Menu:

Mathematica harjoitustehtäviä liittyen lausekkeiden kanssa toimimiseen Mathematicassa.

Käytön idea: kun löydät mieleisesi tehtävän, sen alapuolella on linkki tex-tiedostoon. Lataa tiedosto, ja liitä se Mathematica-pääsivulta löytyvään harjoituspohjaan.

1.
Sievennä lauseke . Vihje: Sopivia Mathematican funktioita ovat Simplify ja FullSimplify.

Tehtava
Ratkaisu
2.
Talleta lauseke (a + b)¹⁰ jollekin nimelle ja kehitä se. Jaa tulos tekijöihin, jolloin palataan alkuperäiseen lausekkeeseen. Vihje: Tarvittavat Mathematican funktiot ovat Expand ja Factor. Näiden argumenttina oleva lauseke voi olla joko hakasuluissa tai komento voidaan kirjoittaa sen perään: Expand[lauseke] tai lauseke//Expand.

Tehtava
Ratkaisu
3.
Jaa tekijöihin kahden muuttujan polynomi $5 4 3 2 2 3 3 2 2 3 4 x + 2x y − x y − 2x y − x y − 2x y + xy + 2y .$
Kehitä saamasi tulos, jolloin palataan alkuperäiseen lausekkeeseen. Vihje: Tarvittavat Mathematican funktiot ovat Expand ja Factor.

Tehtava
Ratkaisu
4.
Tutki, mikä lauseke on tekijänä lausekkeessa aⁿ − bⁿ riippumatta eksponentin n ∈ ℕ arvosta. Missä tapauksessa lausekkeella aⁿ + bⁿ on vastaavanlainen tekijä? Supista lausekkeet $15 15 15 15 a--−--b-- ja a--+--b--. a7 − b7 a7 + b7$
Mitä säännönmukaisuutta tuloksen osoittajassa ja nimittäjässä on? Vihje: Tekijöihin jako: Factor. Supistaminen: Cancel. Kokeile luvulle n erikseen eri arvoja. (Miksi yleistä symbolia n ei voida käyttää?) Kokeilut voidaan laskea myös yhteen taulukkoon käyttämällä komentoa Table; tulostuksen saa hieman selkeämpään muotoon kirjoittamalla komennon jälkeen //TableForm.

Tehtava
Ratkaisu
5.
Lavenna murtolauseke $a + x √a-+--x −-√x--$
siten, että juuria ei esiinny nimittäjässä. Vihje: Murtolausekkeesta voi poimia osoittajan funktiolla Numerator ja nimittäjän lausekkeella Denominator. Kokeile myös, mitä tapahtuu, kun murtolausekkeeseen kohdistetaan peräkkäin funktiot Apart ja Simplify. Mitä nämä periaatteessa tekevät?

Tehtava
Ratkaisu
6.
Hajota seuraavat rationaalilausekket osamurtokehitelmiksi, joissa nimittäjät ovat ensimmäistä astetta tai ensimmäisen asteen polynomin potensseja: $-----x-----, -----2x-+--7-----. x2 + 5x + 6 x3 + 3x2 + 3x + 1$
Miten päästään takaisin alkuperäiseen lausekkeeseen? Vihje: Sopivia funktioita: Apart, Together, Simplify, Expand ...

Tehtava
Ratkaisu
7.
Muodosta osamurtokehitelmä lausekkeelle $4696 − 11076x + 11290x2 − 6227x3 + 1687x4 + 180x5 − 364x6 + 156x7 − 36x8 + 4x9 --------------------------------2---------3-------4-------5------6------7---------. − 1152 + 2496x − 2528x + 1616x − 704x + 208x − 40x + 4x$
Lisää tämän jälkeen lausekkeen nimittäjään 1 ja muodosta osamurtokehitelmä uudelleen. Miksi toisessa tapauksessa onnistutaan, toisessa ei? Vihje: Sopivia funktioita: Apart, Numerator, Denominator. Myös hiirtä ja paletteja voi hyödyntää.

