋮
  u_n = v_n −∑ _k=1ⁿ⁻¹u_k
- Normitetaan: e_i = ,i = 1…n
Kirjoita MATLAB-funktio B = grmsch(A) joka hakee Gram-Schmidtin menetelmällä ortonormaalin kannan matriisin A sarakeavaruudelle. Testaa ortonormaalius laskemalla B’*B.
Vinkki: Laskutoimitus u_k vastaa toimitusta (u_k^Tv_n)u_k. Lisätehtävä nopeille: Matriisin sarakeavaruuden normalisointi ei poikkea kovin paljon QR-hajotelman tekemisestä. Jos ehdit, toteuta oma algoritmisi QR-hajotelmalle.
Tehtava
36.
mlLi090.tex
Seuraava kuva esittää kymmenen sivun ”internettiä”.

Laske tämän verkon tärkein sivu käyttämällä PageRank-algoritmia:
- Luo verkon vierusmatriisi A = [a_ij], missä $( ||{ 1 jos sivulta j on linkki sivulle i aij = 0 muuten ||($
- Laske vierusmatriisin suurin ominaisarvo, ja vastaava ominaisvektori.
- Normalisoi laskemasi suurinta ominaisarvoa vastaava ominaisvektori (jaa kaikki vektori alkiot vektorin summalla). Mikä on tämän verkon tärkein sivu.
- Piirrä verkon kuva käyttäen laatimaasi vierusmatriisia ja gplot-komentoa. Tutustu gplotin help-sivuun.
Tehtava

Työkaluja

Tehtävät pdf-muodossa

Yleistä

Matlab-ohjeita

Työkaluja