Menu:

Maple harjoitustehtäviä liittyen lineaarialgebraan ja matriisien kanssa toimimiseen Maplessa.

Käytön idea: kun löydät mieleisesi tehtävän, sen alapuolella on linkki tex-tiedostoon. Lataa tiedosto, ja liitä se pääsivulta löytyvään harjoituspohjaan.

1.
Tiedosto: mplP001.tex
Ohjelmat: Maple, [Mathematica]
Sievennä lauseke
$x − 1 -----1--------1--. (1 − √x)(1 + √x)$
Vihje: Kokeile funktiota simplify.

Tehtava
2.
mplP002.tex (PA P1 s.2011)

1.
Klikkaa hiirellä (Viikkoharjoitukset-sivun) tiedostoa (maple1.mw) tässä mplP002Pohja.mw ja avaa se ohjelmalla Maple 15. Käy läpi työarkin tehtävät ja siirry sen jälkeen alla oleviin tehtäviin.
2.
a) Kokeile Maplen voimia seuraavien sarjojen kohdalla: $∞ ∞ ∞ ∞ ∑ 1-- ∑ 1- ∑ (−-1)n- ∑ n3- n2, n , 2n + 1 , 2n. n=1 n=1 n=0 n=1$
b) Montako termiä hajaantuvasta sarjasta
$∑∞ 1- n n=1$
on otettava mukaan, jotta vastaava osasumma olisi vähintään 100?
(sum, evalf, infinity)

Vihje:

Tehtava
3.
mplP002a.tex (PA P1 s.2011)

Fibonaccin lukujono (f_n) määritellään alkuehdoilla f₀ = 0, f₁ = 1 ja palautuskaavalla f_n+2 = f_n + f_n+1, kun n ≥ 2. Samat luvut saadaan suoraan lausekkeesta
$f = √1-(φn − (− φ )−n) n 5$
arvolla φ = . Määrittele f_n = f(n) funktiona ja osoita, että sekä alkuehdot että palautuskaava toteutuvat.
Vihje: Määrittele aluksi phi:= ... Palautuskaavan kohdalla on helpompi osoittaa jokin lauseke nollaksi kuin verrata kahta hankalaa lauseketta.
(sqrt, simplify, expand)
Vihje: Muista funktiomääritys:
f:=n->...

Tehtava
4.
mplP002b.tex (PA P1 s.2011)
Intialaisen matemaatikon Srinivasa Ramanujanin (1887–1920) keksimän kaavan mukaan $√ --∞ 1- 2--2-∑ (1103-+-26390n-)(4n-)! π = 9801 3964n(n!)4 . n=0$
Tutki (numeerisesti), monennenko osasumman avulla saadaan luvun 1∕π likiarvo 50 desimaalin tarkkuudella.
b) Määrittele sarjan yleinen termi a_n = a(n) funktiona ja laske raja-arvo
$an+1 q = nli→m∞ -----. an$
Sarja suppenee siis suunnilleen samaa vauhtia kuin sellainen geometrinen sarja, jonka suhdeluku on q.
(Pi, sqrt, sum, evalf(luku, desimaalien lkm), limit)
Vihje: Muista funktiomääritys:
a:=n-> ...

Tehtava
5.
Suorita Maplella :
> series(exp(x), x = 0, 10); # tai taylor(…);
> p:=convert(%,polynom);
> c:=coeffs(p,x);
> evalf(%);

Selitä, mitä näissä tapahtuu. (Tutki tarvitessasi helpillä tyyliin ?convert.)
Piirrä polynomin p kuvaaja sopivalla välillä.

Tehtava
6.
Etsi lukujen 1234³²⁴³ ja 7681 suurin yhteinen tekijä.
Vihje: Suurin yhteinen tekijä lasketaan funktiolla igcd. Jos myös kertoimet halutaan tietää, kannattaa käyttää funktioita igcdex.
Luokittelu, avainsanat: Mapleperusteet, mplPerusteet, syt, gcd, lukuteoriaa

Tehtava
7.
mplP006.tex (HA:n Maple-kirja ss. 48-50)
1.
Laske 2¹²³,π³,e⁵ neljälläkymmenellä (40) numerolla.
2.
Mikä rationaaliluvuista ,, approksimoi parhaiten π:tä ?
3.
Kumpi luvuista π^e , e^π on suurempi?
4.
Jaa tekijöihin polynomi x³ − y³

Vihje:

?evalf
?factor

Tehtava
8.
mplP007.tex (HA:n Maple-kirja ss. 48-50)
Määrittele polynomilauseke p = x³ − 4x² + 3x + 2.
Määritä p:n juuret ja piirrä kuvaaja välillä, joka sisältää juuret. Määritä myös paikalliset ääriarvot.
Vihje:

   p:= ...   (ei siis p = ... (kuten Matlabissa))
   plot(p,x=a..b)
   ?plot
   solve   yrittaa tarkkaa analyyttista ratkaisua (vaikka onnistuisi, voi olla turhan mutkikas)
   fsolve  numeerinen ratkaisija

Luokittelu: Maple perusteet, lausekkeet, yhtälöt, nollakohdat, graﬁikka

Tehtava
9.
mplP008.tex (HA:n Maple-kirja ss. 48-50)
Piirrä samaan kuvaan x⁴ ja 2^x ja selvitä, kuinka monessa pisteessä ne leikkaavat. Varmaan joudut piirtämään useita kuvia eri alueilta.
Suurimman juuren etsimisessä voi oikean alueen ehkä löytää nopeimmin tyyppiä seq([x^4,2^x],x=a..b); olevalla komennolla.
Tutki fsolve-komennon help-teksti ja määritä likiarvo suurimmalle juurelle.
Vihje: seq(f(x),x=a..b) toimii kokonaislukuaskelin.
Toki askel voidaan säätää halutuksi tähän tyyliin:

jono:=seq(a+i*h,i=0..10);

