Mathematica harjoitustehtäviä liittyen vektorianalyysiin.

Käytön idea: kun löydät mieleisesi tehtävän, sen alapuolella on linkki tex-tiedostoon. Lataa tiedosto, ja liitä se Mathematica-pääsivulta löytyvään harjoituspohjaan.

• 1. 
  Osoita, että polynomit x² + x ja x² + 1 toteuttavat differentiaaliyhtälön (x² − 2x − 1)y′′− 2(x − 1)y′ + 2y = 0. Vihje:  Talleta differentiaaliyhtälö Mathematican muistiin siten, että funktion y argumentit ovat paikoillaan: y’’[x] jne. Määrittele vuorollaan kumpikin polynomi Mathematican funktioksi (p[x_]:= ...) ja sijoita tämä yhtälöön: (yhtalo/.y->p). Sievennä tarvittaessa.

  Tehtava

  Ratkaisu

• 2. 
  Osoita, että funktio

  toteuttaa differentiaaliyhtälön y′′ + y = tan x. Luvut C₁ ja C₂ ovat vakioita. Vihje:  Joko: Muodosta funktion y ja erikseen lasketun toisen derivaatan summa ja sievennä tämä. Tai: Määrittele y Mathematican funktioksi ja sievennä y’’[x] + y[x]. Logaritmifunktio on Log. Itseisarvot voidaan jättää huomiotta, sillä Mathematica tuntee logaritmifunktion ln x myös negatiivisilla argumenteilla x, jolloin se eroaa funktiosta ln |x| vain kompleksisella vakiolla iπ. Kokeile: FullSimplify[ComplexExpand[Log[-x]], x > 0].

  Tehtava

  Ratkaisu

• 3. 
  Ratkaise differentiaaliyhtälö y′′ + y = x². Etsi myös alkuehtoa y(0) = 1, y′(0) = 2 vastaava yksittäisratkaisu. Vihje:  Käytä komentoa DSolve, jonka avulla voidaan löytää sekä yleinen ratkaisu että yksittäisratkaisu.

  Tehtava

  Ratkaisu

• 4. 
  Etsi yleinen ratkaisu Airyn differentiaaliyhtälölle y′′− xy = 0. Mitä ratkaisussa esiintyvät funktiot ovat? Vihje:  Käytä komentoa DSolve. Ratkaisu ei ole lausuttavissa tavallisten alkeisfunktioiden avulla, mutta kylläkin Mathematican tuntemien funktioiden avulla.

  Tehtava

  Ratkaisu

• 5. 
  Kesätapahtumassa hyttysten määrä oli tilaisuuden alussa 200 ja kolme tuntia myöhemmin 700. Määrän kasvunopeus hetkellä t oli suoraan verrannollinen hyttysten määrään sinä hetkenä. Muodosta hyttysten määrää kuvaava differentiaaliyhtälö ja sen ratkaisuna hyttysten määrä mielivaltaisella hetkellä t. Mikä oli hyttysten määrä viiden tunnin kuluttua tilaisuuden alkamisesta? Vihje:  Käytä funktioita DSolve ja Solve. Kumpikin antaa ratkaisun korvaussäännön muodossa. Ratkaisu voidaan tallettaa muuttujaksi jatkokäsittelyä varten korvausoperaattorilla, esimerkiksi lukum= y[t]/.ratkaisu.

  Tehtava

  Ratkaisu

• 6. 
  Lohenviljelyaltaaseen, jossa oli 1100 kalaa, levisi kalatauti. Taudin vaikutuksesta kalamäärä alkoi vähetä yhtälön

  mukaisesti. Tässä P(t) on kalamäärä hetkellä t, ja aika t on mitattu viikkoina. Kuinka monen viikon kuluttua kaikki kalat olivat kuolleet? Vihje:  Käytä funktioita DSolve ja Solve. Kumpikin antaa ratkaisun korvaussäännön muodossa. Ratkaisu voidaan tallettaa muuttujaksi jatkokäsittelyä varten korvausoperaattorilla, esimerkiksi lukum= y[t]/.ratkaisu.

  Tehtava

  Ratkaisu