MMM-Tehtäväportaali

Menu:

Mathematica harjoitustehtäviä liittyen funktioihin ja funktionkäsittelyyn Mathematicassa.

Käytön idea: kun löydät mieleisesi tehtävän, sen alapuolella on linkki tex-tiedostoon. Lataa tiedosto, ja liitä se Mathematica-pääsivulta löytyvään harjoituspohjaan.

1.
Mathematica tuntee ns. gammafunktion Γ(x) nimellä Gamma. Piirrä tämän ja sen derivaatan kuvaajat. Mitä arvoja funktio saa positiivisilla kokonaislukuarvoilla? Vihje: Skaalaa graaﬁnen esitys siten, että kuvaajien luonne tulee selkeästi näkyviin. Funktion arvot positiivisilla kokonaislukuarvoilla voidaan ilmaista yksinkertaisesti. Miten?

Tehtava
Ratkaisu
2.
Määrittele Mathematicalle funktio

$∘ ------- f (x) = x 1 + -4. x2$
Laske funktion arvo pisteissä x = −1, 0, 1. Piirrä kuvaaja. Mikä funktion raja-arvo origossa? Onko tämä olemassa? Onko funktio jatkuva? Vihje: Funktion määrittelyssä voidaan tässä tapauksessa käyttää yhtä hyvin merkkiä = tai merkkiä :=. Raja-arvo voidaan laskea myös funktiolla Limit; katso ohjeet dokumentaatiosta ja kokeile.

Tehtava
Ratkaisu
3.
Piirrä funktion log _x2 kuvaaja ja laske sen derivaatta. Voidaanko funktio lausua luonnollisen logaritmin avulla? Vihje: Mathematican funktio Log on luonnollinen logaritmi. log _kx merkitään Log[k,x]. Ks. myös dokumentaatiota.

Tehtava
Ratkaisu
4.
Mathematicassa on kaksi operaattoria, joita voidaan käyttää funktioiden määrittelyssä: joko = (eli Set) tai := (eli SetDelayed). Yritä selvittää näiden ero määrittelemällä kaksi funktiota seuraavasti:
f[x˙,n˙]= Expand[x^n]
g[x˙,n˙]:= Expand[x^n]

Laske tämän jälkeen f[a+b,5] ja g[a+b,5]. Vihje: Delay = viivästää. Katso myös Mathematican dokumentaatiota. Huomaa, että Expand ei kehitä (ei voi kehittää) lauseketta, jonka eksponentti on symboli: Kokeile g[a+b,n].

Tehtava
Ratkaisu
5.
Määrittele Mathematicalle funktio $−x2 f (x ) = e .$
Laske taulukko sen arvoista välillä [0, 5] askelena 0.1. Piirrä funktion derivaatan kuvaaja. Muodosta integraalifunktio ja piirrä sen kuvaaja. Laske funktion integraali yli reaaliakselin. Katso, mitä antaa komento ?f. Vihje: Funktio voidaan määritellä kahdella tavalla: antamalla muotoa f[x_]:= ... oleva määrittely tai käyttämällä funktiota Function. Kokeile molempia. Taulukko muodostetaan funktiolla Table, derivaatta saadaan esimerkiksi kirjoittamalla f’[x]. Integroinnissa tarvittava äärettömyys on Infinity; se voidaan myös valita paletista.

Tehtava
Ratkaisu
6.
Määrittele Mathematicalle funktio $sin x f (x ) = ----- x$
ja laske sen arvot pisteissä x = π∕2, x = 1 ja x = 0. Määrittele tämän jälkeen funktio origossa siten, että siitä tulee jatkuva. Laske uudelleen sen arvo origossa. Piirrä funktion kuvaaja ja kokeile, miten Mathematica tulkitsee syötteen f’[x]. Mitä on f’[0]? Katso, mitä antaa komento ?f. Vihje: Funktio voidaan määritellä kahdella tavalla: antamalla muotoa f[x_]:= ... oleva määrittely tai käyttämällä funktiota Function. Edellistä tapaa käytettäessä voidaan lisäksi määritellä erikseen arvo yksittäisissä pisteissä: f[0]= ... .

