\begin{Tehtava}
\begin{tehtava}

Funktio 
\begin{verbatim}
function Jf = numjaco(F,m,x,n)
% f is a function with m components,
% x is a vector with n components,
% the result is an m by n matrix.
Jf = ones(m,n);   h = 1e-4;
f = fcnchk(F);
for j =1:n
    e = zeros(n,1); e(j) = 1;
    Jf(:,j) = (f(x+h*e)-f(x-h*e) )/(2*h);
end;
\end{verbatim}

laskee vektorikentän $F$ numeerisen Jacobin matriisin, olettaen että käytetty kanta on standardi. Jos vektorikentässä on vain yksi komponentti, kyseessä on kyseisen funktion gradienttivektori. 

Kopioi edellä oleva funktio tiedostoon, ja määrittele funktiot 
\begin{itemize}
\item $f(x,y) = x^2y$

\item $g(x,y) = xe^{x^2+y}$
\end{itemize}
ja laske niiden numeeriset gradientit pisteissä $(1,2)$ ja $(2,-4)$. Vertaa tulosta tarkkoihin arvoihin:
\[
\nabla f =
\begin{bmatrix}
2xy \\ x^2
\end{bmatrix}
\nabla g = 
\begin{bmatrix}
e^{x^2 +y} + 2x^2 e^{x^2+y} \\
x e^{x^2+y}
\end{bmatrix}
\]
\end{tehtava}
\end{Tehtava}
