Menu:

Mathematica harjoitustehtäviä liittyen graﬁikkaan Mathematicassa.

Käytön idea: kun löydät mieleisesi tehtävän, sen alapuolella on linkki tex-tiedostoon. Lataa tiedosto, ja liitä se Mathematica-pääsivulta löytyvään harjoituspohjaan.

1.
Piirrä funktion f(x) = sin 8x + sin 9x kuvaaja. Vihje: Tarkastele riittävän pitkää väliä. Muista merkinnät: Sin[8x] etc.

Tehtava
Ratkaisu
2.
Tšebyševin polynomit määritellään välillä [−1, 1] lausekkeella $Tn(x) = cos(n arccosx).$
Piirrä polynomien T_n, n = 1, 2, 3, 4, 5, kuvaajat samaan kuvioon. Vihje: Funktioiden nimet ovat Cos ja ArcCos. Yhden kuvaajan piirtäminen tapahtuu komennolla Plot. Useita kuvioita voidaan yhdistää samaan kuvaan komennolla Show, jonka argumenteiksi kirjoitetaan ne tulosteet, jotka kuvaan halutaan. Esimerkiksi %k viittaa tulosteeseen Out[k]; tulosteille voidaan antaa myös nimet kirjoittamalla esimerkiksi kuva1 = Plot ....

Tehtava
Ratkaisu
3.
Piirrä sini- ja kosinifunktioiden kuvaajat muotoa
Plot[–Sin[x], Cos[x]˝, –x, -Pi, Pi˝,
PlotStyle -> –Dashing[–0.1, 0.05˝],
–RGBColor[0.9, 0.3, 0.4], Thickness[0.05]˝˝

olevalla käskyllä. Selvitä kokeilemalla, mitä PlotStyle-määrittelyssä olevat parametrit vaikuttavat kuvioon. Vihje: Parametrien merkitystä voi tutkia myös Mathematican dokumentaatiosta.

Tehtava
Ratkaisu
4.
Piirrä funtion f(x,y) = x³ − 2y² − 5x kuvaaja. Vihje: Tarvittava funktio on Plot3D. Tutki piirtoalueen vaikutusta kuvaajan muotoon ja miten siihen voidaan vaikuttaa Plot3D-funktion optioilla (katso dokumentaatiota).

Tehtava
Ratkaisu
5.
Piirrä funtion f(x,y) = arctan(y∕x) kuvaaja. Miten funktio käyttäytyy origon ympäristössä? Miten funktion voi luonnehtia geometrisesti? Onko funktio jatkuva? Vihje: Funktionnimi on ArcTan. Tarvittava piirtokomento on Plot3D. Piirtotiheyttä voi säätää optioilla PlotPoints tai Mesh. Muitakin optioita on; katso dokumentaatiota.

Tehtava
Ratkaisu
6.
Piirrä kahden muuttujan funktion f(x,y) = log _yx kuvaaja. Vihje: Mieti ensin, millä arvoilla (x,y) funktio on määritelty.

Tehtava
Ratkaisu
7.
Piirrä kahden muuttujan funktion $--xy---- f(x,y) = x2 + y2$
kuvaaja. Tutki erityisesti funktion käyttäytymistä origon ympäristössä. Vihje: Käytä sekä funktiota Plot3D että funktiota ParametricPlot3D. Voitaisiinko käyttää napakoordinaatteja? Säädä piirtotiheys sopivaksi optiolla Mesh. Onko funktio jatkuva origossa?

Tehtava
Ratkaisu
8.
Piirrä kuva parametrimuodossa annetusta käyrästä $x = cospt, y = sin qt, t ∈ [0,2π ],$
missä p ja q ovat numeerisia kertoimia. Vihje: Piirtokomento on ParametricPlot. Tutki myös, mitä optioita on käytettävissä.

Tehtava
Ratkaisu
9.
Piirrä kuva parametrimuodossa annetusta kolmiulotteisen avaruuden käyrästä $x = (5 + cos25t) cos5t, y = (5 + cos25t)sin5t, z = sin25t, t ∈ [0,2π].$
Vihje: Piirtokomento on ParametricPlot3D.

