\begin{Tehtava}
\begin{tehtava}
mlLi023.tex \\
Er\"a\"ass\"a valtiossa pidettiin parlamenttivaalit kolmen puolueen $P_1,\ \ P_2,\ \
 P_3$ kesken. Puolueiden kannatusosuuksien viikoittaista muutosta vaaleja edelt\"av\"an puolen vuoden aikana kuvaa
siirtym\"amatriisi
$$P=
\left[ \begin {array}{ccc}  0.7& 0.1& 0.1\\\noalign{\medskip} 0.2& 0.8& 0.2\\\noalign{\medskip} 0.1& 0.1& 0.7\end {array} \right].$$

(a) M\"a\"arit\"a matriisin suurinta ominaisarvoa vastaava ominaisvektori
ja p\"a\"attele, mit\"a rajaosuuksia kannatusluvut l\"ahestyv\"at, kun viikkom\"a\"ar\"a
kasvaa (t\"ass\"a ei p\"a\"ast\"a \"a\"arett\"omyyteen, mutta raja-arvo antaa riitt\"av\"an
tarkan approksimaation).

(b) Kokeile joillain alkujakaumilla $\mathbf{x_0}$ (siis "todenn\"ak\"oisyysvektoreilla", eli
sellaisilla, joiden summa $=1$ (tai $100$)) ja laske
$x_1 = P\, x_0$ , $x_2 = P\, x_1,\ \ \ldots ,$   
K\"ayt\"a ihmeess\"a Octavea/Matlabia! Miten nopeasti p\"a\"aset l\"ahelle raja-arvoa?


\textbf{Avainsanat:} mlLinis, Lineaarikuvaus, ominaisarvot, ominaisvektorit,
stokastinen matriisi


\end{tehtava}

%\begin{vihje}
%\end{vihje}

\end{Tehtava}
