\begin{Tehtava}
\begin{tehtava}
Newtonin menetelmä lienee kaikista funktion juuren etsimiseen käytetyistä menetelmistä kuuluisin. Toisin kuin aikaisemmin esittelemämme menetelmät, se ei edellytä tietoa juuren sijainnista, mutta toisaalta se ei aina välttämättä suppene kohti juurta. 

Newtonin iteraatioilla tarkasteltavilta funktioilta odotetaan jatkuvuutta ja derivoituvuutta. Newtonin iteraatiokaava on 
\[
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
\]
Käyttäen aikaisemmin kirjoittamaasi numeerista derivointikaavaa, ja etsi funktion
$f(x) = e^{\sin(x^2)}e^{-x^2}\sin(x^2)-\frac{1}{2}$ nollakohtia käyttäen Newtonin menetelmää. Käytä alkuarvoina ainakin arvoja $0.5, 12.2 $ ja $2.2$. Kuten huomataan, alkuarvoilla on todella dramaattinen vaikutus siihen, kuinka ja minne menetelmä suppenee. 

Kokeile sitten ratkaista funktion $g(x) = x^3-2x+2$ nollakohta Newtonin menetelmällä käyttäen alkuarvauksena $x_0= 1$. Mitä tapahtuu? (vinkki: \texttt{Ctrl + C } lopettaa ikuisen luupin.)

Viimeisenä kokeile ratkaista funktion $h(x) = 1-x^2$ nollakohta Newtonin menetelmällä käyttäen alkuarvauksena $x_0= 0$. Mitä tapahtuu?
\end{tehtava}
\begin{vihje}
Numeerisissa tapauksissa etsitään nollakohtaa jollain sopivalla toleranssilla. Derivaattana kannattaa 
käyttää määritelmän sijasta 3-pisteen sääntöä:
\[
f'(x) \approx \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h},
\]
kun $h$ on pieni. 
\end{vihje}
\end{Tehtava}
