Mathematica harjoitustehtäviä liittyen perusaritmetiikkaan.

Käytön idea: kun löydät mieleisesi tehtävän, sen alapuolella on linkki tex-tiedostoon. Lataa tiedosto, ja liitä se Mathematica-pääsivulta löytyvään harjoituspohjaan.

• 1. 
  Strategiapelissä rakennetaan uudelle planeetalle makean veden säiliötä. Säiliö on ympyräpohjainen lieriö, jonka korkeus on 320 metriä ja pohjan säde 1000 metriä. Säiliöstä haihtuu vettä keskimäärin 100 litraa minuutissa. Kuinka monta planeetan vuotta säiliössä riittäisi vettä, ennen kuin täysi säiliö pelkästään haihtumisen vuoksi olisi tyhjentynyt? Planeetan vuosi on 3 ⋅ 10⁷ sekuntia. Vihje:  Kertomerkki on joko välilyönti tai *; numeroiden tapauksessa * on selkeämpi (ihmiselle).

  Tehtava

  Ratkaisu

• 2. 
  Trooppisen vuoden pituus on 365 vrk 5 h 48 min 45 s ja Maan pyörähdysaika akselin ympäri 23 h 56 min 4 s. Ilmoita murtolukuna, kuinka monta pyörähdystä Maa tekee trooppisessa vuodessa. Mikä tulos on desimaalilukuna? Vihje:  Kertomerkki on joko välilyönti tai *; numeroiden tapauksessa * on selkeämpi (ihmiselle).

  Tehtava

  Ratkaisu

• 3. 
  Sievennä lauseke . Laske myös likiarvo 100 desimaalilla. Vihje:  Kokeile funktioita Simplify ja FullSimplify. Neliöjuurifunktio on Sqrt; symboli löytyy myös paletista. Likiarvon laskeminen: N.

  Tehtava

  Ratkaisu

• 4. 
  Laske summat ∑ _k=1ⁿk², kun n = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Jaa tulokset tekijöihin. Ovatko jotkin summat jaottomia, so. alkutekijöitä? Vihje:  Tarvittavia funktioita: Sum, FactorInteger, PrimeQ. Taulukoita voi tehdä funktiolla Table. Liittämällä loppuun määre //TableForm taulukko saadaan tulostetuksi havainnollisempaan muotoon.

  Tehtava

  Ratkaisu

• 5. 
  Tutki, millaisia tarkkoja arvoja saadaan lausekkeelle sin(π∕n), kun n on luonnollinen luku. Mitä tarkoittaa, että osa tuloksista on (ainakin näennäisesti) kompleksilukuja? Missä tapauksissa tulos ei sisällä imaginaariyksikköä? Vihje:  Tarvittava funktio on FunctionExpand. Muista iso alkukirjain ja hakasulut: Sin[Pi/n].

  Tehtava

  Ratkaisu

• 6. 
  Laadi taulukko sini- ja kosinifunktioiden arvoista välillä 0^∘ – 90^∘ yhden asteen välein. Vihje:  Taulukoita voi tehdä funktiolla Table. Liittämällä loppuun määre //TableForm taulukko saadaan tulostetuksi havainnollisempaan muotoon. Trigonometristen funktioiden argumenttien tulee olla radiaaneissa. Luku π kirjoitetaan Pi; se voidaan myös valita paletista. Muista iso alkukirjain ja hakasulut: Sin[Pi/4], Cos[0]. Katso dokumentaatiosta: Degree.

  Tehtava

  Ratkaisu

• 7. 
  Lukua π approksimoidaan luvulla . Laske absoluuttinen virhe ja suhteellinen virhe prosenteissa. Vihje:  Luku π on Pi ja ilmaistaan Sqrt[10]. Molemmissa tapauksissa voidaan symbolit valita myös paletista.

  Tehtava

  Ratkaisu

• 8. 
  Stirlingin kaavan mukaan on

  Approksimointi on sitä tarkempi, mitä suurempi n on. Laske absoluuttinen ja suhteellinen approksimaatiovirhe, kun n = 10, 100, 1000. Vihje:  Muodosta lausekkeet absoluuttiselle ja suhteelliselle virheelle n:n funktiona ja sijoita näihin tarvittavat n:n arvot korvaussääntöä käyttäen.

  Tehtava

  Ratkaisu

• 9. 
  Laske lausekkeen (1 + )ⁿ likiarvo yhä isommilla arvoilla n ja tutki, miten tämä lähestyy Neperin lukua e. Vihje:  Likiarvot halutulla tarkkuudella saadaan funktiolla N. Neperin luku on E; se voidaan valita myös paletista, jolloin symboli näyttää hieman erikoiselta pikku e:ltä. Aloita varovaisesti; älä syötä kovin suuria lukuja n. Tulokset voi kerätä taulukoksi Table-funktiolla.

  Tehtava

  Ratkaisu

• 10. 
  Laske summan ∑ _k=0ⁿ(−1)^k∕k! likiarvo yhä isommilla arvoilla n ja tutki, miten summan käänteisarvo lähestyy Neperin lukua e. Vihje:  Tarvittavia funktioita: Sum, N. Neperin luku on E; se voidaan valita myös paletista, jolloin symboli näyttää hieman erikoiselta pikku e:ltä. Kertoma ilmaistaan yksinkertaisesti huutomerkillä. Tulokset voi kerätä taulukoksi Table-funktiolla.

  Tehtava

  Ratkaisu

• 11. 
  Kahden paikkakunnan välinen lyhin etäisyys maapallon pintaa pitkin mitattuna voidaan laskea kaavasta

  missä 𝜗₁ ja φ₁ tarkoittavat ensimmäisen, 𝜗₂ ja φ₂ vastaavasti toisen paikan leveys- ja pituusatetta. R = 6370 km on maapallon säde. Muodosta funktio, jolla voidaan laskea kahden paikkakunnan etäisyys antamalla argumenteiksi paikkojen koordinaatit. Laske a) Helsingin ja Tokion, b) Reykjavikin ja Sydneyn välinen etäisyys, kun paikkakuntien koordinaatit ovat seuraavat:

  	leveys		pituus
  Helsinki	60° 08’	N	25° 00’	E
  Tokio	35° 40’	N	139° 45’	E
  Reykjavik	64° 09’	N	21° 58’	W
  Sydney	33° 55’	S	151° 10’	E

  Vihje:  Muodosta funktio siten, että argumentit annetaan asteissa. Arkuskosini on ArcCos. Aste on Degree; katso tarkemmat tiedot dokumentaatiosta.

  Tehtava

  Ratkaisu