Tehtava
Ratkaisu
7.
Määrittele Mathematicalle funktio, jonka kuvaaja välillä [0,] yhdistää pisteet (0, 0) ja (, 2) sekä välillä [, 1] pisteet (, 2) ja (1, 0). Muualla funktio on = 0. Piirrä funktion kuvaaja. Vihje: Funktion paloittaisessa määrittelyssä käytetään symbolia /; rajoittamaan määrittelyaluetta, esimerkiksi f[x_/;x > -1 && x ¡ 1]:= ... . Vaihtoehtona on käyttää funktiota Piecewise.

Tehtava
Ratkaisu
8.
Määrittele Mathematicalle seuraava funktio ja piirrä sen kuvaaja: $(| |{ a√rcosh(−-x), jos x < − 1, f(x) = | 1 − x2, jos − 1 ≤ x ≤ 1, |( arcosh x, jos x > 1.$
Katso, mitä antaa komento ?f. Onko funktio jatkuva? Entä derivoituva? Osaako Mathematica laskea sen derivaatan? Vihje: Huomaa: Hyperbolisen kosinin käänteisfunktio (päähaara) arcosh on Mathematicassa (virheellisesti) ArcCosh. Funktion paloittaisessa määrittelyssä käytetään symbolia /; rajoittamaan määrittelyaluetta, esimerkiksi f[x_/;x > -1 && x ¡ 1]:= ... . Myös funktiota Piecewise voidaan käyttää.

Tehtava
Ratkaisu
9.
Määrittele cos(nx) kahden muuttujan x ja n funktiona. Piirrä tätä käyttäen funktioiden cos x, cos 2x ja cos 4x kuvaajat samaan kuvioon. Vihje: Helpointa on piirtää kukin kuvaaja erikseen ja yhdistää kuviot Show-komennolla yhdeksi kuvioksi. Kuvion voi piirtää myös yhdellä Plot-komennolla.

Tehtava
Ratkaisu
10.
Määrittele Mathematicalle kahden muuttujan funktio, jonka kuvaaja välillä [0,] yhdistää pisteet (0, 0) ja (, 2n) sekä välillä [,] pisteet (, 2n) ja (, 0). Muualla funktio on = 0. Piirrä funktion kuvaaja. Vihje: Funktion paloittaisessa määrittelyssä tarvittavat ehdot voidaan sijoittaa myös määrittelevän lausekkeen jälkeen, esimerkiksi f[x_,_n]:=4 n^2 x/;x >= 0 && x ¡= 1/(2 n).

Tehtava
Ratkaisu
11.
Laske derivoimalla yhdistetyn funktion f(g(x)) ensimmäinen, toinen ja kolmas derivaatta. Vihje: Yhdistettyä funktiota voidaan käsitellä suoraan muodossa f[g[x]]. Saisitko samat tulokset laskemalla käsin?

Tehtava
Ratkaisu
12.
Jos g on funktion f käänteisfunktio, on kaikilla arvoilla x voimassa f(g(x)) = x. Derivoi tätä yhtälöä kahdesti ja ratkaise tuloksista lausekkeet funktion g ensimmäiselle ja toiselle derivaatalle lausuttuina funktion f derivaattojen ja funktion g arvon g(x) avulla. Vihje: Derivointi voidaan suoran kohdistaa yhtälöön: D[f[g[x]]==x,x]. Tulokset: g′(x) = , g′′(x) = −. Saatko samat tulokset laskemalla käsin?

Tehtava
Ratkaisu
13.
Määrittele Mathematicalle funktio $∫ 1 f (x) = |x − t|dt. 0$
Piirrä tämän määritelmän perusteella funktion ja sen derivaatan kuvaajat. Vihje: Itseisarvofunktio (Abs) integraalin sisällä saattaa aiheuttaa ongelmia. Kokeile itseisarvojen käyttöä, mutta määrittele funktio myös paloittain itseisarvolausekkeen merkkien mukaan kolmessa osassa. Tutki, osaako Mathematica derivoida määrittelemiäsi funktioita.