Tehtava
Ratkaisu
8.
Tutki, tarkoittaako Mathematican merkintä x^x^x samaa kuin (x^x)^x vai samaa kuin x^(x^x). Sievennä, derivoi ja integroi kumpikin vaihtoehto. Vihje: Yksinkertainen sievennyskomento Simplify ei auta, koska Mathematica varautuu mahdollisuuteen, että muuttujat ovat kompleksisia, jolloin tavanomaiset laskusäännöt eivät rajoituksitta olekaan voimassa. Kokeile tämän johdosta seuraavia sievennyskäskyjä: Simplify[..., x>0] ja PowerExpand. Katso näiden komentojen tarkempaa selitystä Mathematican dokumentaatiosta.

Tehtava
Ratkaisu
9.
Talleta lauseke jollekin nimelle ja laske sen arvo, kun a) x = 2, y = 3, b) x = −5, y = π. Laske sekä tarkka arvo, että 50-desimaalinen likiarvo. Ovatko desimaaliesitykset jaksollisia? Vihje: Käytä arvojen sijoittamisessa korvausoperaattoria /. (eli ReplaceAll). Likiarvojen laskeminen funktiolla N.

Tehtava
Ratkaisu
10.
Mathematicassa on kaksi operaattoria, joilla muuttujalle annetaan arvo: joko = (eli Set) tai := (eli SetDelayed). Yritä selvittää näiden ero antamalla syötteet
a=RandomInteger[–1,100˝]
Table[a,–10˝]
b:=RandomInteger[–1,100˝]
Table[b,–10˝]

Vihje: Delay = viivästää. Katso myös Mathematican dokumentaatiota. Funktio RandomInteger generoi satunnaisia kokonaislukuja; sen argumenttina annetaan väli, jolta luvut otetaan.

Tehtava
Ratkaisu
11.
Kaksi matkapuhelinmastoa näkyy paikkaan, jonka etäisyys toisesta mastosta on 5,27 km ja toisesta 3,16 km. Tähtäyssuunnat mastoihin muodostavat 72^∘50′ suuruisen kulman. Kuinka etäällä mastot ovat toisistaan? Etäisyydet mitataan vaakasuorasti, eikä maaston mahdollisia korkeuseroja oteta huomioon. Vihje: Trigonometristen funktioiden argumentit ilmoitetaan Mathematicassa radiaaneissa. Radiaanien ja asteiden välinen muunnoskerroin on valmiina nimellä Degree (katso dokumentaatiota), mutta kertoimen voi tietenkin muodostaa itsekin. Muista: Funktioiden nimet kirjoitetaan isolla alkukirjaimella, argumentit annetaan hakasuluissa.

Tehtava
Ratkaisu
12.
Tutki lausekkeiden
a)

b)
sin(5x)
c)
sin(x + y)
d)
exp(ix) + exp(−ix)
e)
cos(arccos x)
f)
arccos(cos x)
g)
exp(ln x)
h)
ln(exp x)

sieventämistä. Mitä näistä pitäisi tulla? Mitä Mathematica antaa ja millä komennolla? Mitä symbolisen ohjelman itse asiassa pitäisi antaa vastaukseksi, kun muuttujaa x ei ole millään tavoin rajoitettu? Vihje: Mathematicalla on useita erilaisia Expand- ja Simplify-tyyppisiä komentoja. Muista: Funktioiden nimet kirjoitetaan isolla alkukirjaimella, joskus isoja kirjaimia voi olla muuallakin: ArcCos. Argumentit annetaan hakasuluissa. Imaginaariyksikkö on I.

Tehtava
Ratkaisu
13.
Muokkaa muotoa sin(nx), cos(nx), sin ⁿx, cos ⁿx olevia trigonometrisia lausekkeita erilaisiin muotoihin, kun n on jokin luonnollinen luku (ei symboli). Vihje: Käytä funktioita TrigFactor, TrigExpand, TrigReduce, ExpToTrig, TrigToExp. Muista: Funktioiden nimet kirjoitetaan isolla alkukirjaimella, argumentit annetaan hakasuluissa.

