\begin{Tehtava}
\begin{tehtava}
mlLi006a.tex, [Maple:mplLinis/mplLi010.tex] \\
% Lay: s. 12 teht. 35
(Kyn\"a-paperiteht\"av\"a) \\
Tarkastellaan l\"amm\"onjohtumista ohuessa metallilevyss\"a. Oletetaan, ett\"a
johtumista tapahtuu vain levyn suunnassa, ja levyn reunoilla on
annetut (ajan suhteen) vakiol\"amp\"otilat.
Levyn l\"amp\"otilat eri pisteiss\"a asettuvat ajan kuluessa arvoihin,
jotka ovat ajan suhteen vakioita, t\"all\"oin puhutaan l\"amp\"otilajakauman
tasapainotilasta ("steady state").
Teht\"av\"an\"a on m\"a\"aritt\"a\"a l\"amp\"otilajakauma levyss\"a tasapainotilan vallitessa.

Tarkastellaan kuvan mukaista tilannetta: (Klikkaa oikealla olevaa pdf-linkki\"a,
niin kuva n\"akyy kunnolla.)

\begin{verbatim}
               --- 20----20---20----    
              |    |     |     |    |
             10----*-----*-----*---40
              |    |     |     |    |
             10----*-----*-----*----40
              |    |     |     |    |
               ----20----20----20---
\end{verbatim}

Kuvassa n\"akyv\"at annetut vakioreunal\"amp\"otilat (reunaehdot).
Teht\"av\"an\"a on laskea ratkaisuapproksimaatiot *:ll\"a merkityiss\"a 
sis\"asolmupisteiss\"a k\"aytt\"aen seuraavaa periaatetta: L\"amp\"otila levyn
solmupisteess\"a on naapurisolmujen l\"amp\"otilojen keskiarvo.

Jos indeksoidaan solmupisteiden l\"amp\"otilat vaakarivij\"arjestyksess\"a:
$T_1,\ldots T_6$, voidaan ryhty\"a kirjoittamaan yht\"al\"oit\"a tyyliin:

$T_1=\frac{20+10+T_4+T_2}{4}, \ldots .$

Kirjoita koko $6\times 6$- yht\"al\"osysteemi "standardimuodossa".\\ 
{\bf Huom:} Tasapainotilaratkaisu saadaan ns. {\em Laplacen yht\"al\"on}
$\nabla^2 T = 0$ ratkaisuna. T\"ass\"a esitettyyn likim\"a\"ar\"aismenettelyyn
ns. \emph{differenssimenetelm\"a\"an}
%\newpage

Ratkaisua pyydet\"a\"an seuraavassa teht\"av\"ass\"a.


\end{tehtava}
\end{Tehtava}