Tehtava
Ratkaisu
14.
Ratkaise toisen asteen ax² + 2x + 1 = 0 yhtälö ja määrittele funktiot, jotka esittävät yhtälön juuria kertoimen a funktioina. Piirrä näiden funktioiden kuvaajat. Missä alueessa funktiot ovat määriteltyjä? Miten ne käyttäytyvät, kun a → 0, jolloin yhtälö muuttuu ensimmäisen asteen yhtälöksi? Vihje: Ratkaise yhtälö Solve-komennolla ja käytä tulosta suoraan funktioiden määrittelyssä. Funktionmäärittelyssä on syytä käyttää merkkiä = eikä :=. (Miksi?)

Tehtava
Ratkaisu
15.
Fibonaccin luvut määritellään ehdoilla a₀ = 1, a₁ = 1, a_n = a_n−1 + a_n−2 (n = 2, 3, 4,…). Määrittele Mathematican funktio, joka laskee Fibonaccin lukuja antamalla määrittelyt a[0]=1; a[1]=1; a[n_]:=a[n-1]+a[n-2] ja laske tämän avulla Fibonaccin luvut a₁₀ ja a₂₀. Muodosta myös taulukko, jossa on 20 ensimmäistä lukua. Vihje: Ennen Mathematican funktion a määrittelyä anna komento Remove[a], jolla poistetaan mahdolliset aiemmat määrittelyt. Katso myös, mitä komento ?a määrittelyn jälkeen antaa. Kyseessä on rekursiivinen funktiomäärittely. Taulukko voidaan muodostaa funktiolla Table. Miksi taulukon laskeminen kestää?

Tehtava
Ratkaisu

16.

Funktio f : ℕ → ℕ määritellään ehdoilla

f(n)	= n − 5, kun n > 10,
f(n)	= f(f(n + 6)), kun 1 ≤ n ≤ 10.

Tutki, mitä arvoja funktio saa. Vihje: Funktion arvot voidaan laskea taulukkoon Table-funktiolla. Miten laskisit käsin arvon f(1)?

17.

Olkoot A ja B äärellisen monen alkion joukkoja. Joukossa A on m alkiota ja joukossa B on n alkiota. Olkoon S(m,n) surjektioiden A → B lukumäärä. Tälle pätee

S(m, 1)	= 1,
S(m,n)	= n^m −∑_k=1ⁿ⁻¹S(m,k), n = 2, 3,….

Muodosta surjektioiden määrän osoittava taulukko, kun 1 ≤ m ≤ 5, 1 ≤ n ≤ 5. Onko itsestään selvää, mitkä taulukon alkiot ovat = 0? Miksi? Mitä lukuja ovat taulukon lävistäjäalkiot? Osaatko päätellä kaavojen pätevyyden? Vihje: Surjektio A → B on funktio, jossa jokainen maalijoukon B alkio on jonkin alkion kuva. Summa voidaan muodostaa funktiolla Sum, binomikerroin on Binomial. Taulukon (kaksinkertaisen listan) voi muodostaa Table-komennolla ja sen saa näkymään kaksiulotteisena kirjoittamalla perään //TableForm.

18.
Mathematicalle voidaan määritellä myös monimutkaisempia funktioita funktioidenmäärittelyfunktion Function avulla. Määrittele funktio f asettamalla $f = Function [x,FactorInteger [x ][[1,1 ]]]$
ja tutki, mitä se laskee, kun argumenttina on luonnollinen luku. Vihje: Tutki erikseen, mitä FactorInteger antaa. Indeksimerkintä [[1,1]] poimii sen tulostuksesta osan.

Tehtava
Ratkaisu

Työkaluja

Tehtävät pdf-muodossa