\begin{Tehtava}
\begin{tehtava}
mlLi006.tex \\
%\includegraphics[height=3.6cm, width=3.6cm]{img/harj1.eps}
%\vfill\eject
\emph{Tasapainolämpötilajakauma metallilevyssä.}\\
 Kuva esittää metallilevyä,
joka on ylä- ja alapinnoiltaan lämpöeristetty ja jonka reunojen lämpötilat
on kiinnitetty. (Lämpöä virtaa vain reunojen kautta.) Tasapainolämpötilajakauma
saadaan \emph{Laplacen yhtälön $\Delta u=0$} ratkaisuna. Numeerinen approksimaatio voidaan laskea ns. differenssimenetelmällä: Jaetaan levy sopivilla hilaviivoilla osiin ja numeroidaan näin muodostuvat solmupisteet. Menetelmä: Kunkin 
hilasolmun lämpötila on naapurisolmujen lämpötilojen keskiarvo. (Johdetaan
kurssin lopulla.)


Muodosta $4\times 4-$ yhtälösysteemi solmujen $1,2,3,4$ lämpötilojen likiarvoille $u_1,u_2,u_3,u_4.$ 
Ohje: Aloitetaan solmusta 1: $u_1 = \frac{1}{4}(30 + u_2 + u_3 + 10)$. Vastaavasti muut kolme solmua.
% (Tehtävä jatkuu loppuviikolla.)
%\includegraphics[height=3.6cm, width=3.6cm]{img/lampohila.eps}
%\includegraphics{img/lampo.eps}
%\includegraphics[height=3.6cm, width=3.6cm]{img/lampo.eps}
%\vfill\eject

\begin{verbatim}
               20      20
        |----- o  ----  o ------|
        |                       |
        |                       |
     10 o      o 3      o 4     o  40
        |                       |
        |                       |
     10 o      o 1      o 2     o  40
        |                       |
        |                       |
        |----- o ------ o ------|
               30       30
\end{verbatim}

\begin{enumerate}

\item[(a)]
Ratkaise yhtälösysteemi ja sijoita ratkaisulämpötilat ao. 
hilapisteisiin.
\item[(b)] 
Muodosta $4\times 4-$ matriisi, jossa on reunalämpötilat 
ja ratkaisemasi sisäpistelämpötilat sekä nurkissa lähinnä olevien kahden
reunasolmun keskiarvot tähän tapaan:
\verb_ U=[5 20 20 30;10 u3 u4 40; 10 u1 u2 40; 20 30 30 35];_
Piirrä ratkaisupinnan approksimaatio:\verb_ mesh(U)_ tai \verb_surf(U)_.
\end{enumerate}

\textbf{Avainsanat:}Lämpötilamatriisi, Laplacen yhtälön diskretointi, differenssimenetelmän
alkeellisin perustehtävä, lineaarinen yhtälöryhmä.  

\end{tehtava}
%\begin{vihje}
%\end{vihje}
\end{Tehtava}
