\begin{Tehtava}
\begin{tehtava}
mlLi021.tex (k\"asinlasku, Matlab sopii avuksi/opiksi) \\

Muodosta matriisin 
$A= \left[ \begin {array}{ccc} 3&-2&4\\\noalign{\medskip}-2&6&2
\\\noalign{\medskip}4&2&3\end {array} \right] 
$
ortogonaalinen diagonalisointi (tarkoittaa ortonormaalia).

Laskuty\"on v\"ahent\"amiseksi annetaan (tai pyydet\"a\"an oppilasta komentamaan):
\begin{verbatim}
>> eig(A)
ans =
         -2.00
          7.00
          7.00
\end{verbatim}


\textbf{Avainsanat:}  Ominaisarvot, ominaisvektorit, ortogonaalinen diagonalisointi.


\end{tehtava}

\begin{vihje}
Muista, ett\"a ominaisvektorit eiv\"at automaattisesti ole
yksikk\"ovektoreita, ja useampikertaista ominaisarvoa vastaavat ominaisvektorit
eiv\"at automaattisesti ole ortogonaaliset.\\
Jos olet saanut samaan ominaisavaruuteen kuuluvat \texttt{LRT} ominaisvektorit
$v_1$ ja $v_2$, niin ortonormaalin kannan saat\\
1) geometrisen ajattelun
avulla: Muodosta $v_2$:n kohtisuora projektio $v_1$:ll\"a ja v\"ahenn\"a se $v_2$:sta. Tai \\
2) algebrallisesti: M\"a\"arit\"a kerroin kerroin $c$ siten, ett\"a
$(v_1 + c\, v_2) \perp v_1.$
\end{vihje}

\end{Tehtava}