Tehtava
Ratkaisu
10.
Piirrä kuva parametrimuodossa annetusta kolmiulotteisen avaruuden käyrästä $x = (2π − t)cos 5t, y = (2π − t) sin 5t, z = t, t ∈ [0,2π ].$
Muunna parametriesitystä siten, että saadaan pallopinnalla sijaitseva spiraali. Vihje: Piirtokomento on ParametricPlot3D. Piirtotiheyttä voidaan säätää optiolla PlotPoints. Pallopinta: Jos korkeuskoordinaatti on t, niin mikä on pisteen etäisyys z-akselista?

Tehtava
Ratkaisu
11.
Piirrä alueessa −25 ≤ x ≤ 25, −5 ≤ y ≤ 5 kuva käyrästä x = y³ − 5y² + y + 3 ParametricPlot-funktiolla. Vihje: Valitse parametriksi y.

Tehtava
Ratkaisu
12.
Piirrä kuva parametrimuodossa annetusta ruuvipinnasta: $-v- v-- 1- x = u(1 − 8π )cos v, y = u (1 − 8π) sin v, z = 5 (v − u), u ∈ [0,3], v ∈ [0,8π ].$
Vihje: Piirtokomento on ParametricPlot3D. Säädä piirtotiheys sopivaksi, niin että saat kauniin kuvan: optio Mesh.

Tehtava
Ratkaisu
13.
Tutki, millaista pintaa esittää parametriesitys $x = cosu (a + b cosv), y = sinu(a + b cosv), z = bsinv, u ∈ [0,2π], v ∈ [0,2π ].$
Anna piirtämistä varten vakioille a ja b erilaisia (positiivisia) arvoja ja yritä päästä selville niiden merkityksestä. Tutki myös, mitä vaikuttaa optio Shading->False graﬁikkakomennossa. Vihje: Tutki aluksi tapausta, missä a∕b = 2, mutta tarkastele myös tapauksia, missä suhde on = 1 tai < 1. Pinnasta saa paremman käsityksen piirtämällä siitä vain sopivan osan, ts. rajoittamalla parametrien u ja v vaihteluväliä.

Tehtava
Ratkaisu
14.
Yhtälö $4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x + y + z + 2x y + 2y z + 2z x − 10x − 10y + 6z + 9 = 0$
esittää erästä kolmiulotteisen avaruuden pintaa, ympyrärengasta eli torusta. Leikkaa pintaa tasoilla z = vakio ja x = vakio ja piirrä leikkauskäyrät. Vihje: Käytä funktiota ContourPlot. Millaisia kvalitatiivisesti erilaisia leikkauskäyriä syntyy?

Tehtava
Ratkaisu
15.
Piirrä origon ympäristössä kuva käyrästä y⁴ + y² + xy = x³ − x. Vihje: Käytä funktiota ContourPlot.

Tehtava
Ratkaisu
16.
Tutki, mitkä xy-tason pisteet toteuttavat yhtälön log _yx = log _xy. Piirrä kuvio. Vihje: Logaritmifunktio on Log. Käytä funktiota ContourPlot. Mieti, mikä on sopiva piirtoalue.

Tehtava
Ratkaisu
17.
Tutki funktion f(x,y) = y^x käyttäytymistä origon ympäristössä alueessa x > 0, y > 0: piirrä kuvaaja (pinta), piirrä pinnan korkeuskäyriä, laske funktion arvoja. Mitä arvoja funktio saa origoa lähestyttäessä? Vihje: Tarvittavia funktioita: Plot3D, ContourPlot. Jälkimmäiselle voidaan antaa optiona korkeuskäyrien korkeudet muodossa Contours->{...}, missä korkeudet luetellaan listassa; katso myös dokumentaatiota.

Tehtava
Ratkaisu
18.
Piirrä origon ympäristössä kuva pinnasta x³ + y³ + z³ −x²yz −xy²z −xyz² − 1 = 0. Vihje: Käytä funktiota ContourPlot3D. Katso dokumentaatiosta käyttöohjeet.

Tehtava
Ratkaisu

Työkaluja

Tehtävät pdf-muodossa