Tehtava
Ratkaisu
14.
Sievennä Tšebyševin polynomin lauseke T_n(x) = cos(n arccos x), n ∈ ℕ, muotoon, josta ilmenee, millainen polynomi on kyseessä. Mikä on polynomin asteluku? Vihje: Anna symbolille n numeerisia arvoja. Funktioiden nimet ovat Cos ja ArcCos.

Tehtava
Ratkaisu
15.
Astetta n olevan polynomin nollakohdat olkoot x₁,x₂,…,x_n. Määritä polynomien kertoimien lausekkeet nollakohtien funktioina tapauksissa n = 2, 3, 4, 5. Miten polynomin kertoimet riippuvat nollakohdista? Vihje: Polynomi voidaan nollakohtien avulla kirjoittaa tulomuotoon $(x− x1)(x− x2)...(x − xn).$
Hyödyllisiä funktioita ovat mm. Product, Collect, Coefficient, CoefficientList. Jos listassa on pitkiä alkioita, sen voi tulostaa selkeämpään muotoon kirjoittamalla perään //TableForm.

Tehtava
Ratkaisu
16.
Yhtälöt $x = cosu(a + bcos v), y = sin u(a + bcos v), z = bsin v$
esittävät erästä pintaa, ympyrärengasta eli torusta parametrimuodossa. Etsi torukselle muotoa F(x,y,z) = 0 oleva yhtälö eliminoimalla eo. yhtälöistä parametrit u ja v. Vihje: Eliminointi voidaan tehdä funktiolla Eliminate; ks. käyttöohjeet Mathematican dokumentaatiosta. Se toimii kuitenkin parhaiten polynomeihin sovellettuna ja trigonometristen funktioiden tapauksessa ei kovin yksinkertaisiin lausekkeisiin päästä. Vaikeudet voidaan välttää seuraavasti: Eliminoitaviksi muuttujiksi otetaan parametrien u ja v sijasta niiden sinit ja kosinit, ts. tehdään eo. yhtälöihin sijoitus Sin[u]->u1, Cos[u]->u2, Sin[v]->v1, Cos[v]->v2. Uusien muuttujien välillä ovat voimassa yhtälöt u1^2 + u2^2 == 1 ja v1^2 + v2^2 == 1, jolloin on kaikkiaan viisi yhtälöä, joista on eliminoitava neljä muuttujaa.

Tehtava
Ratkaisu
17.
Yhtälö $4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x + y + z + 2x y + 2y z + 2z x − 10x − 10y + 6z + 9 = 0$
esittää erästä kolmiulotteisen avaruuden pintaa, ympyrärengasta eli torusta. Jos pintaa leikataan tasolla z = 0 tai tasolla x = 0, saadaan leikkauskäyräksi kaksi ympyrää. Määritä näiden yhtälöt. Vihje: Muodosta leikkauskäyrien yhtälöt sijoittamalla vuorollaan arvot x = 0 ja z = 0 annettuun yhtälöön. Jaa yhtälön vasen puoli tekijöihin! (Mahdollista tarvetta varten: Jos yhtälön nimenä on yht, niin yht[[1]] on sen vasen ja yht[[2]] oikea puoli.)

Tehtava
Ratkaisu
18.
Ratkaise yhtälöiden
1.
168x = 195
2.
x² − 2x − 4 = 0
3.
x³ − x² + x − 21 = 0
4.
(a − b)x² + ax + b = 0

kaikki juuret. Sijoita juuret takaisin yhtälöihin ja tutki, toteutuvatko yhtälöt. Vihje: Talleta ensin yhtälö jollekin nimelle. Yhtälöissä käytetään yhtäläisyysmerkkinä ==. Yhtälön ratkaiseminen Solve-funktiolla tuottaa ratkaisut ns. korvaussääntöjen muodossa. Näiden avulla voidaan saadut juuret helposti sijoittaa mihin tahansa lausekkeeseen, esimerkiksi yhtälöön: yhtalo/.korvaus. Tässä /. on lyhennemerkintä Mathematican funktiolle ReplaceAll.

Tehtava

Työkaluja

Tehtävät pdf-muodossa