\begin{Tehtava}
\begin{tehtava}
mlLi006.tex \\
%\includegraphics[height=3.6cm, width=3.6cm]{img/harj1.eps}
%\vfill\eject
\emph{Tasapainol\"amp\"otilajakauma metallilevyss\"a.}\\
 Kuva esitt\"a\"a metallilevy\"a,
joka on yl\"a- ja alapinnoiltaan l\"amp\"oeristetty ja jonka reunojen l\"amp\"otilat
on kiinnitetty. (L\"amp\"o\"a virtaa vain reunojen kautta.) Tasapainol\"amp\"otilajakauma
saadaan \emph{Laplacen yht\"al\"on $\Delta u=0$} ratkaisuna. Numeerinen approksimaatio voidaan laskea ns. differenssimenetelm\"all\"a: Jaetaan levy sopivilla hilaviivoilla osiin ja numeroidaan n\"ain muodostuvat solmupisteet. Menetelm\"a: Kunkin 
hilasolmun l\"amp\"otila on naapurisolmujen l\"amp\"otilojen keskiarvo. (Johdetaan
kurssin lopulla.)


Muodosta $4\times 4-$ yht\"al\"osysteemi solmujen $1,2,3,4$ l\"amp\"otilojen likiarvoille $u_1,u_2,u_3,u_4.$ 
Ohje: Aloitetaan solmusta 1: $u_1 = \frac{1}{4}(30 + u_2 + u_3 + 10)$. Vastaavasti muut kolme solmua.
% (Teht\"av\"a jatkuu loppuviikolla.)
%\includegraphics[height=3.6cm, width=3.6cm]{img/lampohila.eps}
%\includegraphics{img/lampo.eps}
%\includegraphics[height=3.6cm, width=3.6cm]{img/lampo.eps}
%\vfill\eject

\begin{verbatim}
               20      20
        |----- o  ----  o ------|
        |                       |
        |                       |
     10 o      o 3      o 4     o  40
        |                       |
        |                       |
     10 o      o 1      o 2     o  40
        |                       |
        |                       |
        |----- o ------ o ------|
               30       30
\end{verbatim}

\begin{enumerate}

\item[(a)]
Ratkaise yht\"al\"osysteemi ja sijoita ratkaisul\"amp\"otilat ao. 
hilapisteisiin.
\item[(b)] 
Muodosta $4\times 4-$ matriisi, jossa on reunal\"amp\"otilat 
ja ratkaisemasi sis\"apistel\"amp\"otilat sek\"a nurkissa l\"ahinn\"a olevien kahden
reunasolmun keskiarvot t\"ah\"an tapaan:
\verb_ U=[5 20 20 30;10 u3 u4 40; 10 u1 u2 40; 20 30 30 35];_
Piirr\"a ratkaisupinnan approksimaatio:\verb_ mesh(U)_ tai \verb_surf(U)_.
\end{enumerate}

\textbf{Opettajalle:} Hilakokoa voidaan kasvattaa. Jos annetaan teht\"av\"aksi
ilman kerroinmatriisin struktuurihavaintoa, $4\times 4$ lienee 
suurin ajateltavissa oleva ($16\times 16$ yht\"al\"osysteemi), joka
sekin saattaa jo hipoa joidenkin k\"arsiv\"allisysrajaaa.

\textbf{Avainsanat:}L\"amp\"otilamatriisi, Laplacen yht\"al\"on diskretointi, differenssimenetelm\"an
alkeellisin perusteht\"av\"a, lineaarinen yht\"al\"oryhm\"a.  


\end{tehtava}
%\begin{vihje}
%\end{vihje}
\end{Tehtava}
