\begin{Tehtava}
\begin{tehtava}
mlLi020a.tex \\
\textbf{Ohjeita, ominaisarvo-oppia} (Liitettäväksi aiheen tehtäväpaperiin)
\begin{itemize}
\item
\textbf{Ominaisarvo} on luku, se voi olla kompleksiluku, vaikka matriisi olisi reaalinen. 
\item
\textbf{Ominaisvektori} on (reaalisen matriisin tapauksessa) $\R^n$:n tai $\C^n$:n vektori sen mukaan,
onko vastaava ominaisarvo reaalinen vai kompleksinen.
\item Ominais{\bf arvo saa} aivan mainiosti {\bf olla $0$}, ominais{\bf vektoriksi emme hyväksy nollavektoria}.
\item Ominaisarvoon $\lambda$ liittyvä {\bf ominaisavaruus} $E_\lambda$ 
koostuu kaikista $\lambda$:aan liittyvistä ominaisvektoreista
ja lisäksi nollavektorista. Tällöin kyseessä on vektori(ali)avaruus, nimittäin matriisin $A-\lambda I$
nolla-avaruus, $N(A-\lambda I)$. %, jota merkitsemme $E_\lambda$.
\item
Ominaisarvon $\lambda_j$ {\bf algebrallinen kertaluku} $M_{\lambda_j}$ on
karakteristisen polynomin $\det(A-\lambda I)$ juuren kertaluku. 
{\bf Geometrinen kertaluku} $m_{\lambda_j}$ on $\dim(E_{\lambda_j}).$\\
Pätee: $m_{\lambda_j} \leq M_{\lambda_j}$
\item
Jos reaalisella matriisilla $A$ on \textbf{kompleksinen} ominaisarvo 
$\lambda=\alpha + i\,\beta,$ niin myös  $\overline{\lambda}=\alpha-i\,\beta$
on $A:$n ominaisarvo. Jos $\mathbf{v}$ on $\lambda:$aa vastaava ominaisvektori, niin liittolukua $\overline{\lambda}$ vastaava ominaisvektori on 
$\overline{\mathbf{v}}.$ (Tarkoittaa vektoria, jonka koordinaatit ovat $\mathbf{v}:$n koordinaattien liittolukuja.) 

\item
Jos on määrättävä diagonaalimatriisin ominaisarvot ja -vektorit, niin laskentatyötä ei jää lainkaan.
Älä siis suotta ryhdy veivaamaan $\det(A - \lambda I)$:n kautta. 
(Koko ominaisarvohomman perustavoite
on saattaa lineaarikuvauksen matriisi diagonaalimuotoon. Jos se jo on, niin mitään ei tarvitse
enää tehdä, kunhan osaat siitä lukea.) \\
\item
Kolmiomatriisin (ylä- tai ala-) ominaisarvot ovat diagonaalialkiot.
(Siis yleistys edelliselle, tässä tapauksessa ominaisvektoreista ei
voida sanoa mitään yleistä.)
\item
Kun pyydetään laskemaan johonkin ominaisarvoon liittyvät ominaisvektorit, on sopivaa antaa vastaukseksi
ominaisavaruuden kanta. 
Helpoimmin se saadaan antamalla ratkaisun 
vapaille muuttujille vuorollaan arvot ( $1,0,0$) ,  ($0,1,0$) , ($0,0,1$) 
(jos kyseessä on 3-ulotteinen ominaisavaruus). Tässähän on kyse nolla-avaruuden kannan määräämistehtävästä.
%(Jos yhtään vapaata muuttujaa ei ilmaannu, olet tehnyt laskuvirheen, miksi?)
\item
Eri ominaisarvoihin liittyvät ominaisvektorit ovat {\tt LRT}.
\item
Diagonalisointi: Annettu $A$. Etsittävä, jos mahdollista, matriisit $V$ ja $D$,
$V$ kääntyvä ja $D$ diagonaalimatriisi siten, että $A = V D V^{-1}$.\\
Jos tehtävänä on diagonalisoida $A$, etsitään matriisit $V$ ja $D$ ja 
perustellaan $V$:n kääntyvyys. 
(Yleensä ei vaadita $V^{-1}$:n laskemista ilman eri kehoitusta, tai jatkotehtävän asettamaa tarvetta.)
\item
Octave/Matlab-komentoa \texttt{eig} kannattaa käyttää ainakin tarkistukseen.
Muoto \verb_[V,D]=eig(A)_ antaa suoraan diagonalisointimatriisit: $V:$n sarakkeina ominaisvektorit ja $D:$n diagonaalilla (samassa järjestyksessä) 
ominaisarvot. Jos $A$ on diagonalisoituva, niin $V:$n sarakkeet ovat LRT, jolloin voidaan muodostaa $V^{-1};$ Matlab/Octavella: \texttt{inv(V)}.
\end{itemize}

\textbf{Avainsanat:} Ominaisarvo-opin perus(lasku)ohjeita

\end{tehtava}
\end{Tehtava}