Luokittelu: Maple perusteet, jonot (seq), yhtälöt, nollakohdat, graﬁikka

Tehtava
10.
mplP009.tex (HA:n Maple-kirja ss. 48-50)
Mitä tekevät seuraavat Maple-komennot:
> sum(i^2,i=1..10);
> ifactor(1998); # Maple-oppaan kirjoitusvuosi
> ifactor(2012); # Aikaa on kulunut.
> solve(–x+2*y=5,x^2+y^2=10˝,–x,y˝);
> solve([x+2*y = 5, x^2+y^2 = 10], [x, y])

Vihje: Kaksi solve-komennon muotoa liityvät tietorakenteisiin. Edellinen käsittelee joukkoina, jälkimmäinen listoina. (Joukon alkioilla ei ole määrättyä järjestystä päinvastoin kuin listassa.)
Luokittelu, avainsanat: Mapleperusteet, yhtälöryhmä, joukko, lista, tekijöihin jako.

Tehtava
11.
mplP010.tex
Muodosta funktion cos(x) sin(x) ensimmäinen ja toinen derivaatta ja piirrä kunkin kuvaaja sopivaksi katsomallasi välillä kenties mieluiten eri koordinaatistoihin.
Vihje:

Tehtava
12.
mplP011.tex (HA:n Maple-kirja ss. 48-50)

Funktiolausekkeen derivaatta muodostetaan diff-komennolla.
Määritä seuraavien funktioiden 1. ja 2. derivaatta ja sievennä tulokset simplify-komennolla.
6x³ + 3x² − 2x + 1 , , cos(x² + 1) , arcsin(2x + 3) , , arctan x
Luokittelu, avainsanat: Mapleperusteet, Maplediﬃnt, lauseke, symbolinen derivointi, diﬀ

Tehtava
13.
mlP014.tex, mplP014.tex
Maple [Mathematica] , Matlab (erityisesti b)-kohta).

Tarkastellaan funktiota

$f(x ) = 1 + sin-(x). 1 + x2$
a) Maple: Määrittele f lausekkeeksi, laske f:n arvo pisteessä x = −2.0 ja piirrä kuvaaja välillä .
Matlab:
Tee vastaava asia Matlabilla, kirjoita skripti. Huomaa, että Matlabissa täytyy ensin antaa x:lle numeerinen (vektori)arvo.
b) Tee samat asiat, mutta nyt määrittelemällä f funktioksi.
Vihje:
a)

   Maple                               Matlab:

> f:=1-...                            >> x=...
> subs...                             >> f=...
> plot                                >> plot

b)

    Maple                             Matlab

> f:=x->1-...                        >> f:=@(x) 1-...

Ratkaisu: Ratkaisu:

     mplPerusteet/mplP014R.mw  ja .pdf
     mlPerusteet/mlP014R.m ja .pdf

Luokittelu:
mplteht/mplPerusteet/mplP014.tex, matlabteht/mlPerusteet/mlP014.tex
Avainsanat:
Mapleperusteet, funktiot, lausekkeet, Matlabperusteet

Tehtava
Ratkaisu
PDF ratkaisusta
14.
Laske funktion f(x) = e^−x² arvoja 0.5:n välein välillä 0…5, ja piirrä taulukoiduista arvoista kuvaaja
Vihje: Määrittele f funktioksi tyyliin f:=x-> ...
Muodosta jono seq-funktion avulla ja ympäröi se listasuluilla tyyliin: h:=0.5: x:=[seq(k*h),k=...]
Muodosta funktion arvot tyyliin y:=map(f,x)
Taulukon saat esim. array-funktiolla.
Datan voi piirtää nykyisin myös ”Matlab-tyylillä”: plot(x,y)
Ratkaisu:

x := [seq(.5*k, k = 0 .. 10)]
f := x->exp(-x^2)
y := map(f, x)
array([x, y])
plot(x,y)

Tehtava
15.
Laske funktion f(x) = e^−x² arvoja 0.5:n välein välillä 0…5, ja piirrä taulukoiduista arvoista kuvaaja Vihje:

Tehtava
16.
mplP017.tex [mplD019.tex]
Opiskelija ottaa lainaa 10000 euroa hetkellä k = 0 ja ryhtyy maksamaan sitä takaisin kuukauden päästä hetkellä k = 1. Kuukausikorko on 1% (huh!) ja takaisinmaksu tapahtuu kiintein maksuerin 450 EUR/kk
Olkoon y_k k:n kuukauden kuluttua jäljellä olevan velan määrä. Kirjoita diﬀerenssiyhtälö y_k:lle.
Muodosta taulukko ja graaﬁnen esitys, jossa on pisteet (k,y_k), ja selvitä sen perusteella, miten kauan velan maksu kestää ja miten paljon rahaa opiskelijaparka käyttää koko projektiin.
Luokittelu: Maple-perusteet, Diﬀerenssi- ja diﬀerentiaaliyhtalot
Vihje:

Tehtava
Ratkaisu
PDF ratkaisusta

Työkaluja

Tehtävät pdf-muodossa