MattieT/mlteht/mlNonlinEqu

Contents

mlNl005R

Tarkastellaan yhtälöä

$$\tan(0.1 x)= 9.2 e^{-x}.$$

  1. Osoita, että yhtälöllä on yksikäsitteinen ratkaisu avoimella välillä $(0,2 \pi)$.
  2. Piirrä kummankin puolen kuvaaja samaan kuvaan etsiäksesi sopivan alkuarvon x0.
  3. Ratkaise yhtälö numeerisesti Matlab-funktiolla fzero
  4. Myos Newtonin menetelmalla funktiolla myNewton tms., jos on annettu aiemmin ohjelmoitavaksi (tai annetaan valmiina)

Ratkaisu

(a)

Erotuksella eri merkit lähellä päätepisteitä ==> Erotuksella nollakohta.
Toinen on kasvava, toinen pienenevä, joten erotus monotoninen ==>
ratkaisu yksikäsitteinen.

(b)

clear
close all

x=linspace(3,4);
plot(x,tan(0.1*x),x,9.2*exp(-x));grid on;shg

Haetaan funktion f nollakohtaa, missä:

f=@(x) tan(0.1*x)-9.2*exp(-x)
% Alkuarvaus näkyy kuvasta:

f = 

    @(x)tan(0.1*x)-9.2*exp(-x)


x0=3.3;
x1=fzero(f,x0)
figure
ezplot(f,[3,4])

x1 =

   3.292924614900908


hold on
plot(x1,f(x1),'ro');grid on;
title(['Ratkaisu = ',num2str(x1)])
shg

format long
x1

x1 =

   3.292924614900908

(d)

help myNewton

   Ratkaistaan yhtälö f(x)=0 Newtonin menetelmällä
   f on funktio ja fder sen derivattafunktio.
   x0 alkupiste
 
  Esim:
  f=@sin; df=@cos; 
  x0=1;  (Kokeile esim.  1.5, 2, 3 jne.)
 x=myNewton(f,df,x0)
 


syms x
diff(f(x),x)
% ans =
% (46*exp(-x))/5 + tan(x/10)^2/10 + 1/10

 
ans =
 
(46*exp(-x))/5 + tan(x/10)^2/10 + 1/10

Maaritellaan funktioksi:

df=@(x)(46*exp(-x))/5 + tan(x/10)^2/10 + 1/10

df = 

    @(x)(46*exp(-x))/5+tan(x/10)^2/10+1/10

Nyt voidaan soveltaa "myNewtonia":

myNewton(f,df,pi)

ans =

   3.292924614900908

Ihmettely: Miksi funktiomäärittelyissä ei tarvita pisteitä?

Vastaus: Koska fzero ja myNewton ovat puhdasta skalaarikoodia. Entä tilanteessa, jossa tarvitaan? Derivaatan lauseke voidaan "pisteyttää" komennolla vectorize.

vectorize-esimerkki:

vectorize(df(x))
% Pisteistä ei koskaan ole haittaa (ellei olla suorittamassa
% matriisialgebraa), joten aina voidaan varmistella.

ans =

(46.*exp(-x))./5 + tan(x./10).^2./10 + 1./10


Published with MATLAB® R2013a